函數(shù)的周期性與對(duì)稱性

1、精選文檔函數(shù)的周期性與對(duì)稱性1、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對(duì)于函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)的任一變量x點(diǎn)有下列條件之一成立，則函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個(gè)周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)2、函數(shù)的對(duì)稱性與周期性性質(zhì)5 若函數(shù)yf(x)同時(shí)關(guān)于直線xa與xb軸對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T2|ab|性質(zhì)6、若函數(shù)yf(x)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)（a，0）與點(diǎn)（b，0）中心對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T2|ab|性質(zhì)7、若函數(shù)yf(x)既關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱，又關(guān)于直線xb軸對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T

2、4|ab|3.函數(shù)圖象本身的對(duì)稱性（自身對(duì)稱）若，則具有周期性；若，則具有對(duì)稱性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱性”。1、 圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論1： 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論2、 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論3、 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱2、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論1、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論2、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論3、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱例題分析：1設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則等于 ( )（A）0.5 （B） （C）1.5 （D） 2、（山東）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則的值為（ ）A1 B0 C1 D23設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，求4函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若，則_5已知是定義在上的奇函數(shù)，且它的圖像關(guān)于直線對(duì)稱

3、。（1）求的值；（2）證明是周期函數(shù)；（3）若，求時(shí)，函數(shù)的解析式，并畫出滿足條件的函數(shù)至少一個(gè)周期的圖象。6.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2,4時(shí)，求f(x)的解析式鞏固練習(xí)：1函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)x1，則不等式xf(x)>0在1,3上的解集為()A(1,3) B(1,1) C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)2設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)1x，則：2是函

4、數(shù)f(x)的周期；函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增；函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0；當(dāng)x(3,4)時(shí)，f(x)x3.其中所有正確命題的序號(hào)是_3設(shè)定義在R上的奇函數(shù)yf(x)，滿足對(duì)任意tR，都有f(t)f(1t)，且x時(shí)，f(x)x2，則f(3)f的值等于()A BC D4若偶函數(shù)yf(x)為R上的周期為6的周期函數(shù)，且滿足f(x)(x1)(xa)(3x3)，則f(6)等于_5、（1）;（2）（3）若設(shè).6設(shè)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x.(1)求f(3)的值；(2)當(dāng)4x4時(shí)，求f(x)的圖像與x軸所圍成圖形的面積7設(shè)是定義在

5、上以2為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，在區(qū)間上，求時(shí)，的解析式.8.設(shè)函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足， 判斷函數(shù)圖象在區(qū)間上與軸至少有多少個(gè)交點(diǎn).9.已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù).又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時(shí)函數(shù)取得最小值.（1）證明：；（2）求的解析式；（3）求在上的解析式.10.已知，（1）判斷的奇偶性；（2）證明：11、定義在上的函數(shù)是減函數(shù)，且是奇函數(shù)，若，求實(shí)數(shù)的范圍。12（重慶文）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)。（）求的值；（）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍。復(fù)習(xí)題：1 已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，點(diǎn)在拋物線上；各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列滿足.（）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

6、（）記,求數(shù)列的前項(xiàng)和2在中，角、所對(duì)的邊分別是、，且（其中為的面積）（）求；（）若，的面積為3，求3某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)依次為1,2,3,4,5現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件，對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：12345頻率02045（1）若所抽取的20件日用品中，等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件，等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件，求，的值；ABCPH（）在（1）的條件下，將等級(jí)系數(shù)為4的3件日用品記為，等級(jí)系數(shù)為5的2件日用品記為，現(xiàn)從，這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率4. 如圖，在三

