第八章平面向量

1、高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學第八章第八章 平面向量平面向量 高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學考綱分解解讀考綱分解解讀 高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學1.平面向量的實際背景及基本概念（1）了解向量的實際背景.（2）理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義.（3）理解向量的幾何表示.2.向量的線性運算（1）掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.（2）掌握向量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義.（3）了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.3.平面向量的基本定理及坐標表示（1）了解平面向量的基本定理及其意義.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.高考總復

2、習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學（3）會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.（4）理解用坐標表示的平面向量共線的條件.4.平面向量的數(shù)量積（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.（3）掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.（4）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個 平面向量的垂直關(guān)系.5.向量的應用（1）會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.（2）會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學知識體系構(gòu)建知識體系構(gòu)建 高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學高考總復習

3、高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學備考方略備考方略 高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學向量是數(shù)學中的重要概念，它廣泛應用于生產(chǎn)實踐和科學研究中，其重要性逐漸加強.在高考試題中，主要考查有關(guān)的基礎(chǔ)知識，突出向量的工具作用平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性質(zhì)和運算法則，以及基本運算技能，考查學生掌握平面向量的和、差、數(shù)乘和數(shù)量積的運算法則，理解其直觀的幾何意義，并能正確地進行運算；第二，考查向量的坐標表示，及坐標形式下的向量的線性運算；第三，和函數(shù)、曲線、數(shù)列等知識結(jié)合，考查綜合運用知識能力高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學在近幾年的高考中，每年都有兩道題目其中小題以填空題或選

4、擇題形式出現(xiàn)，考查了向量的性質(zhì)和運算法則，數(shù)乘、數(shù)量積、共線問題與軌跡問題大題則以向量形式為條件，綜合考查了函數(shù)、三角、數(shù)列、曲線等問題具體來說，本章試題的常見類型有（1）平面向量的加減法運算及其幾何意義；（2）平面向量的數(shù)量積及運算律，平面向量的坐標運算，用向量的知識解決幾何問題；（3）平面向量與三角的交匯；（4）平面向量與解幾的交匯.高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學復習本章時要注意復習本章時要注意（1）向量具有大小和方向兩個要素.用線段表示向量時，與有向線段起點的位置沒有關(guān)系，同向且等長的有向線段都表示同一向量.（2）共線向量和平面向量的兩條基本定理，揭示了共線向量和平面向量的基本

5、結(jié)構(gòu)，它們是進一步研究向量的基礎(chǔ).（3）向量的加、減、數(shù)乘是向量的線性運算，其結(jié)果仍是向量.向量的數(shù)量積結(jié)果是一個實數(shù).向量的數(shù)量積可以計算向量的長度、平面內(nèi)兩點間距離、兩個向量的夾角，判斷相應的兩條直線是否垂直.高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學（4）向量的運算與實數(shù)的運算有異同點，學習時要注意這一點，如數(shù)量積不滿足結(jié)合律.（5）要注意向量在幾何、三角、物理學中的應用.（6）平面向量的數(shù)量積及坐標運算是高考的重點，復習中要注意培養(yǎng)準確的運算能力和靈活運用知識的能力.高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學第一節(jié)第一節(jié) 向量與向量的線性運算向量與向量的線性運算 高考總復習高考總復習.理科

6、理科.數(shù)學數(shù)學課前自主學案課前自主學案 高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學知識梳理知識梳理 （1）平面向量平面內(nèi)既有大小又有方向的量叫做向量.向量一般用a,b,c來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：.向量 的大小即向量的模（長度），記作| |.即向量 a 的大小，記作a |.向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.（2）零向量長度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行.零向量a0a0.由于0的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件.（注意與0的區(qū)別）ABABAB高考總復習高考總復習.理科理

7、科.數(shù)學數(shù)學（3）單位向量模為1個單位長度的向量，向量a0為單位向量a01.（4）平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量.任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作ab.由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量.（5）相等向量長度相等且方向相同的向量.相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為a=b.高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學2向量的運算（1）向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法.設(shè)AB=a,BC=b，則a+b= AB+BC=AC.規(guī)定： 0+a=a+0=a； 向量加法滿足交換律與結(jié)合

