高等數(shù)學(xué)(2017高教五版)課件正項(xiàng)級(jí)數(shù)(工科類)

1、 收斂性是級(jí)數(shù)研究中最基本的問題, 本節(jié)將對(duì)最簡(jiǎn)單的正項(xiàng)級(jí)數(shù)建立收斂性判別法則.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)分析 第 十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)*四、拉貝判別法三、積分判別法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則 二、比式判別法和根式判別法*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對(duì)應(yīng)內(nèi)容正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的符號(hào)都相同, 則稱為同號(hào)級(jí)數(shù). 對(duì)于同號(hào)級(jí)數(shù), 只須研究各項(xiàng)都是由正數(shù)組成的級(jí) 數(shù)(稱正項(xiàng)級(jí)數(shù)).由級(jí)數(shù)與其部分和數(shù)列的關(guān)系，得：后退 前進(jìn) 目錄 退出正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則定理12.50(1,2,),iui由于由于證 所以Sn是遞增數(shù)列. 單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是定理).僅靠定義和定理12.5來判斷正項(xiàng)級(jí)

2、數(shù)的收斂性是不 容易的，斂性判別法則. nu正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是:nS有界, .nSM即存在某正數(shù)M, 對(duì)一切正整數(shù) n 有而這就證明了定理的結(jié)論. 該數(shù)列有界(單調(diào)有界正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則部分和數(shù)列 因此要建立基于級(jí)數(shù)一般項(xiàng)本身特性的收 定理12.6（比較原則）nnuv設(shè)設(shè)和和是是兩兩個(gè)個(gè)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 如果存在某正數(shù)N, 對(duì)一切 n N 都有 (1)nnuv則(i),;nnvu若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也收收斂斂(ii),.nnuv若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也發(fā)發(fā)散散證 因?yàn)楦淖兗?jí)數(shù)的有限項(xiàng)并不影響原有級(jí)數(shù)的斂 因此不妨設(shè)不等式(1)對(duì)一切正整數(shù)都

3、成立. nnnnSSuv現(xiàn)現(xiàn)在在分分別別以以和和記記級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)與與的的部部分分和和. .散性,正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則由(1)式可得,對(duì)一切正整數(shù) n, 都有 (2)nnSS,lim,nnnvS若收斂 即存在若收斂 即存在 則由(2)式對(duì)一切 n 有 limnnnSS，nunS即正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列 有 由定理12.5級(jí)數(shù) nu收斂, (ii)為(i)的逆否命題,自然成立.(1)nnuv界,這就證明了(i).正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則例1 21.1nn考考察察的的收收斂斂性性解 2,n由由于于當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù) 21(1)nn n 收斂 (1例5的注), 比較原則和定理12.3,

4、 級(jí)數(shù) 211nn 也收斂. nnnn22111.11nn故由正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則22,0,nnnnuvuv收收斂斂 且且0 0. .例2 若級(jí)數(shù)220nnnnu vuv 證 因?yàn)?, 根據(jù)比較原則, 得到正項(xiàng)級(jí)數(shù) nnu v收斂. 在實(shí)際使用上,下面給出的極限形式通常更方便.nnu v則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂. .22,nnuv而級(jí)數(shù)均收斂，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則推論（比較原則的極限形式）,nnuv設(shè) 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),若 lim,(3)nnnulv則(i)0,;nnluv 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,同同斂斂散散(ii)0,;nnlvu當(dāng)當(dāng)且且級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也收收斂斂

5、(iii),.nnlvu 當(dāng)當(dāng)且且級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也發(fā)發(fā)散散(i)0,;nnluv 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,同同斂斂散散證 (i) 由(3), l 對(duì)任給正數(shù)對(duì)任給正數(shù) 存在某正數(shù)N, 當(dāng) n N 時(shí),恒有 nnulv 或()().(4)nnnlvulv 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則lim,(3)nnnulv由比較原則及(4)式得,與nv同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散. 這就證得了(i). 0l當(dāng)當(dāng)nu級(jí)數(shù) 時(shí), (ii) 當(dāng)l = 0時(shí),由(4)式右半部分及比較原則可得, nvnu級(jí)數(shù) 收斂, 則級(jí)數(shù) 也收斂. (iii),l 若若則對(duì)于正數(shù)1, 當(dāng)n N 時(shí), 都有 于是由比較原則知道