7、棱錐中，底面，為的中點(diǎn)， ，.（）求證：平面；（）求經(jīng)過點(diǎn)的球的表面積。5.已知拋物線與軸交點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上滑動(dòng)，且（1）求中點(diǎn)的軌跡方程；（2）點(diǎn)在上，關(guān)于軸對(duì)稱，過點(diǎn)作切線，且與平行，點(diǎn)到的距離為，且，證明：為直角三角形 6. 設(shè)函數(shù).（1）求的極大值；（2）求證：（3）當(dāng)方程有唯一解時(shí)，方程也有唯一解，求正實(shí)數(shù)的值；函數(shù)的周期性與對(duì)稱性1、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對(duì)于函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)的任一變量x點(diǎn)有下列條件之一成立，則函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個(gè)周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)2、函數(shù)的對(duì)稱性

8、與周期性性質(zhì)5 若函數(shù)yf(x)同時(shí)關(guān)于直線xa與xb軸對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T2|ab|性質(zhì)6、若函數(shù)yf(x)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)（a，0）與點(diǎn)（b，0）中心對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T2|ab|性質(zhì)7、若函數(shù)yf(x)既關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱，又關(guān)于直線xb軸對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T4|ab|3.函數(shù)圖象本身的對(duì)稱性（自身對(duì)稱）若，則具有周期性；若，則具有對(duì)稱性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱性”。1、 圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論1： 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論2、 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論3、 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱2、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論1、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論2、

9、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論3、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱例題分析：1設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則等于 ( )（A）0.5 （B） （C）1.5 （D） 2、（山東）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則的值為（ ）A1 B0 C1 D23設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，求4函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若，則_5已知是定義在上的奇函數(shù)，且它的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。（1）求的值；（2）證明是周期函數(shù)；（3）若，求時(shí)，函數(shù)的解析式，并畫出滿足條件的函數(shù)至少一個(gè)周期的圖象。6.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2,4時(shí)，求f(x)的解

10、析式解：(1)證明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4鞏固練習(xí)：1函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)x1，則不等式xf(x)>0在1,3上的解集為()A(1,3) B(1,1) C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)解析：選Cf(x)的圖像如圖當(dāng)x(1,0)時(shí)，由xf(x)>0得x(1,0)；當(dāng)x(0,1)時(shí)，由xf(x)<0得x；當(dāng)x(1,3)時(shí)，

11、由xf(x)>0得x(1,3)故x(1,0)(1,3)2設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)1x，則：2是函數(shù)f(x)的周期；函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增；函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0；當(dāng)x(3,4)時(shí)，f(x)x3.其中所有正確命題的序號(hào)是_解析：由已知條件：f(x2)f(x)，則yf(x)是以2為周期的周期函數(shù)，正確；當(dāng)1x0時(shí)0x1，f(x)f(x)1x，函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示：當(dāng)3<x<4時(shí)，1<x4<0，f(x)f(x4)x3，因此正確，不正確答案：3設(shè)

12、定義在R上的奇函數(shù)yf(x)，滿足對(duì)任意tR，都有f(t)f(1t)，且x時(shí)，f(x)x2，則f(3)f的值等于()A BC D解析：選C由f(t)f(1t)得f(1t)f(t)f(t)，所以f(2t)f(1t)f(t)，所以f(x)的周期為2.又f(1)f(11)f(0)0，所以f(3)ff(1)f02.4若偶函數(shù)yf(x)為R上的周期為6的周期函數(shù)，且滿足f(x)(x1)(xa)(3x3)，則f(6)等于_解析：yf(x)為偶函數(shù)，且f(x)(x1)·(xa)(3x3)，f(x)x2(1a)xa,1a0.a1.f(x)(x1)(x1)(3x3)f(6)f(66)f(0)1.5、（

13、1）;（2）（3）若設(shè).6設(shè)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x.(1)求f(3)的值；(2)當(dāng)4x4時(shí)，求f(x)的圖像與x軸所圍成圖形的面積解：(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(3)f(34)f(1)1.(2) 由f(x)是奇函數(shù)與f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱又0x1時(shí)，f(x)x，且f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則1x0時(shí)，f(x)x，則f(x)的圖像如圖所示當(dāng)4x4時(shí)，設(shè)f(x)

