高等數(shù)學(xué)講義--無(wú)窮級(jí)數(shù)(數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三)

1、第八章 無(wú)窮級(jí)數(shù)（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三）引言：所謂無(wú)窮級(jí)數(shù)就是無(wú)窮多項(xiàng)相加，它與有限項(xiàng)相加有本質(zhì)不同，歷史上曾經(jīng)對(duì)一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)問(wèn)題引起爭(zhēng)論。例如：歷史上曾有三種不同看法，得出三種不同的“和”第一種第二種第三種設(shè)則這種爭(zhēng)論說(shuō)明對(duì)無(wú)窮多項(xiàng)相加，缺乏一種正確的認(rèn)識(shí)。1) 什么是無(wú)窮多項(xiàng)相加？如何考慮？2) 無(wú)窮多項(xiàng)相加，是否一定有“和”？3) 無(wú)窮多項(xiàng)相加，什么情形有結(jié)合律，什么情形有交換律等性質(zhì)。因此對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念和性質(zhì)需要作詳細(xì)的討論。§ 8.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1） 內(nèi)容要點(diǎn)一、基本概念與性質(zhì)1. 基本概念無(wú)窮多個(gè)數(shù)依次相加所得到的表達(dá)式稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)）。 （）稱為級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的部

2、分和，稱為部分和數(shù)列。不存在，則稱級(jí)數(shù)是發(fā)散的，發(fā)散級(jí)數(shù)沒(méi)有和的概念。（注：在某些特殊含義下可以考慮發(fā)散級(jí)數(shù)的和，但在基礎(chǔ)課和考研的考試大綱中不作這種要求。）2 基本性質(zhì)（1） 如果（2） 在級(jí)數(shù)中增加或減少或變更有限項(xiàng)則級(jí)數(shù)的收斂性不變。（3） 收斂級(jí)數(shù)具有結(jié)合律，也即對(duì)級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所得到的新級(jí)數(shù)仍收斂，而且其和不變。發(fā)散級(jí)數(shù)不具有結(jié)合律，引言中的級(jí)數(shù)可見是發(fā)散的，所以不同加括號(hào)后得到級(jí)數(shù)的情形就不同。（4） 級(jí)數(shù)（注：引言中提到的級(jí)數(shù)，因此收斂級(jí)數(shù)的必要條件不滿足，發(fā)散。調(diào)和級(jí)數(shù)滿足卻是發(fā)散的，所以滿足收斂級(jí)數(shù)的必要條件，而收斂性尚不能確定。）3兩類重要的級(jí)數(shù)（1）等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)

3、）當(dāng)時(shí)，收斂當(dāng)時(shí)，發(fā)散（2）p一級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)，收斂，當(dāng)p1時(shí)發(fā)散（注：p>1時(shí)，的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知）二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這時(shí)是單調(diào)加數(shù)列，它是否收斂就只取決于是否有上界，因此有上界，這是正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的基礎(chǔ)，從而也是正項(xiàng)級(jí)數(shù)其它判別法的基礎(chǔ)。1. 比較判別法收斂，則收斂；如果發(fā)散，則發(fā)散。2. 比較判別法的極限形式設(shè)若1) 當(dāng)0<A<+時(shí)，與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。2) 當(dāng)A=0時(shí)，若收斂，則收斂。3) 當(dāng)A=+時(shí)，若收斂，則收斂。3比值判別法（達(dá)朗倍爾）設(shè)>0，而1） 當(dāng)<1時(shí)，則收斂2） 當(dāng)>1時(shí)(包括

4、=+)，則發(fā)散3） 當(dāng)=1時(shí)，此判別法無(wú)效（注：如果不存在時(shí)，此判別法也無(wú)法用）4根值判別法（柯西）設(shè)0，而1） 當(dāng)<1時(shí)，則收斂2） 當(dāng)>1時(shí)(包括=+)，則發(fā)散3） 當(dāng)=1時(shí)，此判別法無(wú)效事實(shí)上，比值判別法和根值判別法都是與等比級(jí)數(shù)比較得出相應(yīng)的結(jié)論，應(yīng)用時(shí)，根據(jù)所給級(jí)數(shù)的形狀有不同的選擇，但它們?cè)?1情形下都無(wú)能為力。數(shù)學(xué)上有更精細(xì)一些的判別法，但較復(fù)雜，對(duì)考研來(lái)說(shuō)不作要求。三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其萊布尼茲判別法1交錯(cuò)級(jí)數(shù)概念若>0,稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。2萊布尼茲判別法設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足：1）2) =0，則收斂，且0<<四、絕對(duì)收斂與條件收斂1定理若收斂，則一定收斂；反之不然

