中學(xué)數(shù)學(xué)建模中的常見(jiàn)模型舉例

1、中學(xué)數(shù)學(xué)建模中的常見(jiàn)模型舉例成都市龍泉一中 張昌金 610100人教社2003年普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)“要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”，要“開(kāi)展數(shù)學(xué)建模”的學(xué)習(xí)活動(dòng)”，“促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力”?？梢?jiàn)，數(shù)學(xué)建模已被提高到很高的高度。但是學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中，最難的是如何分析出實(shí)際問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)模型。下面就高中數(shù)學(xué)建模中的常見(jiàn)模型予以舉例說(shuō)明。1、函數(shù)模型例1、根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，我國(guó)能源生產(chǎn)自1985年以來(lái)發(fā)展速度很快，下面是我國(guó)能源生產(chǎn)總量（折合億噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，1985年8.6億噸，1990年10.4億噸，1995年12.9億噸。有關(guān)專家預(yù)測(cè)：到2

2、005年我國(guó)能源生產(chǎn)總量將超過(guò)20億噸。試給出一個(gè)簡(jiǎn)單模型，說(shuō)明有關(guān)專家的預(yù)測(cè)是否合理。分析：這是一個(gè)能源總量隨著年份變化的題，可以考慮用“函數(shù)”作模型。解：為方便起見(jiàn)，把已知 的三組數(shù)據(jù)（1985，8.6），（1990，10.4），（1995，12.9）變換為（0，8.6），（5，10.4），（10，12.9），用圖象或代數(shù)方法易見(jiàn)不適合用一次函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)擬合，試選用二次函數(shù)擬合，令相應(yīng)的二次函數(shù)為，則所以，對(duì)應(yīng)于2005，取，代入此函數(shù)關(guān)系式得，這說(shuō)明有關(guān)專家的預(yù)測(cè)合理。2、方程模型例2、某顧客第一次在商店買件商品花去元，第二次再去買該商品時(shí)，發(fā)現(xiàn)這種商品已降價(jià)，且120件正好降80元，因此

3、這一次他比第一次多買10件，共花去20元，若該顧客第一次至少花去10元，那么他第一次至少買商品多少件？分析：容易看出，這個(gè)題涉及方程?？捎谩胺匠獭蹦Ｐ?。解：第一次購(gòu)買商品的單價(jià)是，每件降價(jià)元，故解之得或（舍去），所以至少買5件商品。3、不等式模型例3、汽車在行駛過(guò)程中，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”。剎車距離是分析事故的一個(gè)重要因素，在一個(gè)限速40以內(nèi)的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是碰車了，事發(fā)后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車的剎車距離略超過(guò)12，乙車的剎車距離略超過(guò)10，又知甲、乙兩種車型的剎車距離與車速之間分別有如下關(guān)系：。

4、問(wèn)超速行駛應(yīng)負(fù)主要責(zé)任的是誰(shuí)？分析：要弄清主要責(zé)任者，應(yīng)需分析行駛速度，要弄清速度問(wèn)題，就要運(yùn)用剎車距離函數(shù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，構(gòu)建一元二次不等式。解：分別求解得：，或（舍去）；或（舍去）。經(jīng)比較知乙車超過(guò)限速，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任。4、數(shù)列模型例4、某地區(qū)位于沙漠邊緣地帶，人與自然進(jìn)行了長(zhǎng)期頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到2000年底，全地區(qū)的綠化率已達(dá)到30%，從2001年開(kāi)始，預(yù)計(jì)將會(huì)出現(xiàn)以下變化，原有沙漠面積的16%栽上樹，并成為綠洲；同時(shí)，原有綠洲面積的4%又被侵蝕為沙漠，問(wèn)至少經(jīng)過(guò)多少年的努力，才能使全地區(qū)的綠洲面積超過(guò)60%？（年數(shù)取整數(shù)，）分析：這里涉及兩個(gè)量的“連環(huán)關(guān)系”，那就分別用兩個(gè)數(shù)列的遞推公式去表示即

5、可用“數(shù)列模型”。設(shè)經(jīng)過(guò)年后綠洲面積為，沙漠面積為，根據(jù)題意能較容易找出遞推公式。解：設(shè)2000年底綠洲面積為，沙漠面積為；經(jīng)過(guò)年后綠洲面積為，沙漠面積為，并設(shè)這個(gè)地區(qū)總面積為1，則。由題意知：，這個(gè)式子可變形為所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。因此，依題意有解得。故至少經(jīng)過(guò)5年才能使全地區(qū)的綠洲面積超過(guò)60%。5、三角模型B例5、如圖，某城市有一條公路從正西方通過(guò)市中心后轉(zhuǎn)向東北方，現(xiàn)要修筑一條鐵路，在上設(shè)一站，在上設(shè)一站，鐵路在部分為直線段，現(xiàn)要求市中心與的距離為10千米，問(wèn)把、分別設(shè)在公路上離市中心多遠(yuǎn)處，才能使最短，并求其最短距離。DLLOA 分析：此題因?yàn)樯婕暗阶钪?，并與直角三角形有關(guān)，可以建立“三角”模型來(lái)研究。解：過(guò)點(diǎn)作于，則，設(shè)，在中，所以當(dāng)即時(shí)，最短，最短距離為20，此時(shí)、距離市中心為千米。6、幾何模型例6、是我方三個(gè)炮兵陣地，在的正東，相距6千米，在的北偏西30，相距4千米，為敵炮兵陣地，某時(shí)刻發(fā)現(xiàn)敵炮兵陣地的某種信號(hào)，由于、兩地比距地遠(yuǎn)，因此4秒后，、才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)（該信號(hào)的傳播速度為每秒1千米），若炮擊地，求炮擊的方位角。分析：由題意知，點(diǎn)與點(diǎn)、的距離相距4千米，即，依此可建立“雙曲線”模型。解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以正東、正北方向?yàn)?、軸，建立直角坐標(biāo)系，則，