14、的圖像與x軸圍成的圖形面積為S，則S4SOAB4×4.7設(shè)是定義在上以2為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，在區(qū)間上，求時(shí)，的解析式.解：當(dāng)，即，又是以2為周期的周期函數(shù)，于是當(dāng)，即時(shí)，8.設(shè)函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足， 判斷函數(shù)圖象在區(qū)間上與軸至少有多少個(gè)交點(diǎn).解：由題設(shè)知函數(shù)圖象關(guān)于直線和對(duì)稱，又由函數(shù)的性質(zhì)得是以10為周期的函數(shù).在一個(gè)周期區(qū)間上，故圖象與軸至少有2個(gè)交點(diǎn).而區(qū)間有6個(gè)周期，故在閉區(qū)間上圖象與軸至少有13個(gè)交點(diǎn).9.已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù).又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時(shí)函數(shù)取得最小值.（1）證明：；（2）求的解析式；（3）求在上的解析式.

15、解：是以為周期的周期函數(shù)，且在上是奇函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，由題意可設(shè)，由得，.是奇函數(shù)，又知在上是一次函數(shù)，可設(shè)而，當(dāng)時(shí)，從而時(shí)，故時(shí)，.當(dāng)時(shí)，有，.當(dāng)時(shí)，.10.已知，（1）判斷的奇偶性；（2）證明：11、定義在上的函數(shù)是減函數(shù)，且是奇函數(shù)，若，求實(shí)數(shù)的范圍。12（重慶文）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)。（）求的值；（）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍。 10(1)偶函數(shù) (2)奇函數(shù) 11(1)偶函數(shù) 12、 復(fù)習(xí)題：2 已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，點(diǎn)在拋物線上；各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列滿足.（）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（）記,求數(shù)列的前項(xiàng)和2在中，角、所對(duì)的邊分別是、，且（其中為的面積）（）求；（）若，的

16、面積為3，求3某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)依次為1,2,3,4,5現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件，對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：12345頻率02045（1）若所抽取的20件日用品中，等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件，等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件，求，的值；ABCPH（）在（1）的條件下，將等級(jí)系數(shù)為4的3件日用品記為，等級(jí)系數(shù)為5的2件日用品記為，現(xiàn)從，這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率4. 如圖，在三棱錐中，底面，為的中點(diǎn)， ，.（）求證：平面；（）求經(jīng)過點(diǎn)的球的表面積。5.已知拋物線與

17、軸交點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上滑動(dòng)，且（1）求中點(diǎn)的軌跡方程；（2）點(diǎn)在上，關(guān)于軸對(duì)稱，過點(diǎn)作切線，且與平行，點(diǎn)到的距離為，且，證明：為直角三角形 6. 設(shè)函數(shù).（1）求的極大值；（2）求證：（3）當(dāng)方程有唯一解時(shí)，方程也有唯一解，求正實(shí)數(shù)的值；復(fù)習(xí)題答案：1、解：（），當(dāng)時(shí)， 數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列， 又各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列滿足 ，解得， ()由題得 -得 12分2、解析：（）由已知得即 6分 （）由（）知 ,12分 3、.解：（1）由頻率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 1分因?yàn)槌槿〉?0件日用品中，等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件，所以b=0.153分等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件，所以c=0.1 4分從而a=0.35-b-c=0.1所以a=0.1 b=0.15 c=0.1 6分（2）從日用品,中任取兩件，所有可能結(jié)果(,),(,),(,),(,),（,）,( ,),(,),(,),(,),(,)共10種， 9分設(shè)事件A表示“從日用品,中任取兩件，其等級(jí)系數(shù)相等”，則A包含的基本事件為(,),(,),(,),(,)共4個(gè)，11分故所求的概率P(A)= =0.4 12分4、（）證明：因?yàn)?底面，