高等數學定積分及其計算教學ppt

1、第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應用定積分在幾何上的應用 第三節(jié)第三節(jié) 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 一一. .定積分的概念與性質定積分的概念與性質 二二. .微積分基本公式微積分基本公式 本節(jié)主要內容本節(jié)主要內容: : 三三. .定積分的積分法定積分的積分法 四四. .反常積分反

2、常積分 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 ( (一一) )定積分問題舉例定積分問題舉例 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 設曲邊梯形是由連續(xù)曲線設曲邊梯形是由連續(xù)曲線( ) ( )0)yf xf x ，軸及x以及兩直線以及兩直線bxax,所圍成所圍成 , 求其面積求其面積 A .?A)(xfy 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 顯然顯然,小矩形越多小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊梯形面積矩形總面積越接近曲邊梯形面積. 觀察下列演示過程觀察下列演示過程, 注意當分割加細時注意當分割加細時

3、, 矩形矩形面積和與曲邊梯形面積的關系面積和與曲邊梯形面積的關系 . 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 觀察下列演示過程觀察下列演示過程, 注意當分割加細時注意當分割加細時, 矩形面矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系. 播幻燈片播幻燈片 75放放第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 解決步驟解決步驟:1) 分割分割2) 取近似取近似 3) 求和求和 4) 取極限取極限 01lim()niiAfx 1xix1ixxabyoi第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)

4、第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 1xix1ixxabyo解決步驟解決步驟 : 1) 分割分割 在區(qū)間在區(qū)間 a , b 中任意插入中任意插入 n 1 個分點個分點 bxxxxxann1210,1iiixx用直線用直線ixx 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形個小曲邊梯形; 2) 取近似取近似 在第在第i 個窄曲邊梯形上任取個窄曲邊梯形上任取作以作以,1iixx為底為底 ,)(if為高的小矩形為高的小矩形, 并以此小并以此小梯形面積近似代替相應梯形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積窄曲邊梯形面積,iA得得1()(iiiiiiAfxxxx ),2, 1,nii第五章第五章 定積分及其

5、應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 3) 求和求和 niiAA1niiixf1)(4) 取極限取極限 令令, max1inix則曲邊梯形面積則曲邊梯形面積 niiAA10limniiixf10)(limxabyo1xix1ixi01lim()niiAfx 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 2. 變速直線運動的路程變速直線運動的路程 解決步驟解決步驟: 1) 分割分割 2) 取近似取近似 3) 求和求和 4) 取極限取極限 iniitvs10)(lim設某物體作直線運動設某物體作直線運動,( ),vv t 上連續(xù)上

6、連續(xù), ,0)(tv的路程的路程 s . 已知速度已知速度 12,TT12,TT在在 求在運動時間求在運動時間 內物體所經過內物體所經過第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 解決步驟解決步驟:1) 分割分割 , ,1iiitt任取將它分成將它分成, ), 2, 1( ,1nittii在每個小段上物體經在每個小段上物體經2) 近似近似 ,)(代替變速以iv得得iiitvs)(,1,21個分點中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(nin 個小段個小段過的路程為過的路程為2. 變速直線運動的路程變速直線運動的路程 設某物體作直線運動

7、設某物體作直線運動,( ),vv t 上連續(xù)上連續(xù), ,0)(tv的路程的路程 s . 已知速度已知速度 12,TT12,TT在在 求在運動時間求在運動時間 內物體所經過內物體所經過第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 3) 求和求和 iniitvs1)( 4) 取極限取極限 iniitvs10)(lim)max(1init第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 上述兩個問題的共性上述兩個問題的共性: 解決問題的方法步驟相同解決問題的方法步驟相同 :“分割分割 , 近似近似 , 求和求和 , 取極

8、限取極限 ” 所求量極限結構式相同所求量極限結構式相同: 特殊乘積和式的極限特殊乘積和式的極限第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 ( (二二) ) 定積分的概念定積分的概念 定義定義5.1.1 設函數設函數 f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上有定義上有定義, 分割分割: 任取分點任取分點 把區(qū)間把區(qū)間 a,b 分割成分割成 n個小區(qū)間個小區(qū)間 xi-1, xi , 第第i個小區(qū)間的長度個小區(qū)間的長度為為 ，記，記 近似近似: 在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間xi-1, xi上任取一點上任取一點 i (i=1, 2 n)求和：求和：作和式作和式0121nna

9、xxxxxb 1(1, )iiixxxin 1maxii nx ，1()niiifx 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 取極限：取極限：當當0時時, 若極限若極限 存在存在(這這 個極限值與區(qū)間個極限值與區(qū)間 a, b 的分法及點的分法及點 i 的取法無關的取法無關 ) ， 則稱函數則稱函數 f(x) 在在a, b 上可積上可積, 并稱這個極限為函數并稱這個極限為函數 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上的定積分，記作上的定積分，記作 , 即即 01lim()niiifx ( )baf x dx 01( )lim()nbiiaif x dxfx

10、第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分上限積分下限積分下限被積函數被積函數被積表達式被積表達式積分變量積分變量積分和積分和稱為積分區(qū)間,ba第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 1. 閉區(qū)間上的連續(xù)函數是可積的閉區(qū)間上的連續(xù)函數是可積的; 閉區(qū)間上只有有閉區(qū)間上只有有限個間斷點的有界函數也是可積的限個間斷點的有界函數也是可積的2. 定積分是一個確定的常數，它取決于被積函數定積分是一個確定的常數，它取決于被積函數f(x)和積分區(qū)間和積分區(qū)間a,

