高中數(shù)學(xué)(人教版)級(jí)數(shù)的收斂性第一課時(shí)課件

1、一、函數(shù)列及其一一、函數(shù)列及其一致收斂性致收斂性 二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收其一致收 斂性斂性三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂一致收斂 判別法判別法 對(duì)于一般對(duì)于一般項(xiàng)是函數(shù)的無(wú)窮項(xiàng)是函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，其收斂性級(jí)數(shù)，其收斂性要比數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)要比數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)雜得多，特別是雜得多，特別是有關(guān)一致收斂的有關(guān)一致收斂的內(nèi)容就更為豐富內(nèi)容就更為豐富，它在理論和應(yīng)，它在理論和應(yīng)用上有著重要的用上有著重要的地位地位. .1 級(jí)數(shù)的收斂性數(shù)學(xué)分析 第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對(duì)應(yīng)內(nèi)容設(shè)設(shè)12,(1)nfff是一列定義在同一數(shù)集是一列定義在同一數(shù)集 E 上的函數(shù)上的函數(shù),上

2、的函數(shù)列上的函數(shù)列. . ,1,2,.nnffn或或以以0 xE 代入代入 (1), 10200(),(),(),.(2)nfxfxfx1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法(1) 也可記為也可記為 可得數(shù)列可得數(shù)列 函數(shù)列及其一致收斂性后退 前進(jìn) 目錄 退出稱(chēng)為定義在稱(chēng)為定義在 E E 0 x0 x如果數(shù)列如果數(shù)列(2)收斂收斂, 則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)列列(1)在點(diǎn)在點(diǎn)收斂收斂, 稱(chēng)稱(chēng) 為函數(shù)列為函數(shù)列(1)的收斂點(diǎn)的收斂點(diǎn). 列列(1)在點(diǎn)在點(diǎn) 發(fā)散發(fā)散. 0 x當(dāng)函數(shù)列當(dāng)函數(shù)列(1)在數(shù)集在數(shù)集 上每一上每一 DE 點(diǎn)都收斂時(shí)點(diǎn)都收斂時(shí), 就

3、稱(chēng)就稱(chēng)(1)在數(shù)集在數(shù)集 D 上收斂上收斂. x( )nfx一一 點(diǎn)點(diǎn) 都有數(shù)列都有數(shù)列 的一個(gè)極限值與之相對(duì)應(yīng)的一個(gè)極限值與之相對(duì)應(yīng) , 根據(jù)這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的根據(jù)這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的 D 上的函數(shù)上的函數(shù), 稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù) 列列(1)的極限函數(shù)的極限函數(shù). lim( )( ) ,nnfxf xxD1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法如果數(shù)列如果數(shù)列(2)發(fā)散發(fā)散, 則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù) 這時(shí)這時(shí) D 上每上每 若將此極限函數(shù)記作若將此極限函數(shù)記作f, 則有則有或或( )( )() ,.nfxf xnxD 函數(shù)列極限的 定義N xD 對(duì)每一

4、固定的對(duì)每一固定的 , 任給正數(shù)任給正數(shù) , 數(shù)數(shù)N , (注意注意: 一般說(shuō)來(lái)一般說(shuō)來(lái)N值與值與 和和 的值都有關(guān)的值都有關(guān), x, x)表示三者之間的依賴(lài)關(guān)系表示三者之間的依賴(lài)關(guān)系) 所以有時(shí)也用所以有時(shí)也用N( 使當(dāng)使當(dāng)nN 時(shí)時(shí), 總有總有 |( )( )|.nfxf x 使函數(shù)使函數(shù)列列nf收斂的全體收斂點(diǎn)集合收斂的全體收斂點(diǎn)集合, 稱(chēng)為函數(shù)列稱(chēng)為函數(shù)列 nf的的收斂域收斂域. 1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法總存在總存在正正例例1 ( ),1,2,nnfxxn 設(shè)設(shè)為為定定義義在在( (- -) )上的上的 函數(shù)列函數(shù)列, 證