6、, 若級(jí)數(shù)nv發(fā)散, 則級(jí)數(shù) nu也發(fā)散. 若存在相應(yīng)的正數(shù)N,1nnvu.nnvu 或或正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則lim,(3)nnnulv()().(4)nnnlvulv 例3 級(jí)數(shù) 12nn是收斂的, 以及等比級(jí)數(shù) 12n收斂, 式式, ,因?yàn)閚nnn2121limnnnn22limnnn211lim1根據(jù)比較原則的極限形 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則12nn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也收收斂斂. .例4 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 111sinsin1sinsin2nn是發(fā)散的, 1sinlim1,1nnn根據(jù)比較原則的極限 1n形式以及調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散, 散. 因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則1sinn也發(fā) 得到級(jí)數(shù)

7、 *例5 判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù) 12 sin1nnn的斂散性.1sinlim1,1nnn解 因?yàn)?12 sin1nnn21n 故可將 與進(jìn) 行比較. 12(1sin)lnlime,nnnn212 sinlimnnnnn nnnn1sin12lim正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則由于 12211sinlimnnnnn注意到 1lim 1sinlnnnnn 所以 12(1sin)lnlime1.nnnn 根據(jù)比較原則, 原級(jí)數(shù)收斂.nnnonnln1lim22, 0正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則12 sin1nnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性12(1sin)lnlimennnn極極限限211lim 1lnnnonn

8、n 比式判別法和根式判別法 本段所介紹的兩個(gè)方法是以等比級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象 而得到的, 特征就能作出判斷，不需要與已知級(jí)數(shù)進(jìn)行比較.比式判別法和根式判別法但在使用時(shí)只要根據(jù)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)本身的 定理12.7（達(dá)朗貝爾判別法，或比式判別法）則級(jí)數(shù) nu收斂.0(ii),nN若若對(duì)對(duì)一一切切成成立立不不等等式式11,(6)nnuu.nu則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散1,(5)nnuqu0(i),nN若若對(duì)對(duì)一一切切成成立立不不等等式式0nuN 設(shè)設(shè)為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，且且存存在在某某正正整整數(shù)數(shù)及及常常數(shù)數(shù)01 .qq（）比式判別法和根式判別法把前n-1個(gè)不等式按項(xiàng)相乘后,得到132121,nnnuuuquuu

9、11.nnuu q或或者者由于當(dāng)0 q N 時(shí), 有 1.nnuqqu N,比式判別法和根式判別法1nnuqqu 1,1,qq 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 根根據(jù)據(jù)的的取取法法, ,有有由上述不等式的左半部分及比式判別法的 (i), 得正項(xiàng)級(jí)數(shù) nu是收斂的. 1,1,qq 若若則則有有 根據(jù)上述不等式的左半部分 及比式判別法的 (ii), 可得級(jí)數(shù) nu是發(fā)散的.11,nnuu.nu所以這時(shí)級(jí)數(shù)是發(fā)散的所以這時(shí)級(jí)數(shù)是發(fā)散的,q若若,N則存在則存在時(shí)有時(shí)有當(dāng)當(dāng)Nn 比式判別法和根式判別法例6 級(jí)數(shù)22 52 5 82 5 823(1),11 51 5 91 5 914(1)nn 由于 根據(jù)推論1，級(jí)數(shù)收斂.nn

10、uunnnn4132limlim143, 1比式判別法和根式判別法例7 討論級(jí)數(shù)1(0)nnxx 的斂散性.解 因?yàn)?根據(jù)推論1,當(dāng) 0 x 1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;若(7)中q = 1, 這時(shí)用比式判別法不能對(duì)級(jí)數(shù)比式判別法和根式判別法*推論2211,nn和和例如級(jí)數(shù)它們的比式極限都是 1n而而卻是發(fā)散的.若某級(jí)數(shù)的(7)式的極限不存在,則可應(yīng)用上、下極限來判別收斂性. 設(shè)nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù).1(i)lim1,;nnnuqu若若則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂1(ii)lim1,;nnnuqu若若則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散,11nuunn收收斂斂，但但21n比式判別法和根式判別法解 由于1,nnb nuuc n為為奇奇數(shù)數(shù)

