函數(shù)公開課實錄

1、 世界是不斷變化發(fā)展的，世界是不斷變化發(fā)展的，生活中也充滿著許許多多生活中也充滿著許許多多變化的量，而這些變化的變化的量，而這些變化的量之間往往存在著這樣或量之間往往存在著這樣或那樣的關(guān)系，請看那樣的關(guān)系，請看汽車行駛的路程隨行駛的時間而變化汽車行駛的路程隨行駛的時間而變化氣溫隨海拔而變化氣溫隨海拔而變化行星在宇宙中的位置隨時間而變化行星在宇宙中的位置隨時間而變化圓的大小隨著圓的半徑而變化圓的大小隨著圓的半徑而變化交流討論:能否找到生活中的實例能否找到生活中的實例,當一個量變化時，另一當一個量變化時，另一個量隨之發(fā)生變化個量隨之發(fā)生變化我們?nèi)绾窝芯窟@些運動我們?nèi)绾窝芯窟@些運動變化間的依賴關(guān)系呢

2、？變化間的依賴關(guān)系呢？(1) (1) 你坐過摩天輪嗎？你坐過摩天輪嗎？你坐在摩天輪上時你坐在摩天輪上時, ,隨隨著著時間時間t t的變化的變化, ,你離開你離開地面的地面的高度高度h h是如何變是如何變化的？化的？ 情境引入情境引入O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12311h（米）（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1231137h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123113745h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

3、0 11 123113745h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123113745h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123113745h（米）t（分）下圖反映了下圖反映了旋轉(zhuǎn)時間旋轉(zhuǎn)時間t t（分）（分）與摩天輪上一點與摩天輪上一點的的高度高度h h（米）（米）之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。31137453711根據(jù)上根據(jù)上圖填表圖填表摩天輪摩天輪像這樣像這樣在某一變化過程中在某一變化過程中, ,可以可以取不同數(shù)值的取不同數(shù)值的量量, ,叫做叫做變量變量. . 1.變量與常量變量與常量:在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)

4、生生變化變化的量叫的量叫變量，變量，數(shù)值始終保持數(shù)值始終保持不變不變的的量叫量叫常量常量.2.變量和常量在不同的變化過程中是可以變量和常量在不同的變化過程中是可以相相互轉(zhuǎn)化互轉(zhuǎn)化的的.3.在同一個變化過程中的在同一個變化過程中的兩個變量兩個變量之間，它之間，它們是互相制約、互相聯(lián)系的，其中們是互相制約、互相聯(lián)系的，其中一個量一個量是隨另一個量的變化而變化的是隨另一個量的變化而變化的. .變量和常量變量和常量加油過程加油過程1，開車到加油站2，開到要加的#（油號）跟前3服務人員過來詢問加多少錢的，給錢，然后服務人員幫你加油4加完油開車走人可以可以表述為：表述為：給油錢給油錢加油站加油站輸出油輸出

5、油買菜買菜選好菜，選好菜，老板放電子秤上一放，老板放電子秤上一放，告知付款數(shù)，告知付款數(shù)，給錢拿菜走人，給錢拿菜走人，可以表述為：可以表述為：給錢給錢老板老板菜菜思考歸納思考歸納: 請同學們分組討論。請同學們分組討論。 1.前面我們研究的前面我們研究的每個問題中都有幾個每個問題中都有幾個變量？變量？2.同一個問題中的兩個變量之間有什么聯(lián)系？同一個問題中的兩個變量之間有什么聯(lián)系？ 兩個變量兩個變量 每個問題中的兩個變量互相聯(lián)系，每個問題中的兩個變量互相聯(lián)系，其中一個變量其中一個變量取定一個值取定一個值時時,另一個變另一個變量就量就隨之確定一個值隨之確定一個值. 即：一個變量的值隨另一個變量的即：