5、明它的收證明它的收斂域是斂域是( 1,1 , 且有極限函數(shù)且有極限函數(shù) 0,| 1,( )1,1.xf xx0(1),0 | 1,x 任任給給不不妨妨設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)|( )( )| |,nnfxf xxln( ,),( ,)ln|NxnNxx 只只要要取取當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,|( )( )| |.nNnfxf xxx 1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法由于由于 證證 就有就有01,xx當(dāng)當(dāng)和和時(shí)時(shí)|(0)(0)| 0nff ，|(1)(1)| 0.nff 所表示的函數(shù)所表示的函數(shù). | 1|(),nxxn當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,有有又又1,1,1,1,對(duì)對(duì)應(yīng)

6、應(yīng)的的數(shù)數(shù)列列為為 顯然是發(fā)散的顯然是發(fā)散的. nx( 1,1 所以函所以函數(shù)列數(shù)列在區(qū)間在區(qū)間 外都是發(fā)散的外都是發(fā)散的. 故所討論故所討論的的函數(shù)列的收斂域是函數(shù)列的收斂域是 ( 1,1. 這就證明了這就證明了 在在( , 1 上收斂上收斂, nf11 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法對(duì)任何正整數(shù)對(duì)任何正整數(shù) n , 都有都有1,x當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí) 且極限就是且極限就是(3)(3)式式例例2 sin(,)( ),nnxfxn 定定義義在在上上的的函函數(shù)數(shù)列列1,2,.n sin1,nxnn10,nN 故故對(duì)對(duì)任任給給的的只只要要就就有有sin0.

7、nxn , x由由于于對(duì)對(duì)任任何何實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)都都有有所以函數(shù)所以函數(shù)列列sin(,),nx n 的的收收斂斂域域?yàn)闉? )0.f x 極極限限函函數(shù)數(shù)為為1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法注注 對(duì)于函數(shù)列對(duì)于函數(shù)列, 僅停留在討論在哪些僅停留在討論在哪些點(diǎn)上收斂是遠(yuǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)上收斂是遠(yuǎn)遠(yuǎn)1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法例如例如, , 能否由函數(shù)列每項(xiàng)的連續(xù)性、能否由函數(shù)列每項(xiàng)的連續(xù)性、可導(dǎo)性來(lái)判斷出可導(dǎo)性來(lái)判斷出重要的是要研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具有的重要的是要研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具有的解析性

8、質(zhì)的關(guān)系解析性質(zhì)的關(guān)系. . 極限函數(shù)的連續(xù)性和極限函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性可導(dǎo)性; ; 必須對(duì)它在必須對(duì)它在 D D上上的收斂性的收斂性或極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積或極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積分是否分別是函數(shù)列每項(xiàng)導(dǎo)數(shù)或積分的極限分是否分別是函數(shù)列每項(xiàng)導(dǎo)數(shù)或積分的極限. .對(duì)這些更深刻問(wèn)題的討論對(duì)這些更深刻問(wèn)題的討論, ,提出更高的要求才行提出更高的要求才行. . 不夠的不夠的, , 定義1設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)列列nff與與函函數(shù)數(shù)定定義義在在同同一一D數(shù)集數(shù)集 上上,N 若若對(duì)對(duì)任任給給的的正正數(shù)數(shù)總總存存在在某某一一正正整整數(shù)數(shù)nN,xD對(duì)對(duì)一一切切都都有有時(shí)時(shí)，|( )( )|nfxf x ，nfDf則則稱(chēng)稱(chēng)函函

9、數(shù)數(shù)列列在在上上一一致致收收斂斂于于, ,記記作作( )( )(),.nfxf x nxD1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法由定義看到由定義看到, 一致收斂就是對(duì)一致收斂就是對(duì) D 上上任何一點(diǎn)任何一點(diǎn), 使使當(dāng)當(dāng) 于極限函數(shù)的速度是于極限函數(shù)的速度是 “ “一致一致” ” 的的. . 這種一致性體現(xiàn)為這種一致性體現(xiàn)為: : 函數(shù)函數(shù)列趨列趨與與 相對(duì)應(yīng)相對(duì)應(yīng)的的 N 僅僅與與 有關(guān)有關(guān), 而與而與x x在在D D上的取上的取值無(wú)關(guān)值無(wú)關(guān), ,( ).N 因而把這個(gè)對(duì)所有因而把這個(gè)對(duì)所有 x 都適用的都適用的 N 寫(xiě)作寫(xiě)作 例例2 中的函數(shù)