11、, ,為為偶偶數(shù)數(shù)故有于是當(dāng)c 1時(shí), 級(jí)數(shù)(8)收斂; 但當(dāng)b 1 c時(shí),比式判別法無法 判斷級(jí)數(shù)的斂散性. 的斂散性, 其中 0 b 1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散; 比式判別法和根式判別法定理12.8（柯西判別法，或根式判別法）且存在某正數(shù) 0,Nl及及常常數(shù)數(shù)0(i),nN若若對(duì)對(duì)一一切切成成立立不不等等式式1,(9)nnul;nu則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂0(ii),nN若若對(duì)對(duì)一一切切成成立立不不等等式式1,(10)nnu .nu則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 設(shè)比式判別法和根式判別法對(duì)于情形(ii), 由(10)式可得 11.nnu ,nnu顯顯然然當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)不可能以零為極限, 收斂的必要條件可知

12、, 級(jí)數(shù) nu是發(fā)散的.證 由(9)式有 ,1,nnull而而因?yàn)榈缺燃?jí)數(shù) nl時(shí)收斂，01l當(dāng)當(dāng)nu故由比較原則, 這時(shí)級(jí)數(shù)也收斂,因而由級(jí)數(shù)比式判別法和根式判別法推論1（根式判別法的極限形式）lim,(11)nnnul(i)1,;nlu當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂(ii)1,.nlu當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散則 證 由(11)式,1,l 當(dāng)當(dāng)取取時(shí)時(shí)存在某正數(shù) N,n N, 有 .nnlul 于是由根式判別法就得到推論所要證明的結(jié)論. 設(shè) nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且對(duì)一切比式判別法和根式判別法例9 研究級(jí)數(shù) 2( 1)2nn的斂散性.解 由于所以級(jí)數(shù)是收斂的.若在(11)式中 l =1,則根式判別

13、法仍無法對(duì)級(jí)數(shù)的斂 散性做出判斷. 都有發(fā)散的. 212limlimnnnnnnu,21211,nn對(duì)和對(duì)和例如,1nunn是是收收斂斂的的，但但21n卻是卻是而而n1比式判別法和根式判別法*推論2*例10考察級(jí)數(shù)22nnbcbcbc的斂 散性，其中01.bc 解 由于121121(),()(),mmnnmmccumbb 設(shè)nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且lim,nnnul則當(dāng) (i) l 1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 比式判別法和根式判別法 1limlim,nnnnnnucub11limlim01,nnnnnnubuc如果應(yīng)用比式判別法, 由于 我們就無法判斷其收斂性.那么比式法和根式法究竟哪個(gè)更有效呢？lim1,

14、nnnuc因此級(jí)數(shù)是收斂的. 故比式判別法和根式判別法1limnnnuqulim.nnnuq根據(jù)第二章總練習(xí)題 4 (7), 當(dāng) 時(shí), 必有這說明凡能由比式判別法判別收斂性的級(jí)數(shù), 也能 由根式判別法來判別, 別法更為有效. 2( 1),2nn 由于 亦即根式判別法較之比式判例如級(jí)數(shù)比式判別法和根式判別法222121332limlim,122mmmmmmuu212122112limlim,362mmmmmmuu故比式判別法無法鑒別此級(jí)數(shù)的收斂性. 式判別法卻能判定此級(jí)數(shù)是收斂的(例9).否就不需要比式判別法了？請(qǐng)看下面例子.那么, 是比式判別法和根式判別法但應(yīng)用根 例11 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性

15、：21( !)(i) ;(2 )!nnn 21(ii) .12nnnn 解 (i) 因?yàn)?212(1)!(2 )!limlim2(1)! ( !)nnnnunnunn 由比式判別法，原級(jí)數(shù)為收斂. 22121lim2nnnn, 141比式判別法和根式判別法11,2由根式判別法, 原級(jí)數(shù)為收斂. 注 由于極限2( !)lim(2 )!nnnn很難求, 所以上例中的 (i) 采用比式法更方便. (ii) 因?yàn)閚nnnnnnnu12limlim2nnnn12lim2比式判別法和根式判別法定理12.9（積分判別法）積分判別法由于比式和根式判別法的比較對(duì)象是幾何級(jí)數(shù),局 限性較大, 所以還需要建立一些更

