高等數(shù)學(xué)(2017高教五版)課件一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)(工科類)

1、 一致收斂性的重要性在于可以將通項(xiàng)函數(shù)的許多解析性質(zhì)遺傳給和函數(shù)，如連續(xù)性、可積性、可微性等，這在理論上非常重要.2 一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 數(shù)學(xué)分析 第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)后退 前進(jìn) 目錄 退出可積性可微性 定理13.8（極限交換定理）nf設(shè)函數(shù)列 在 上一致收斂于 , 00( ,)(, )a xx b ( )f x且對每個n , 0lim( )nnxxfxa，limnna則則和和0lim( )xxf x 均均存存在在且且相等.00lim lim( )lim lim( ).(2)nnxxnnxxfxfx即

2、na證 先證是收斂數(shù)列. 故存在正整數(shù) N, 當(dāng) nN及對任意正整數(shù) p, 對一切00( ,)(, )xa xx b ， 有 |( )( )|.nn pfxfx 0 ，nf由于 一 致收斂, 對任意lim,nnaA設(shè)設(shè)na于是由柯西準(zhǔn)則可知是收斂數(shù)列,則0limlim( ).nnxxfxA下面證明00lim( )limlim( ).nxxxx nf xfxA注意到|( )|f xA111|( )( )|( )|NNNf xfxfxa2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性可積性可微性從而0|lim |( )( )|.nn pnn pxxaafxfx 1|NaA( )nfx( )f

3、 x ，由于 一致收斂于 na收斂于A， nN 當(dāng)當(dāng)時時，存在正數(shù) N， 對任意 00( ,)(, )xa xx b 因此對任意0 ，|( )( )|33nnfxf xaA 和和同時成立. 2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性可積性可微性11|( )( )|33NNfxf xaA 和和011lim( ),NNxxfxa又因?yàn)?0 ，故存在 當(dāng)00 |xx 時,特別當(dāng)n=N+1時，0,0,xxx 于于是是 當(dāng)當(dāng)滿滿足足時時|( )|f xA,333 這就證明了 0lim( ).xxf xA有11|( )|.3NNfxa 也有 1|( )( )|Nf xfx11+|( )|NNf

4、xa1+ |NaA定理指出: 在一致收斂的條件下, ( )nfx中關(guān)于獨(dú) 立變量 x與n 的極限可以交換次序, 即(2)式成立. ,( )( , )nfxa b類類似似地地 若若在在lim( )nxafx 上一致收斂, 且 存在, lim lim( )lim lim( );nnnnxaxafxfx( )( , )lim( ),nnxbfxa bfx若若在在上上一一致致收收斂斂, ,且且存存在在lim lim( )lim lim( ).nnnnxbxbfxfx2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性可積性可微性則有則有 推論 定理13.9（連續(xù)性）若函數(shù)列 nf在區(qū)間 I上一致收斂

5、,且每一項(xiàng)都連續(xù), 則其極限函數(shù) f在 I 上也連續(xù). 證 0.xI設(shè)設(shè)為為上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)于是由定理 13.8 知 0lim( )xxf x也存在, 且 000lim( )lim()(),nxxnf xfxf x0( ).f xx因因此此在在上上連連續(xù)續(xù)nfIf若若連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)列列在在區(qū)區(qū)間間 上上內(nèi)內(nèi)閉閉一一致致收收斂斂于于 ，fI則則在在 上上連連續(xù)續(xù). .2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性可積性可微性00lim( )(),nnxxfxfx由由于于nx( 1,1 例如 函數(shù)列 的各項(xiàng)在 上都是連續(xù)的, 其極限函數(shù) 0,11,( )1,1xf xx1x 在在時時不不

6、連連續(xù)續(xù)，nx( 1,1 所以在 上不一致收斂.注 定理13.9可以逆過來用:2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性可積性可微性但 列在區(qū)間 I 上其極限函數(shù)不連續(xù), 若各項(xiàng)為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)I 上一定不一致收斂. 則此函數(shù)列在區(qū)間 定理13.10（可積性）nf若函數(shù)列在a, b上一致收斂, 且每一項(xiàng)都連續(xù), 則 lim( )dlim( )d .(3)bbnnaannfxxfxxnf證 設(shè) f 為函數(shù)列 在a, b上的極限函數(shù)， (1,2,)nfn 從從而而與 f 在a, b上上都可積. , ,na bff因因?yàn)闉樵谠谏仙弦灰恢轮率帐諗繑坑谟? , ,nNxa b當(dāng)當(dāng)時時 對對一