8、律.向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”a用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量.b三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點.當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則.高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學（2）向量的減法相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量.記作a,零向量的相反向量仍是零向量.關(guān)于相反向量有：a.(a)=a；

9、b.a+(a)=(a)+a=0；c.若a、b是互為相反向量，則a=b,b=a,a+b=0.向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作：ab=a+(b).求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：AB+BC+CD+PQ+QR=AR，但這時必須“首尾相連”.高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學作圖法：ab可以表示為從b的終點指向a的終點的向量（a、b有共同起點）.（3）實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的長度與方向規(guī)定如下：a.Ia I=III a I b.當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當=0時，

10、a=0，方向是任意的.數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律.3兩個向量共線定理向量b與非零向量a共線有且只有一個實數(shù)，使得b=a.4平面向量的基本定理如果e1,e2是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1,2使：a=1e1+2e2.其中不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學1.（2008年全國卷）在ABC中，AB=c，AC=b若點D足BD=2DC，則AD= ( )A 2/3b+ 1/3c B 5/3c 2/3bC2/3 b 1/3c D 1/3b+ 2/3c基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測 A解析：解析：bcAD

11、bcACABADADACABAD3231,223)( 2由高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學ADBFEC解析：解析：A. 0AD0,答案：或得CFAFCFDFCFBEADFCDEBEDBBEADDBADA2(2009年湖南卷)如圖所示，D、E、F分別是ABC的邊AB、BC、CA的中點，則 （ ）A.AD+BE+CF=0 0B.BD-CF +DF=0 0C.AD+ CE-CF =0 0D.BD-BE-FC =0 0高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學3.(2009年安徽卷)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若AC=AE+AF，其中,R，則+=_ 解析：解析：4/3

12、43.43,32,21,21,答案：代入條件得則設(shè)abACabAEabAFaBAbBC高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學4.(2009年湖南卷)如右圖所示，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若AD=xAB+y,則x= _ ,y=_ABCDE231 23.23,231,23222645,26,60,21,yxBFDFDBFBDDEBDEBCACABFABDF故解得由設(shè)于作解析：解析：高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學課堂互動探究課堂互動探究 高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學對向量及其相關(guān)概念的理解 給出下列命題：若|a|b|，則a=b；若A，B，C，D是不共線的四點，則AB

13、=DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若a=b，b=c，則a=c;a=b的充要條件是|a|=|b|且ab；若ab，bc，則ac.其中正確的序號是_.解析：不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確AB=DC，|AB|=|DC|且ABDC，又A，B，C，D是不共線的四點，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則,ABDC且|AB|=|DC|，因此，AB=DC正確a=b，a，b的長度相等且方向相同；又bc，b，c的長度相等且方向相同，a，c的長度相等且方向相同，故ac高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學不正確當ab且方向相反時，即使|a|=|b|，也

14、不能得到a=b，故|a|=|b|且ab不是a=b的充要條件，而是必要不充分條件不正確考慮b=0這種特殊情況綜上所述，正確命題的序號是 答案： 點評：本題主要復習向量的基本概念向量的基本概念較多，因而容易遺忘為此，復習時一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，正確理解向量的有關(guān)概念.另一方面要善于與物理中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學變式探究變式探究 1.設(shè)a0為單位向量若a為平面內(nèi)的某個向量，則|a|a0;若a與a0平行，則a=|a|a0；若a與a0平行且|a|=1，則a=a0.上述命題中，假命題個數(shù)是 （ ）A0 B1 C2 D. 3 解析：解析：向量是既有大小又有

15、方向向量，a與|a|a0模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與與a0平行，則有a與與a0方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時，a=-|a|a0，故，也是假命題。綜上所述，答案選D.D高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學向量加、減法法則的運用向量加、減法法則的運用 如右圖所示，G是ABC的重心（三角形的三條中線的交點），求證：GA+GB+GC=0.分析分析：要證GA+GB+GC=0，只需證GA+GB=GC，即只需證 GA+GB與GC互為相反的向量.證明證明：以向量GB,GC為鄰邊作平行四邊形GBEC，則GB+GC= GE=2GD，又由G為ABC的重心知AG=2GD，從而 GA=2