16、有效的判別法.設(shè) 1,)f為為上非負(fù)減函數(shù), 那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)+1( )( )df nf xx與與反反常常積積分分同時(shí)收斂證 由假設(shè)1,)f 為為上非負(fù)減函數(shù), f 在1, A上可積,于是或同時(shí)發(fā)散.對(duì)任何正數(shù) A,積分判別法1( )( )d(1),2,3,.nnf nf xxf nn依次相加可得11221( )( )d(1)( ).(12)mmmmnnnf nf xxf nf n若反常積分收斂,有111( )(1)( )d(1)( )d .mmmnSf nff xxff xx根據(jù)定理12.5, 級(jí)數(shù)( )f n收斂.則由(12)式左邊,對(duì)任何正整數(shù)m,積分判別法反之, 若( )f n為收斂級(jí)數(shù),

17、 一正整數(shù) m(1)有11( )d( ).(13)mmf xxSf nS10( )d,1.Anf xxSS nAn因?yàn)閒 (x)為非負(fù)減函數(shù), 可以證明+1( )( )df nf xx與與是同時(shí)發(fā)散的.11221( )( )d(1)( ).(12)mmmmnnnf nf xxf nf n則由(12)式右邊, 對(duì)任 故對(duì)任何正數(shù) A, 都有 111 2 .d.fxx 根根據(jù)據(jù)定定理理的的反反常常積積分分收收斂斂用同樣方法，用同樣方法，積分判別法例12 討論1.ppn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性1( ),01,)pf xpx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)在在解 函數(shù)上是非負(fù)減函 時(shí)發(fā)散. 知它也是發(fā)散的.數(shù)，數(shù)，時(shí)收斂，時(shí)

18、收斂，在在反常積分反常積分1d1pxxp.1時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散p故故 時(shí)收斂，時(shí)收斂，當(dāng)當(dāng)由積分判別法得由積分判別法得11pnp10 p當(dāng)當(dāng) 0p的情形, 則可由收斂的必要條件至于積分判別法例13 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性.2311(i);(ii).(ln )(ln )(lnln )ppnnnnnnn解 2d,(ln )pxxx研研究究反反常常積積分分由由于于(i)1,1.pp數(shù)數(shù)在在時(shí)時(shí)收收斂斂時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散3d(ii),(ln )(lnln )pxxxx對(duì)對(duì)于于考考察察反反常常積積分分同同樣樣可可1p 推得級(jí)數(shù) (ii) 在 p 1時(shí)收斂, 在 時(shí)發(fā)散. 22lnlndlndppxxxxx2lndpu

19、u時(shí)發(fā)散，時(shí)發(fā)散，時(shí)收斂，時(shí)收斂，當(dāng)當(dāng)11pp根據(jù)積分判別法得級(jí)根據(jù)積分判別法得級(jí)積分判別法由于比式和根式判別法的比較對(duì)象是幾何級(jí)數(shù), 如 果級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂速度較慢, 它們就失效了, 如 p級(jí)數(shù). 這類級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度較慢, 因此較比式 或根式法在判斷級(jí)數(shù)收斂時(shí)更精細(xì).*拉貝判別法 拉貝(Raabe)判別法是以 p 級(jí)數(shù)為比較對(duì)象,*拉貝判別法定理12.10（拉貝判別法）111,nnunru;nu則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂0(ii),nN若若對(duì)對(duì)一一切切成成立立不不等等式式111,nnunu.nu則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散0(i),nN若若對(duì)對(duì)一一切切成成立立不不等等式式設(shè) nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且存

20、 0.Nr在在某某正正整整數(shù)數(shù)及及常常數(shù)數(shù)*拉貝判別法.1pr 由由于于故存在正數(shù)N, 111.prnn證 (i), 111ruunnn由由.11nruunn得得p選選使使得得rxxnrnpxpn11lim111lim0rxppx101limrp, 1使對(duì)任意n N ，都有 *拉貝判別法1111nnNnNnnNuuuuuuuu于是, 當(dāng)n N 時(shí)，有 1211pppNnnNunnN 11,.nppun因因?yàn)闉闀r(shí)時(shí)收收斂斂 所所以以是是收收斂斂的的這樣 pnnnuu11111pn11.1pnnNppunN1.11pNpnuN*拉貝判別法131212nnnnnuuuuuuuu212112nnunn21.un1,.nun因因?yàn)闉榘l(fā)發(fā)散散 故故是是發(fā)發(fā)散散的的, 11)ii(1nnuun由由,1111nnnuunn得得于是于是*拉貝判別法推論（拉貝判別法的極限形式）設(shè) nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且極限1lim1nnnunru存在, 則(i)1,;nru當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂(ii)1,.nru當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散*拉貝判別法1 3(21)(14)2 4(2 )Snn當(dāng)s