10、列中的函數(shù)列 sinnxn 是一致收斂的是一致收斂的,1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法,x 正正數(shù)數(shù)不不論論(- ,+ )(- ,+ )因?yàn)閷?duì)任意給因?yàn)閷?duì)任意給定的定的取取上什么值上什么值 , N 1 1只只要要取取，,nN當(dāng)時(shí) 恒有當(dāng)時(shí) 恒有sin.nxn sin( )0nxf xn所所以以函函數(shù)數(shù)列列在在( (- - , ,+ + ) )上上一一致致收收斂斂于于. .顯然顯然, 若函數(shù)列若函數(shù)列 nf在在 D 上一致收斂上一致收斂, 則則必在必在 D 上上每一點(diǎn)每一點(diǎn)都都收斂收斂. 它在它在 D 上不一定一致收斂上不一定一致收斂. 反

11、之反之, , 在在 D D 上每一點(diǎn)都收斂的函數(shù)列上每一點(diǎn)都收斂的函數(shù)列, , 在在 D 上不一致收斂于上不一致收斂于 f 的正面陳述是的正面陳述是: nf函函數(shù)數(shù)列列存在某正數(shù)存在某正數(shù)0, 對(duì)任對(duì)任何正數(shù)何正數(shù) N, 必定存在必定存在 0 xD和和00 xn與與的取值與的取值與 N 有關(guān)有關(guān) ), ( 注意注意: 0nN正正整整數(shù)數(shù)使使得得1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法0000()().nfxf x (0,1)0.nx在在上上不不可可能能一一致致收收斂斂于于由例由例1 中知道中知道, 下面來(lái)證明這下面來(lái)證明這個(gè)結(jié)論個(gè)結(jié)論. 事實(shí)上事

12、實(shí)上 , 若取若取01,2,2N 對(duì)對(duì)任任何何正正整整數(shù)數(shù)10011(0, 1),NnNxN取取正正整整數(shù)數(shù)及及就有就有 001101.2nxN nff函函數(shù)數(shù)列列一一致致收收斂斂于于的的幾幾何何意意義義: :號(hào)大于號(hào)大于N 的的所所有有曲曲線線( )yf x 都都落落在在曲曲線線與與( )yf x 所所夾夾的的帶帶狀區(qū)域之內(nèi)狀區(qū)域之內(nèi).( ) (),nyfxnN00,N , ,對(duì)對(duì)于于序序yOxba( )yf x ( )yf x ( )yf x ( )nyfx 圖圖 13-1 1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法就是存在某個(gè)預(yù)預(yù)先給定的就是

13、存在某個(gè)預(yù)預(yù)先給定的 (0,1)nx函函數(shù)數(shù)列列在在區(qū)區(qū)間間上上不不一一致致收收斂斂1xyxO2x113x 不能全部落在由不能全部落在由 與與 y y 夾成的帶狀區(qū)域內(nèi)夾成的帶狀區(qū)域內(nèi). . (1)b上上, 1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法( 1), 總存在某條總存在某條曲線曲線 (),nyxnN從幾何意義從幾何意義上看上看nx所所以以在在0, b上是一致收上是一致收斂的斂的. y y 和和 所夾成的帶狀所夾成的帶狀nyx曲曲線線 就全部就全部落在落在ln(01),lnnb 其其中中只要只要 無(wú)論無(wú)論 N N 多么大多么大, ,只限于在區(qū)