7、一切切都都有有2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性可積性可微性lim( )d( )d .(3 )bbnaanfxxf xx于是(3)變?yōu)? ，故對于任意存在N, 知 f 在 a, b上連續(xù),由定理13.9|( )( )|.nfxf x 再根據(jù)定積分的性質(zhì), 當(dāng) nN 時有( )( ) d( )( ) dbbbnnaaafxf xxfxf xx( )( ) d(),bnafxf xxba 這就證明了等式 (3 ). 12,0,211( )22,1,2,.210,1,nnnnnxxnfxnxxnnnxn ( )nfx0,1顯然 是上的連續(xù)函數(shù)列, 0,1x lim( )0.nnf

8、x, 例1 設(shè)函數(shù)136 圖圖1nf12n1nn xyO2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性可積性可微性且對任意0,1sup |( )0|,nnxfx 又又( )0,1nfx在在 因此上一致 收斂于 0 的充要條件是 . 0()nn 10( )d,2nnfxxn 因?yàn)?100( )d( )d0nfxxf xx故lim02nnn 的充要條件是. 1,n 這這樣樣, ,當(dāng)當(dāng)時時雖然 ( )nfx( )f x不一致收斂于 , 但定理 13.10 的結(jié)論仍 ( )nfx( ).f x不一致收斂于但當(dāng) 時, =nn 101( )d2nfxx同同時時10( )d0.f xx也不收斂于也不

9、收斂于( )nfx例1說明當(dāng)收斂于 f(x) 時，一致收斂性是極 限運(yùn)算與積分運(yùn)算交換的充分條件, 2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性可積性可微性成立. 不是必要條件. 定理13.11（可微分性）nf設(shè)為定義在a, b上的函數(shù)列, 2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性可積性可微性的的收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)，0 , xa b 若為nfddlim( )lim( ).(4)ddnnnnfxfxxx則 , nfa b的的每每一一項(xiàng)項(xiàng)在在上上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) nf ，且在a, b上一致收斂, nf 0lim(),nnfxA設(shè)設(shè) , gfa b 為為在在上上的的極極限限函函數(shù)數(shù)，0

10、0( )()( )d .xnnnxfxfxftt由定理?xiàng)l件, 對任一 , xa b，證 總有 ,nA當(dāng)當(dāng)時時 右右邊邊第第一一項(xiàng)項(xiàng)第第二二項(xiàng)項(xiàng)0( )d .xxg tt,于是 f 所以上式左邊極限存在, 記為 0( )lim( )( )d .xnxnf xfxAg tt由 g 的連續(xù)性及微積分學(xué)基本定理得.fg 這就證明了等式(4). 2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性可積性可微性 推論設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)列列定定義義在在區(qū)區(qū)間間上上，若若為為的的收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)且且在在上上內(nèi)內(nèi)閉閉一一致致收收斂斂，( )lim( ).nnfxfx則則在在上上可可導(dǎo)導(dǎo)，且且2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

11、的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性可積性可微性0 xnf注 請注意定理中的條件為的收斂點(diǎn)的作用. , a bnf在定理的條件下, 還可推出在 上函數(shù)列一 致收斂于f ,請讀者自己證明. 與前面兩個定理一樣, 運(yùn)算交換的充分條件, 而不是必要條件, 請看例2. 一致收斂是極限運(yùn)算與求導(dǎo) 推論設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)列列定定義義在在區(qū)區(qū)間間上上，若若為為的的收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)且且在在上上內(nèi)內(nèi)閉閉一一致致收收斂斂，( )lim( )nnfxfx則則在在上上可可導(dǎo)導(dǎo)，且且函數(shù)列221( )ln(1),1,2,2nfxn xnn與22( ),1,2,1nnxfxnn x在0,1上都收斂于0, 0,11limmax |( )( )

12、|,2nnxfxfx ( )0,1,nfx所所以以導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)列列在在上上不不一一致致收收斂斂lim( )0lim( ) .nnnnfxfx 2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性可積性可微性例2 由于但有在上述三個定理中, 我們都可舉出函數(shù)列不一致收 斂但定理結(jié)論成立的例子. (如實(shí)變函數(shù)論)將討論使上述定理成立的較弱條件, 但在目前情況下, 只有滿足一致收斂的條件, 才能 保證定理結(jié)論的成立. 下面討論定義在區(qū)間 , a b上函數(shù)項(xiàng)級數(shù)12( )( )( )(5)nu xuxux的連續(xù)性、逐項(xiàng)求積與逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì), 可根據(jù)函數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)推出. 2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