11、b，而與積分變量使用的字母的選取，而與積分變量使用的字母的選取無關，即有無關，即有 ( )( ).bbaaf x dxf t dt ( )( )abbaf x dxf x dx 3. 在定積分的定義中在定積分的定義中, 有有aa，若極限若極限 存在存在, 則稱此極限為函則稱此極限為函 數數 f (x)在在a,+ )上的廣義積分上的廣義積分, 記作記作 ， 即即 此時也稱廣義積分此時也稱廣義積分 收斂收斂; 如果上述極限如果上述極限 不存在不存在, 就稱就稱 發(fā)散發(fā)散. lim( )dbabf xx ( )daf xx ( )dlim( )dbaabf xxf xx ( )daf xx ( )d

12、af xx 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 類似可定義類似可定義: 0000(1)( )dlim( )d .(2)( )d( )d( )dlim( )lim( )bbaabaabf xxf xxf xxf xxf xxf x dxf x dx 只要有一個極限不存在只要有一個極限不存在 , 就稱就稱( )df xx 發(fā)散發(fā)散 .第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 ,)()(的原函數是若xfxF引入記號引入記號; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx則有類似則有類似 N L 公式的計

13、算表達式公式的計算表達式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 例例30 求求 201d ;xex （）2d2;1xx （ ）d3.lnexxx （ ）例例31 討論討論 的斂散性的斂散性 . 1d(0,0)paxapx 例例32 求求0d (0).pttet p 例例33 求求2211sind.xxx 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 22200021(1)dlimdlim()21

14、11lim()222bxxxbbbbbexexee 例例30 求求 201d ;xex （）2d2;1xx （ ）d3.lnexxx （）2d(2)arctan 1()22xxx ddln(3)lnln lnlneeexxxxxx xoy211xy第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 111lim lnlim(lnln ),11d1limlim(),111babbppabppabbxbapxxxbappp 1,1,11,1ppappp 例例31 討論討論 的斂散性的斂散性. 1d(0,0)paxapx 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用

15、 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 例例32 求求0d (0).pttet p tpept原式00d1teptptpep21021p第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 例例33 求求2211sind.xxx 2221111sindsindxxxxx 211limsindbbxx 21lim cosbbx 2cos1coslim bb1 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 ( (二二) ) 無界函數的廣義積分無界函數的廣義積分瑕積分瑕積分定義定義5. 1. 3 設函數設函數 f (x

16、) 在區(qū)間在區(qū)間(a, b上連續(xù)上連續(xù)且且 . 取取 Aa, 如果極限如果極限 存在存在, 則稱此極限為函數則稱此極限為函數 f (x) 在在 (a, b 上的廣義積分上的廣義積分, 記作記作 即即 此時也稱廣義積分此時也稱廣義積分 收斂收斂, 否則就稱廣義積分否則就稱廣義積分 發(fā)散發(fā)散. A 稱為稱為瑕點瑕點 . lim( )xaf x lim( )dbAAaf xx ( )dlim( )dbbaAAaf xxf xx ( )dbaf xx ( )d ,baf xx ( )dbaf xx 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 類似可定義類似可

17、定義: （1）x=b 為為 f(x) 的無窮間斷點時的無窮間斷點時: ( )lim( ).bBaaBbf x dxf x dx （2）無窮間斷點）無窮間斷點x=c位于區(qū)間位于區(qū)間(a, b) 內內: ( )( )( )lim( )lim( )bcbaacCbaCCcCcf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 若瑕點若瑕點,)()(的原函數是設xfxF的計算表達式的計算表達式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF則也有類似牛

18、則也有類似牛 萊公式的萊公式的若若 b 為瑕點為瑕點, 則則若若 a 為瑕點為瑕點, 則則若若 a , b 都為瑕點都為瑕點, 則則, ),(bac則則( )()F bF c ()( )F cF a ( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx 當上式右邊兩個廣義積分都收斂當上式右邊兩個廣義積分都收斂, 稱廣義積分收斂稱廣義積分收斂. 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 例例34 求求2311320101d(1)d(2)(3)1(1)xdxxxxx 11001(1)d 2 121xxx 1010122211001ddd1

19、1(2)xxxxxxxx 所以廣義積分發(fā)散所以廣義積分發(fā)散 .222333313001311133301ddd(3)(1)(1)(1)3(1)3(1)3(12).xxxxxxxx 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 11001001110011dlimdlimlnlim(0ln ),1,11limlim(1)1,1111qqtttttqqttxxxxxtqqxtqqqq 例例35 討論討論 的斂散性的斂散性 . 101(0)qdxqx .11110時發(fā)散時收斂，當當反常積分qqdxxq第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié)

20、定積分及其計算定積分及其計算 內容小結內容小結: 1.1.定積分的概念與性質定積分的概念與性質 2.2.微積分基本公式微積分基本公式 3.3.定積分的積分法定積分的積分法 4.4.反常積分反常積分 01( )lim()nbiiaif x dxfx ，8 8個性質個性質 積分上限函數積分上限函數 ( )( )d ()xa xf tt axb )()()()(aFbFxFdxxfbaba 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面

21、積的關系3第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系13第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系23第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，

22、注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系33第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系43第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系53第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系63第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系73第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分