14、間只限于在區(qū)間nx若函數(shù)列若函數(shù)列 0, b則容易看到則容易看到, , 區(qū)域內(nèi)，區(qū)域內(nèi)， 定理13.1（函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則）函數(shù)函數(shù)列列nfD在數(shù)在數(shù)集集上一致收斂的充要條件是上一致收斂的充要條件是: 對(duì)任給正數(shù)對(duì)任給正數(shù) , ,n mN時(shí)時(shí) 總存在正數(shù)總存在正數(shù) N , 使當(dāng)使當(dāng)xD 對(duì)一切對(duì)一切, 都有都有 |( )( )|.(4)nmfxfx 即對(duì)即對(duì)證證 必要性必要性 1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法存在正數(shù)存在正數(shù)N, 使得當(dāng)使得當(dāng) nN時(shí)時(shí), 任給任給0, 都有都有 |( )( )|.(5)2nfxf x ,n mN于是

15、當(dāng),由(5)得于是當(dāng),由(5)得|( )( )| |( )( )|( )( )|nmnmfxfxfxf xf xfx ( )( )(),nfxf xnxD設(shè)設(shè),xD對(duì)一對(duì)一切切 .22 充分性充分性 若條件若條件 (4) 成立成立, 由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則, 在在D上任一點(diǎn)都收斂上任一點(diǎn)都收斂, nf1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法 (4),nm現(xiàn)現(xiàn)固固定定式式中中的的讓讓x D對(duì)對(duì)一一切切都都有有|( )( )|.nfxf x 由定義由定義1知知, ( )( )(),.nfxf xnxD 定理13.1（函數(shù)列一致收斂的

16、柯西準(zhǔn)則）函數(shù)列函數(shù)列nfD在數(shù)集在數(shù)集上一致收斂的充要條件是上一致收斂的充要條件是: 對(duì)任給正數(shù)對(duì)任給正數(shù) , ,n mN 總存在正數(shù)總存在正數(shù) N , 使當(dāng)使當(dāng)xD 對(duì)一切對(duì)一切, 都有都有 |( )( )|.(4)nmfxfx ,nN于于是是當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)( ),.f xx D 記其極限函數(shù)為記其極限函數(shù)為 定理13.2（余項(xiàng)準(zhǔn)則）根據(jù)一致收斂定義可推出下述定理根據(jù)一致收斂定義可推出下述定理:limsup|( )( )| 0.(6)nnx Dfxf x則對(duì)任則對(duì)任 證證 必要性必要性 ( )( )(),.nfxf xnxD若若1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)

17、數(shù)的一致收斂性判別法nffD函數(shù)列函數(shù)列 在區(qū)間在區(qū)間 上一致收斂于上一致收斂于 的充分必要條件是的充分必要條件是: 由上確界的定義由上確界的定義, 對(duì)所有對(duì)所有nN, 也有也有sup|( )( )|.nx Dfxf x 這就得到了這就得到了(6)式式.有有 |( )( )|,.nfxf xxD 給的正數(shù)給的正數(shù) , 存在不依賴(lài)于存在不依賴(lài)于 x 的正整數(shù)的正整數(shù) N, nN當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,充分性充分性 由假設(shè)由假設(shè), 對(duì)任給對(duì)任給0, 存在正整數(shù)存在正整數(shù)N, 使得使得 nN當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,有有sup|( )( )|.(7)nx Dfxf x ,xD因因?yàn)闉閷?duì)對(duì)一一切切總總有有|( )( )|

18、sup|( )( )|.nnx Dfxf xfxf x故由故由 (7) 式得式得( )( ),nfxf x 1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法 定理13.2（余項(xiàng)準(zhǔn)則）limsup|( )( )| 0.(6)nnx Dfxf x nffD函數(shù)列函數(shù)列 在區(qū)間在區(qū)間 上一致收斂于上一致收斂于 的充分必要條件是的充分必要條件是: .nfDf于于是是在在上上一一致致收收斂斂于于1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法注注 柯西準(zhǔn)則的特點(diǎn)是不需要知道極限函數(shù)是什么柯西準(zhǔn)則的特點(diǎn)是不需要知道極限函數(shù)是什