6、一個變量的值隨另一個變量的值的變化而變化值的變化而變化.函數(shù)函數(shù): 一般地一般地, ,在一個變化過程中在一個變化過程中, ,如如果有兩個變量果有兩個變量x x和和y,y,并且并且對于對于x x的的每一個確定每一個確定的值的值,y,y都有都有唯一唯一確定確定的值與其對應的值與其對應, ,那么我們就說那么我們就說x x是是自變量自變量,y,y是是x x的的函數(shù)函數(shù). . 理解：理解：1. 函數(shù)談的是變量間的關(guān)系。函數(shù)談的是變量間的關(guān)系。 2. 對于對于x的每一個確定的值，的每一個確定的值， y都有唯一被確定的值與其對應，都有唯一被確定的值與其對應， y才才是是x的函數(shù)的函數(shù).心得心得(自變量自變量

7、)函數(shù)關(guān)系可以表述為：函數(shù)關(guān)系可以表述為：輸入輸入x函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系輸出輸出y(因變量因變量)y的值是唯一的的值是唯一的例如例如y=x+158y=x+158，變量，變量y y是變量是變量x x的函數(shù)的函數(shù). .當當x=1x=1時，函數(shù)時，函數(shù)y y的函數(shù)值等于的函數(shù)值等于159159當當x=4x=4時，函數(shù)時，函數(shù)y y的函數(shù)值等于的函數(shù)值等于162162如果當如果當x=a時時,y=b,那么那么b叫做當自叫做當自變量的值為變量的值為a時的時的函數(shù)值函數(shù)值.萊布尼茲首次使用“function”（函數(shù)）表示“冪冪”柯西從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的

8、值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。”在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞我國清代數(shù)學家李善蘭在翻譯代數(shù)學（1859年）一書時，把“function”譯成“函數(shù)”的.指出“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化，或者說一個量中包含另一個量。 數(shù)學史數(shù)學史萊布尼茨，德國最重要的自然科學家、數(shù)學家、物理學家、歷史學家和哲學家，一位舉世罕見的科學天才，1646年出生（伽利略逝世后第4年，也是牛頓出生后的第4年），。他的研究成果還遍及力學、邏輯學、化學、地理學、解剖學、動物學、植物學、氣體學、航海學、地質(zhì)學、語言學、法學

9、、哲學、歷史、外交等等，“世界上沒有兩片完全相同的樹葉”就是出自他之口，他還是最早研究中國文化和中國哲學的德國人，公元1700年左右，萊布尼茨從一位友人送給他的中國“易圖”（八卦）里受到啟發(fā)，最終悟出了二進制數(shù)之真諦。雖然萊布尼茨的乘法器仍然采用十進制，但他率先為計算機的設(shè)計，系統(tǒng)提出了二進制的運算法則，為計算機的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)。對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。創(chuàng)設(shè)的符號有商“a/b”, 比“a:b”，相似“”, 全等“ ”、并“”、“交“ ”以及函數(shù)和行列式等符號。關(guān)于柯西柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生于巴黎，是法國數(shù)學家

10、、物理學家、天文學家。尤其在數(shù)學領(lǐng)域，有很高的建樹和造詣。很多數(shù)學的定理和公式也都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式。李善蘭（1811年1月22日1882年12月9日）在19世紀把西方近代數(shù)學知 識翻譯為中文的傳播工作中李善蘭作出了重大貢獻。他的譯書也為中國近代物理學的發(fā)展起了啟蒙作用。同治七年，李善蘭到北京擔任同文館天文算學部長執(zhí) 教達13年之久為造就中國近代第一代科學人才作出了貢獻。 李善蘭為近代科學在中國的傳播和發(fā)展作出了開創(chuàng)性的貢獻。繼梅文鼎之后，李善蘭成為清代數(shù)學史上的又一杰出代表。他一生翻譯西方科技書籍甚多，將近代科學最主要的幾門知識從天文學到植物細胞學的最新成果介紹傳入