16、GD，GA+GB+GC=2GD+2GD=0.點評點評：向量的加法可以用幾何法進行.正確理解向量的各種運算 的幾何意義，能進一步加深對“向量”的認識，并能體會用 向量處理問題的優(yōu)越性.高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學變式探究變式探究 2.（2009年福州模擬)已知O是ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且2OA+OB+OC=0，那么 ( )AO=OD AO=2ODAO=3OD 2AO=OD解析：解析：., 022,2AODAOODOAODOCOBBCDABCO故選即且邊中點，為所在平面內(nèi)一點，是A高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學對共線向量、平面向量的基本定理的考查對共線向量、平

17、面向量的基本定理的考查 設(shè)OA、OB不共線，點P在AB上，求證：OP=OA+OB，且+=1，、R.試問：其逆命題成立嗎？試證之.分析分析：點P在AB上，可知AP與AB共線，得AP = tAB.再用以O(shè)為起點的向量表示.證明證明：P在AB上，AP與AB共線. AP=tAB.OPOA=t（OBOA）. OP=OA+tOBtOA=（1t）OA+t OB.設(shè)1t=，t=，則OP=OA+ OB,且+=1，、R.高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學這個命題的逆命題是這個命題的逆命題是：“設(shè)OA、OB不共線，若OPOA+OB且+=1,、R，求證：A、B、P三點共線”.它是真命題. +=1,、R,=1,

18、OPOA+(1)OB, OP-OBOAOB=(OAOB), 而OP-OB=BP,OAOB=BA,BP=BA, BP與BA共線.所以A、B、P三點共線.點評：點評：（1）本例的重點是考查平面向量的基本定理，及對共線向量的理解及應用.（2）當=1/2時，OP1/2(OA+OB)，此時P為AB的中點，這是向量的中點公式.高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學變式探究變式探究 3. (2008年廣東卷）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F若AC=a,BD=b，則AF= （ ） A1/4a+1/2b B2/3a+1/3bC1/2a+1/4b D1/

19、3a+2/3b解析：解析：解題關(guān)鍵是利用平面幾何知識得出DF:FC=1:2，然后利用向量的加減法則，可得正確答案為B.答案：答案：BB高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學例4 已知向量a=2e13e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共線，向量c=2e19e2.問是否存在這樣的實數(shù)、，使向量d=a+b與c共線? 解析：解析：d=（2e13e2）+（2e1+3e2）=（2+2）e1+（3+3)e2，要使d與c共線，則應有實數(shù)k，使d=kc，即（2+2）e1+（3+3）e2=2ke19ke2，由2+2=2k，3+3=9k，得=2.故存在這樣的實數(shù)、，只要=2，就能使d與c共線.高考總復習高

20、考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學變式探究變式探究 4(2008年鄂州模擬)e1,e2是平面內(nèi)不共線兩向量，已知AB=e1ke2,CB=2e1+e2,CD=3e1e2，若A,B,D三點共線，則k的值是 （ ）A2 B3 C2 D3解析：解析：即則三點共線，又.ADABDB,A, 21eeCBCDBD21kA., 2 故選k答案：答案：AA高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學溫馨提示溫馨提示 高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學1.我們學習的向量具有大小和方向兩個要素.用有向線段表示向量時，與有向線段起點的位置沒有關(guān)系.同向且等長的有向線段都表示同一向量.2.用平行四邊形法則時，兩個已知向量是

21、要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量.3.三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點.4.共線向量和平面向量的兩條基本定理，揭示了共線向量和平面向量的基本結(jié)構(gòu)，它們是進一步研究向量的基礎(chǔ).高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學5.對于兩個向量平行的充要條件ab a=b，只有b0才是正確的.而當b=0時，ab是a=b的必要不充分條件.6.特別注意（1）向量的加法與減法是互逆運算.（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件.（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況.高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學 題型展示臺題型展示臺 高考總復習高考總復習.理科理科.數(shù)學數(shù)學 (2009年安徽)給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120，如右圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動，若OC=xOA+yOB，其中x，yR,則x+y的最大值是_.解析解析：設(shè)AOC= OCOA=x