19、么, , 只是根據(jù)函數(shù)列本身的特性來(lái)判斷函數(shù)列是否一致只是根據(jù)函數(shù)列本身的特性來(lái)判斷函數(shù)列是否一致 收斂收斂，較為方便較為方便. . (,)sin1limsup0lim0,nnxnxnn sin(,),0().nxnn所所以以在在上上而使用余項(xiàng)準(zhǔn)則需要知道而使用余項(xiàng)準(zhǔn)則需要知道極限函數(shù)極限函數(shù), , 但使但使用用如例如例2, 2, 由于由于 推論函數(shù)列函數(shù)列 在在 D上不一致收斂于上不一致收斂于 f 的充分必要條件是的充分必要條件是: nf存在存在 ,nxD|()()|nnnfxf x 使得使得 不收斂于不收斂于0.例例3 定義在定義在0,1上上的函數(shù)列的函數(shù)列2212,0,211( )22,

20、1,2,(8)210,1,nn xxnfxnn xxnnnxn(0)0,nf由由于于(0)f故故lim(0)0.nnf01,x當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)1,nx只只要要就就有有( )0,nfx (0,1故故在在上上有有( )lim( )0.nnf xfx1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法1, 2, 3n 其其中中的圖的圖像如圖像如圖13-3 所示所示. (8)0,1于于是是在在上上的的極極限限函函數(shù)數(shù)( )0.f x為為0,11sup( )( )(),2nnxfxf xfnnn 所以函數(shù)列所以函數(shù)列 (8) 在在0,1上不一致收斂上不一致收斂.133 圖圖(

21、)f x11f2f3f12131614213xyO1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法又由于又由于例例4 討論函數(shù)例討論函數(shù)例222( )e,0,1n xnfxn xx 的一致的一致 收斂性收斂性. 解解 為了使用余項(xiàng)準(zhǔn)則為了使用余項(xiàng)準(zhǔn)則, 首先求出函數(shù)列的極限函數(shù)首先求出函數(shù)列的極限函數(shù). 易見(jiàn)易見(jiàn)222( )lim( )lime0,0,1,n xnnnf xfxn xx 于是于是 222|( )(0)|e.n xnfxfn x 222en xn x 0,1容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 在在 上只有惟一的極大值點(diǎn)上只有惟一的極大值點(diǎn) 01,2xn 因此

22、為最大值點(diǎn)因此為最大值點(diǎn). 12sup|( )( )|e2nnfxf x 根據(jù)余項(xiàng)準(zhǔn)則知該函根據(jù)余項(xiàng)準(zhǔn)則知該函數(shù)列在數(shù)列在0,1上不一致上不一致收斂收斂.1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法于于是是00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.511.522.5n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5圖圖13 4 1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法 定義2注注 222( )en xnfxn x 不一致收斂是因?yàn)楹瘮?shù)列余不一致收斂是因?yàn)楹瘮?shù)列余 0 x 項(xiàng)的數(shù)值在

23、項(xiàng)的數(shù)值在 附近不能隨附近不能隨 n 的增大一的增大一致趨于零致趨于零 (見(jiàn)圖見(jiàn)圖13-4), ,1(0aa 222( )en xnfxn x 在該區(qū)間上一致收斂于零在該區(qū)間上一致收斂于零. 1), 0 1.nf因因此此在在， 上上內(nèi)內(nèi)閉閉一一致致收收斂斂nffI設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)列列與與 定定義義在在區(qū)區(qū)間間 上上，1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法,a bI區(qū)區(qū)間間上上若若對(duì)對(duì)任任意意閉閉,nfa bf在在上上一一致致收收斂斂于于 ，.nfIf在在 上上內(nèi)內(nèi)閉閉一一致致收收斂斂于于則則稱(chēng)稱(chēng)因此對(duì)任何不含原點(diǎn)的區(qū)間因此對(duì)任何不含原點(diǎn)的區(qū)間( )