5、。2定義若收斂，則稱為絕對(duì)收斂；若收斂，而發(fā)散，則稱為條件收斂。3有關(guān)性質(zhì)1）絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)具有交換律，也即級(jí)數(shù)中無(wú)窮多項(xiàng)任意交換順序，得到級(jí)數(shù)仍是絕對(duì)收斂，且其和不變。2）條件收斂級(jí)數(shù)的正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)構(gòu)成的級(jí)數(shù)，即（+）或（）一定是發(fā)散的。4一類重要的級(jí)數(shù)設(shè)1） 當(dāng)>1時(shí)，是絕對(duì)收斂的2） 當(dāng)0<1時(shí)，是條件收斂的3） 當(dāng)0時(shí)，是發(fā)散的（2） 典型例題一、 主要用部分和數(shù)列的極限討論級(jí)數(shù)的斂散性例1 判定下列級(jí)數(shù)斂散性，若收斂并求級(jí)數(shù)的和。1） 2）1）解：的=1，收斂2）解：-得=3=3，收斂例2 設(shè)數(shù)列收斂證：由題意可知而 =因此，于是級(jí)數(shù)=是收斂的二、 主要用判別法討論級(jí)數(shù)的斂散

6、性例1 設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則收斂解：（幾何平均值算術(shù)平均值）已知再用比較判別法，可知收斂例2 正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，問(wèn)是否收斂？并說(shuō)明理由。解：，由等比級(jí)數(shù)收斂和比較判別法可知收斂。例3 設(shè)（1）求的值。（2）證明：對(duì)任意正常數(shù)收斂。證明：（1）=1 （2）<<收斂，由比較判別法可知收斂。例4 設(shè)有方程當(dāng)>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。所以當(dāng)>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。§ 8.2 冪級(jí)數(shù)（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂域與和函數(shù)（數(shù)學(xué)一）1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)皆定義在區(qū)間I上，則稱為區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。2 收斂域設(shè)，如果常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，如果發(fā)散，則稱是的

7、發(fā)散點(diǎn)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合就稱為收斂域。所有發(fā)散點(diǎn)構(gòu)成的集合你為發(fā)散域。3 和函數(shù)在的收斂域的每一點(diǎn)都有和，它與有關(guān)，因此，收斂域稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，它的定義域就是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域。二、冪級(jí)數(shù)及其收斂域1 冪級(jí)數(shù)概念稱為的冪級(jí)數(shù)，稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)，是常數(shù)，當(dāng)時(shí)，稱為的冪級(jí)數(shù)。一般討論有關(guān)問(wèn)題，作平移替換就可以得出有關(guān)的有關(guān)結(jié)論。2冪級(jí)數(shù)的收斂域冪級(jí)數(shù)的收斂域分三種情形：（1） 收斂域?yàn)椋嗉磳?duì)每一個(gè)皆收斂，我們稱它的收斂半徑（2） 收斂域僅為原點(diǎn)，除原點(diǎn)外冪級(jí)數(shù)皆發(fā)散，我們稱它的收斂半徑。（3） 收斂域?yàn)?所以求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑非常重要，（1）（2）兩種情形的收斂域就確定的

8、。而（3）的情形，還需討論兩點(diǎn)上的斂散性。三、 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1 四則運(yùn)算設(shè)2. 分析性質(zhì)設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑> 0，S() = 為和函數(shù)，則有下列重要性質(zhì)。（1）求導(dǎo)后冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變，因此得出（2）冪級(jí)數(shù)的收斂半徑也不變。（3）若(i)(ii)(iii)四、冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的基本方法1把已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式（§ 8.3將討論）反過(guò)來(lái)用。下列基本公式應(yīng)熟背：2、用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法以及等比級(jí)數(shù)求和公式3、用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法化為和函數(shù)的微分方程從而求出微分方程的解。五、利用冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)得出有關(guān)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和（乙）典型例題例1 求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。（1）（2）解：（1）可求出收斂半徑R=1, 收斂域?yàn)椋?1，1）（2）可以從求出和函數(shù)后，看出其收斂域§ 8.3將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一