11、中國，對促進近代科學的發(fā)展作出卓越貢獻。自20世紀30年代以來，李善蘭受到國際數(shù)學界的普遍關(guān)注和贊賞。想一想想一想1在計算器上按下列程序進行操作：在計算器上按下列程序進行操作：輸入輸入x（任意一個數(shù)）（任意一個數(shù)）按鍵按鍵25=顯示顯示y（計算結(jié)果）（計算結(jié)果）填表填表問題問題：1.從這個過程中你發(fā)現(xiàn)哪些量是固定不從這個過程中你發(fā)現(xiàn)哪些量是固定不變的，哪些量是不斷變化的？變的，哪些量是不斷變化的？2.顯示的數(shù)顯示的數(shù)y是是x的函數(shù)嗎？為什么？的函數(shù)嗎？為什么？711- 352071分鐘2分鐘t分鐘學校 小明騎自行車從家到學校，勻速行駛，速度小明騎自行車從家到學校，勻速行駛，速度為為6060米米

12、/ /分鐘分鐘. .請你用請你用s s表示小剛在以下幾個時表示小剛在以下幾個時間段騎車的總路程間段騎車的總路程. .S=60S=120S=60t問題問題：1.從這個過程中你發(fā)現(xiàn)哪些量從這個過程中你發(fā)現(xiàn)哪些量是固定不變的，哪些量是不斷變化的？是固定不變的，哪些量是不斷變化的？2. 顯示的數(shù)顯示的數(shù)y是是x的函數(shù)嗎？為什么？的函數(shù)嗎？為什么？ 每張電影票的售價為每張電影票的售價為10元元,如果早場如果早場售出票售出票150張張,場售出票場售出票205張張,晚場售晚場售出票出票310張張.三場電影的票房收入分別三場電影的票房收入分別為為 元元, 元元, 元元;15002050310010 x設(shè)一場電

13、影售出票設(shè)一場電影售出票x張張, 票房收入票房收入為為y元元,用含用含x的的 式子表示式子表示 y,則則y=_.在一根彈簧的下端懸掛重物在一根彈簧的下端懸掛重物, ,改變并改變并記錄重物的質(zhì)量記錄重物的質(zhì)量, ,如果彈簧原長如果彈簧原長10cm,10cm,每每1kg1kg重物使重物使彈簧伸長彈簧伸長0.5cm,0.5cm,請用含重物質(zhì)量請用含重物質(zhì)量m m(kg)(kg)的式子表示受力后的彈簧的式子表示受力后的彈簧長度長度L L(cm),(cm),則則L L= = 10+0.5m用用10m10m長的繩子長的繩子圍成長方形圍成長方形, ,試試改變長方形的長改變長方形的長度，觀察長方形度，觀察長方

14、形的面積如何變化，的面積如何變化，設(shè)長方形的長度為設(shè)長方形的長度為 m m，面積為，面積為S Sm m2 2, ,用含用含 的式子表示的式子表示S S, ,則則S S= = _.ll(102 )2ll變量和常量是相對的變量和常量是相對的, ,對不同對不同的過程而言的過程而言, ,其中的變量和常其中的變量和常量是不相同的量是不相同的. .注意：注意：汽車離開汽車離開A A站站5千米以后，以千米以后，以40千米千米/時的時的平均速度行駛了平均速度行駛了t小時小時, ,汽車離開汽車離開A A站所走站所走的路程為的路程為s千米千米, ,請先填寫下表請先填寫下表: :所以所以, ,s=_. 觀察填出的表