24、nuxE設(shè)設(shè)是是定定義義在在數(shù)數(shù)集集上上的的一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)列列, ,表表達(dá)達(dá)式式12( )( )( ),(9)nu xuxuxxE1( )nnux簡(jiǎn)記為或簡(jiǎn)記為或( ).nux1( )( ),1,2,(10)nnkkSxuxxE n為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(9)的部分和函數(shù)列的部分和函數(shù)列.1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性稱(chēng)為定義在稱(chēng)為定義在E上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 稱(chēng)稱(chēng)0,xE若若數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)10200()()()(11)nu xuxux0 x稱(chēng)為稱(chēng)為 (9)(9)的收的收斂點(diǎn)斂點(diǎn). .收斂收斂,

25、, 0 x收斂收斂, , 則稱(chēng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù)(9)(9)在點(diǎn)在點(diǎn)1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)(11)(11)發(fā)散發(fā)散, , 則稱(chēng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù)(9)(9)在點(diǎn)在點(diǎn)0 x發(fā)散發(fā)散. . E E 的某個(gè)子集的某個(gè)子集 D D上每點(diǎn)都收斂上每點(diǎn)都收斂, , 則稱(chēng)則稱(chēng) D D為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)(9)(9)的的若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)(9)(9)在在 則稱(chēng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù)(9)(9)在在D D上收斂上收斂. . 若若 D D 為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)(9)(9)全體收斂點(diǎn)的集合全體收斂點(diǎn)的集合, ,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(9)(9)在在 D D上每一點(diǎn)上每一點(diǎn) x x 與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)

26、項(xiàng)級(jí)與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)收斂域收斂域. .數(shù)數(shù)(11)(11)的的和和( )S x構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè)定義在定義在 D D 上的函數(shù)上的函數(shù), , 12( )( )( )( ) ,nu xuxuxS xxD即即lim( )( ),.nnSxS xxD(9)(9)的和函的和函數(shù)數(shù), , 記作記作稱(chēng)為級(jí)稱(chēng)為級(jí)也就是說(shuō)也就是說(shuō), , 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(9)(9)的收斂性就是指它的部分和的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列函數(shù)列(10)(10)的收斂性的收斂性. . 例例5 (,) 定定義義在在上上的的函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)( (幾幾何何級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)) )21,(12)nxxx1( ).1nnxSxx的的部部分分和

27、和函函數(shù)數(shù)為為( )lim( )nnS xSx1(12)( 1,1)( );1S xx所所以以幾幾何何級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂于于|1,.x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 幾幾何何級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是發(fā)發(fā)散散的的1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法| 1x當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,1.1x 定義3( )( )nnSxux設(shè)設(shè)是是函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的部部分分和和函函數(shù)數(shù)列列. .( )( ),nSxDS x若若在在數(shù)數(shù)集集 上上一一致致收收斂斂于于 則稱(chēng)則稱(chēng)( )( ),nuxDS x函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在上上一一致致收收斂斂于于函函數(shù)數(shù)( ).nuxD或或稱(chēng)稱(chēng)在在上上一一致致收收

28、斂斂由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性是由由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù)它的部分和函數(shù)1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法列來(lái)確列來(lái)確定定, ,所以得到的有關(guān)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定理所以得到的有關(guān)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定理. . 定理13.3（一致收斂的柯西準(zhǔn)則）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ( )nux在數(shù)集在數(shù)集 D 上一致收斂的充要上一致收斂的充要存在正整數(shù)存在正整數(shù)N， ，對(duì)任給的對(duì)任給的正數(shù)正數(shù)使使當(dāng)當(dāng) 對(duì)一切對(duì)一切 ,xDp和和一一切切正正整整數(shù)數(shù)|( )( )|,n pnSxSx 或或12|( )( )( )|.nnnpuxuxux 此定理中當(dāng)此定

29、理中當(dāng) p=1 時(shí)時(shí), 得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的一個(gè)得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的一個(gè)1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法條件為條件為: :n N時(shí)時(shí)，都有都有必要條件必要條件. . 定理13.4（余項(xiàng)法則） 推論 (函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的必要條件) 函數(shù)項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)( )nuxD在在數(shù)數(shù)集集上上一一致致收收斂斂的的( )nuxD必要條件是函必要條件是函數(shù)數(shù) 列列 在在 上一致收斂于零上一致收斂于零. ( )( ),nuxDS x設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在上上的的和和函函數(shù)數(shù)為為稱(chēng)稱(chēng)( )( )( )nnRxS xSx( ).nux為為函函數(shù)數(shù)