13、的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性可積性可微性在今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中 這些性質(zhì) 定理13.12（極限交換定理、連續(xù)性定理）( )nux 0()Ux 1. 若函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在一致收斂, 0lim( )nnxxuxa ，每個n ,00lim( )lim( ).nnnxxxxuxuxa (6)( )nux , a b2. 若區(qū)間上一致收斂, 續(xù), 2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)求導(dǎo)則有且對且每一項(xiàng)都連 , a b上也連續(xù). 則其和函數(shù)在 定理13.14（逐項(xiàng)求導(dǎo)定理） 定理13.13（逐項(xiàng)積分定理）( ) d( ) d .(7)bbnnaauxxuxx , a b在在上上一一

14、致致收收斂斂，0 , xa b 為 ( )nux 的收斂點(diǎn), dd( )( ) .(8)ddnnuxuxxx 且每一若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)( )nux 在a, b上一致收斂, 2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)求導(dǎo)若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)( )nux 在a, b上每一項(xiàng)都有連續(xù)的則( )nux都連續(xù), 項(xiàng)則導(dǎo)函數(shù)，且( )nux 定理 13.13 和 13.14 指出, 在一致收斂條件下, 逐項(xiàng) 求積或求導(dǎo)后求和等于求和后再求積或求導(dǎo). 注 本節(jié)六個定理的意義不只是檢驗(yàn)函數(shù)列或函數(shù) 項(xiàng)級數(shù)是否滿足關(guān)系式(2)(4), (6)(8), 根據(jù)定理的條件, 即使沒有求出極限函數(shù)或和函數(shù),

15、也能由函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級數(shù)本身獲得極限函數(shù)或和 函數(shù)的解析性質(zhì).2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)求導(dǎo)更重要的是 例3 設(shè) 2231( )ln(1),1,2,.nuxn xnn( )nux 0,1證明函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在上一致收斂, 并討 論和函數(shù)在0,1上的連續(xù)性、可積性與可微性. ( )nux證 對每一個 n, 易見 為0, 1上的增函數(shù), 231( )(1)ln(1),1,2,.nnuxunnn21,ln(1),ttt又又當(dāng)當(dāng)時時 有有不不等等式式2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)求導(dǎo)231( )ln(1)nuxnn故有 所以 32

16、11,1,2,.nnnn21( )nuxn收收斂斂級級數(shù)數(shù)是是的的優(yōu)優(yōu)級級數(shù)數(shù), ,因此級數(shù) ( )nux 0,1在上一致收斂. ( )nux0,1由于每一個 在上連續(xù), 定理13.13知 ( )nux ( )S x0,1的和函數(shù) 在上連 續(xù)且可積. 2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)求導(dǎo)222221( ),1,2,(1)2nxxuxnnn xn nxn21( )nuxn即即也也是是的的優(yōu)優(yōu)級級數(shù)數(shù), ,( )nux 0,1故 在 由定理13.14, 得知( )S x在0, 1上可微. 又由上一致收斂. 根據(jù)定理13.12與*例4 確定函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 11nnxn

17、的收斂域并討論 和函數(shù)的連續(xù)性. 2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)求導(dǎo)解 首先利用連續(xù)性定理(或極限交換定理)建立一個 ( )nux , )a b若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的每一項(xiàng)在 上 有定義, ,( )nn ux a(i) 在點(diǎn)右連續(xù);( , )xa b ( )nux (ii) 收斂; , (iii) 級數(shù)( )nu a 發(fā)散, ( )nux ( , )a b則在上不一致收斂.判別法: 且lim( )( )nnxauxu a , 及極限交換定理得 lim( )lim( )( )nnnxaxauxuxu a 與( )nu a 發(fā)散矛盾. 對函數(shù)項(xiàng)級數(shù)11,nnxn 用根式

18、判別法求出其收 11|nnxxxnn()n 因?yàn)? | 1x | 1x 所以當(dāng)時級數(shù)收斂, 時級數(shù)發(fā)散. 2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)求導(dǎo)( )nux ( , )a b理由是, 如果在上一致收斂, 則由(i) 斂域. 這就證明了上述判別法.11nn 1x 當(dāng) 時, 1( 1)10,nnn 也發(fā)散. ( 1,1). 因此這個級數(shù)的收斂域?yàn)? 1,1) 11( ),nnf xxn 設(shè)在上2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 極限交換定理連續(xù)性逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)求導(dǎo)11e0,nn1x 時, 而當(dāng)發(fā)散; 111nnn 的一般項(xiàng)級數(shù)111nnn 的一般項(xiàng)級數(shù)1( )nnuxxn 1x 1x 因?yàn)樵诤吞幏謩e為左