15、格觀察填出的表格, ,會發(fā)現(xiàn)會發(fā)現(xiàn): :每當行駛時每當行駛時間間t t取定一個值取定一個值, ,汽車離開汽車離開A A站所走的路程站所走的路程s s就就_. .4585 1251652055+40t隨之確定一個值隨之確定一個值徐老師用徐老師用100100元購買元購買7 7元元/ /包的辣條，包的辣條，觀察她剩余的錢觀察她剩余的錢y(y(元元) )與購買這種商與購買這種商品的數(shù)量品的數(shù)量x(x14)x(x14)之間的關(guān)系之間的關(guān)系: :當當x=5時時,y=_；當當x=12時時,y=_. 從中可以看出：每當徐老師從中可以看出：每當徐老師購買這種購買這種商品數(shù)量商品數(shù)量x x(x(x14)14)取定

16、一個值時取定一個值時，她，她剩余的錢剩余的錢y y( (元元) )就就_._.交流討論:能否找到生活中的實例能否找到生活中的實例,使兩變量成函數(shù)關(guān)系使兩變量成函數(shù)關(guān)系?這些例子中的函數(shù)關(guān)系都能這些例子中的函數(shù)關(guān)系都能用函數(shù)解析式表示嗎用函數(shù)解析式表示嗎? 在數(shù)學中在數(shù)學中,“,“y是是x的函數(shù)的函數(shù)”這句話常這句話常用解析用解析式表示，寫成式表示，寫成 y = 含含x的代數(shù)式的代數(shù)式來表示來表示, ,這里這里x是自變量是自變量, ,y是是x的函數(shù)的函數(shù). .39 下圖是體檢時的心電圖下圖是體檢時的心電圖, ,其中橫坐標其中橫坐標x x表示表示時間時間, ,縱坐標縱坐標y y表示心臟部位的生物電

17、流表示心臟部位的生物電流, ,它們是兩個它們是兩個變量變量. .在心電圖中在心電圖中, ,對于對于x x的每一個確定的值的每一個確定的值,y,y都有唯都有唯一確定的對應值嗎一確定的對應值嗎? ?心電圖是醫(yī)學檢查中用儀器記錄心臟跳動狀況的曲心電圖是醫(yī)學檢查中用儀器記錄心臟跳動狀況的曲線，其中每個點的橫、縱坐標是有線，其中每個點的橫、縱坐標是有單值對應關(guān)系單值對應關(guān)系的的兩個變量兩個變量. .即即: :對于對于x x的每一個確定的值的每一個確定的值,y,y都有唯一都有唯一確定的對應值確定的對應值. .觀察觀察1觀察觀察2 在下面的我國人口數(shù)統(tǒng)計表中在下面的我國人口數(shù)統(tǒng)計表中, ,年份與人口年份與人

18、口數(shù)可以記作兩個變量數(shù)可以記作兩個變量x x與與y,y,對于表中每一個確定的年對于表中每一個確定的年份份(x),(x),都對應著一個確定的人口數(shù)都對應著一個確定的人口數(shù)(y)(y)嗎嗎? ? 對于表中每一個確定的年份對于表中每一個確定的年份x x, ,人口數(shù)人口數(shù)y y都有唯都有唯一確定的值與其對應一確定的值與其對應. .圖 17.1.1 下圖是長沙某日溫度變化圖下圖是長沙某日溫度變化圖,橫坐標橫坐標 t 表示時間，縱坐表示時間，縱坐標標 T 表示溫度，它們是兩個變量表示溫度，它們是兩個變量。8時時,10時時,14時的溫時的溫度分別為多少度分別為多少? 思考：思考：對于圖中每一個確定的時間對于

19、圖中每一個確定的時間t,都對應著一個確定的溫度都對應著一個確定的溫度T嗎嗎?溫度溫度T是時間是時間t的函數(shù)嗎？的函數(shù)嗎？ 韓國韓國EXOEXO組合成員吳亦凡與組合成員吳亦凡與SMSM公司解約一事導致公司解約一事導致SMSM股價暴跌。請問股價暴跌。請問: :股價是時間的函數(shù)嗎股價是時間的函數(shù)嗎? ? 下下表是中國人民銀行公布的表是中國人民銀行公布的“整存整取整存整取”年利率年利率. .1.801.802.252.252.522.523.063.063.693.694.144.14 表中的變量是否存在函數(shù)關(guān)系表中的變量是否存在函數(shù)關(guān)系?如果存在如果存在,誰是誰的函數(shù)誰是誰的函數(shù)? 0808北京奧運