30、項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的余余項(xiàng)項(xiàng)limsup |( )| limsup |( )( )| 0.nnnnx Dx DRxS xSx1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法( )( )nuxDS x函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在數(shù)數(shù)集集 一一致致收收斂斂于于的的充充要要條條件件是是0,nnx我我們們?cè)僭賮?lái)來(lái)看看例例4 4中中的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)則由則由 ,sup |( )( )|sup0()11nnnxa axa axaSxS xnxa0, nnxa a可可得得級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在上上一一致致收收斂斂. .若在若在(1, 1)上討論這個(gè)級(jí)數(shù)上討論這個(gè)級(jí)數(shù), 則由則由 1 級(jí)數(shù)的收

31、斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法 ( 1,1)( 1,1)sup |( )( )|sup1111nnnxxxnnSxS xnnx 1()1nnnnn0( 1,1)nnx知知道道級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)不不一一致致收收斂斂. .,(1)a a a若若僅僅在在上上討討論論20(1)nnxx 0,1例例6 討論函數(shù)項(xiàng)討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)在在上一致上一致收斂性收斂性. 1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法210( )(1)(1)(1)nknnkSxxxxx 所以所以 ( )lim( )(1)0,1.nnS xSxxx

32、 ，于是于是|( )( )|(1),0,1,nnS xSxxxx 由由1(1)(1)0nnnxxnxnx 解得最大值點(diǎn)解得最大值點(diǎn) 0,1nxn 故故 0 x (1)0nS 01x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),; 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)解解0,1sup |( )( )|nxS xSx 1011nnnn 因此因此20(1)nnxx 在在0,1上一致收斂上一致收斂.注注 當(dāng)和函數(shù)容易當(dāng)和函數(shù)容易求出時(shí)求出時(shí), 0n 1n 2n ( )1S xx ( )()()111nnS xxx xy0.510.20.40.60.81O圖圖 13 - 51 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法2

33、0(1)nnxx 0,1例例6 討論函數(shù)項(xiàng)討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)在在上一致上一致收斂性收斂性. 余項(xiàng)準(zhǔn)則是比較好用的余項(xiàng)準(zhǔn)則是比較好用的一種判別方法一種判別方法. . 定理13.5 ( 魏爾斯特拉斯判別法，或優(yōu)級(jí)數(shù)判別法 ) 判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性除了根判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性除了根據(jù)定義、柯西據(jù)定義、柯西( ),nuxD定定義義在在數(shù)數(shù)集集上上nM設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為收為收 斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，,xD若若對(duì)對(duì)一一切切有有|( )|,1,2,(13)nnuxMn( )nuxD則則函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在上上一一致致收收斂斂. .1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其

34、一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂判別法準(zhǔn)則或余項(xiàng)準(zhǔn)則外準(zhǔn)則或余項(xiàng)準(zhǔn)則外, , 有些級(jí)數(shù)還可以根據(jù)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)有些級(jí)數(shù)還可以根據(jù)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)的某些特性來(lái)判別的某些特性來(lái)判別. . 證證 ,nM由由假假設(shè)設(shè)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 根根據(jù)據(jù)數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的柯柯西準(zhǔn)則西準(zhǔn)則, 及任何正整數(shù)及任何正整數(shù) p, 有有 11|.nn pnn pMMMM (13)xD又又由由式式對(duì)對(duì)一一切切有有11|( )( )| |( )|( )|nn pnn puxuxuxux根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)( )nux在在 D 上一致收斂上一致收斂

35、. 1.nn pMM 1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法, 存在某正整數(shù)存在某正整數(shù)N, 使得當(dāng)使得當(dāng) n N 任給正數(shù)任給正數(shù)|( )|,1,2,(13)nnuxMn例例7 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 22sincos,nxnxnn (,)在在上上一一致致收收斂斂. .2222sin1cos1,nxnxnnnn21.n而而正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是收收斂斂的的當(dāng)級(jí)數(shù)當(dāng)級(jí)數(shù)( ) , nnuxMa b 與與級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上成立關(guān)系式上成立關(guān)系式1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法( )nnMux

36、為為或稱(chēng)或稱(chēng)的的優(yōu)級(jí)數(shù)優(yōu)級(jí)數(shù). nM , a b則稱(chēng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上優(yōu)于級(jí)數(shù)上優(yōu)于級(jí)數(shù) ( )nux (,)x因因?yàn)闉閷?duì)對(duì)一一切切有有(13)時(shí)時(shí), 優(yōu)級(jí)數(shù)判別法也稱(chēng)為優(yōu)級(jí)數(shù)判別法也稱(chēng)為M M 判別法判別法. . 定理13.6 (阿貝爾判別法) 對(duì)于定義在區(qū)間對(duì)于定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有類(lèi)似的判有類(lèi)似的判別定理別定理:1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法設(shè)設(shè) (i)( );nuxI在在區(qū)區(qū)間間上上一一致致收收斂斂(ii),( );nxI vx對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)是是單單調(diào)調(diào)的的(iii)( ),nvxIxI在在

37、上上一一致致有有界界 即即對(duì)對(duì)一一切切整數(shù)整數(shù) n , 存在正數(shù)存在正數(shù) M, |( )|,nvxM則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)(14)在在 I 上一致收斂上一致收斂.1122( )( )( ) ( )( )( )nnux vxu x v xu x vx( )( )(14)nnux vx和正和正使得使得 12|( )( )( )|nnn puxuxux 又由又由(ii),(iii)及阿貝耳引理及阿貝耳引理(第十二章第十二章3的引理的推的引理的推 論論)得到得到 11|( )( )( )( )|nnn pn pux vxux vx由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的柯西準(zhǔn)則由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的柯西準(zhǔn)則, 得級(jí)數(shù)得級(jí)數(shù)(

38、14) 在在 I 上一致收斂上一致收斂. 1(|( )| 2|( )|)3.nn pvxvxM 證證 (i),0,NnN 由由任任給給存存在在某某正正數(shù)數(shù)使使得得當(dāng)當(dāng)及及,pxI任任何何正正整整數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)一一切切有有1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法 定理13.7 (狄利克雷判別法) 設(shè)設(shè)(i)( )nux 的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列1( )( )(1,2,)nnkkUxuxn在在 I 上一致有界上一致有界;(ii),( );nxI vx對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)是是單單調(diào)調(diào)的的 (iii)( )0(),nIvxn在在上上則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)(14)在在I上

39、一致收斂上一致收斂.|( )|.nUxM證證 由由(i), 存在正數(shù)存在正數(shù) M, 對(duì)一切對(duì)一切x I, 有有 1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法因此當(dāng)因此當(dāng) n, p 為任何正整數(shù)時(shí)為任何正整數(shù)時(shí), 12|( )( )( )|nnnpuxuxux|( )( )| 2.n pnUxUxM對(duì)任何一個(gè)對(duì)任何一個(gè) x I, 再由再由(ii)及阿貝耳引理得到及阿貝耳引理得到 11|( )( )( )( )|nnnpnpux vxux vx 0, 存在正數(shù)存在正數(shù)N, 當(dāng)當(dāng)nN 時(shí)時(shí), 對(duì)對(duì) 再由再由(iii), 對(duì)任給的對(duì)任給的 一切一切x I, 有有 |( )|,nvx 所以所以12(|( )| 2|( )|).nn pMvxvx1 級(jí)數(shù)的收斂性函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法11|( )( )( )( )|nnn pn pux vxux vx2(2 )6.MM 于是由一致收斂性的柯西準(zhǔn)則于是由一致收斂性的柯西準(zhǔn)則, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(14)在在I上一致收斂上一致收斂. 例例8 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)11( 1) ()nnnnxnn在在0, 1上一致收斂上一致收斂.( 1)( ),