20、會北京奧運會, ,中國取得了輝煌的成績中國取得了輝煌的成績, ,讓每個中國人都為之驕傲讓每個中國人都為之驕傲, ,觀察觀察北京奧運金牌榜北京奧運金牌榜, ,表中的變量是否存在函數(shù)關(guān)系表中的變量是否存在函數(shù)關(guān)系? ?如果存在如果存在, ,誰是誰的函數(shù)誰是誰的函數(shù)? ? 下下表是中國人民銀行公布的表是中國人民銀行公布的“整存整取整存整取”年利率年利率. .1.801.802.252.252.522.523.063.063.693.694.144.14 表中的變量是否存在函數(shù)關(guān)系表中的變量是否存在函數(shù)關(guān)系?如果存在如果存在,誰是誰的函數(shù)誰是誰的函數(shù)?（2） 列表法列表法 （3） 圖象法圖象法 （1）

21、 解析式解析式法法 用來表示函數(shù)關(guān)系的用來表示函數(shù)關(guān)系的等式等式叫做函叫做函數(shù)關(guān)系式數(shù)關(guān)系式,也稱為也稱為函數(shù)的解析式函數(shù)的解析式.如如yx+158,S=60t 函數(shù)的關(guān)系式是函數(shù)的關(guān)系式是等式等式. 通常等式的通常等式的右邊右邊是含有自變量的代數(shù)是含有自變量的代數(shù)式式, ,左邊左邊的一個字母表示函數(shù)的變量名稱的一個字母表示函數(shù)的變量名稱. .如何書寫函如何書寫函數(shù)解析式數(shù)解析式呢？呢？那么函數(shù)解析式的書寫有沒有要求呢？那么函數(shù)解析式的書寫有沒有要求呢？根據(jù)所給的條件根據(jù)所給的條件,寫出寫出y與與x的函數(shù)關(guān)系式：的函數(shù)關(guān)系式： 矩形的周長是矩形的周長是18cm,它的長是它的長是y cm,寬是寬

22、是x cm.48 利用變量之間的關(guān)系列出方程利用變量之間的關(guān)系列出方程,再把方程變形再把方程變形,從而求出兩個變量之從而求出兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系. 思考題：思考題：填表并回答問題：填表并回答問題：（1）對于）對于x的每一個值，的每一個值，y都有唯一的值與之都有唯一的值與之對應嗎？答：對應嗎？答： 。 （2）y是是x的函數(shù)嗎？為什么？的函數(shù)嗎？為什么？2和28和818和1832和32不是不是答：不是，因為答：不是，因為y的值不是唯一的。的值不是唯一的。試一試 變量變量y與與x的關(guān)系如圖，的關(guān)系如圖，y是是x的函數(shù)嗎？的函數(shù)嗎？是是不是不是例例1 1 下列問題中哪些量是自變量？哪下列

23、問題中哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數(shù)？并寫出用自變些量是自變量的函數(shù)？并寫出用自變量表示函數(shù)的式子量表示函數(shù)的式子. .（1 1）多邊形的內(nèi)角和）多邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)隨邊數(shù)n n的變的變化而變化；化而變化；解：解： （1 1） =（n n2 2）180180例例1 1 下列問題中哪些量是自變量？哪下列問題中哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數(shù)？并寫出用自變些量是自變量的函數(shù)？并寫出用自變量表示函數(shù)的式子量表示函數(shù)的式子. . （2 2）計劃花）計劃花500500元購買籃球，所能購元購買籃球，所能購買籃球的總數(shù)買籃球的總數(shù)n n（個）隨單價（個）隨單價a a（元）（元）的變化而變化的變化而變化. .解：解：500(2)n