地球物理反演理論

1、地球物理反演理論地球物理反演理論地球物理反演理論課程組地球物理反演理論Backus-Gilbert反演理論反演理論1，在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論，在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論2，在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演，在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論理論 3，BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一）4，BG線性評價(jià)（二）線性評價(jià)（二）5，BG反演理論在反褶積中的應(yīng)用反演理論在反褶積中的應(yīng)用 地球物理反演理論Backus-Gilbert反演理論反演理論連續(xù)介質(zhì)的反演理論是反演理論之父連續(xù)介質(zhì)的反演理論是反演理論之父Backus和和Gilbert建立的，目前已形成一套完整、系統(tǒng)

2、的理論（稱之為建立的，目前已形成一套完整、系統(tǒng)的理論（稱之為BG理論）。理論）。 BG理論包括兩大部分：第一部分，在連續(xù)介質(zhì)情況下，如理論包括兩大部分：第一部分，在連續(xù)介質(zhì)情況下，如何處理數(shù)據(jù)有限而又有誤差的觀測數(shù)據(jù)；第二部分，在何處理數(shù)據(jù)有限而又有誤差的觀測數(shù)據(jù)；第二部分，在連續(xù)介質(zhì)情況下，如何處理解的非唯一性（如何從眾多連續(xù)介質(zhì)情況下，如何處理解的非唯一性（如何從眾多的非唯一的解中提取觀測數(shù)據(jù)所的非唯一的解中提取觀測數(shù)據(jù)所“給予給予”模型的證實(shí)信模型的證實(shí)信息），即息），即BGBG評價(jià)理論。評價(jià)理論。地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 假定

3、地球物理模型是空間坐標(biāo)假定地球物理模型是空間坐標(biāo) 的連續(xù)函數(shù)，其數(shù)據(jù)方程可表的連續(xù)函數(shù)，其數(shù)據(jù)方程可表示為：示為： rrirriimgmgd00dd,ig m1,2,iM(4.1)(4.1)式中：式中： 為觀測數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，為觀測數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)， 個(gè)觀測數(shù)據(jù)組成一個(gè)精確的不完整個(gè)觀測數(shù)據(jù)組成一個(gè)精確的不完整的數(shù)據(jù)集，構(gòu)成的數(shù)據(jù)集，構(gòu)成 個(gè)積分方程；個(gè)積分方程； 是觀測數(shù)據(jù)；是觀測數(shù)據(jù)； 為核函數(shù)；為核函數(shù)； 為模型；為模型； 為參量；而為參量；而 則表示內(nèi)積則表示內(nèi)積MMMid iiiggg, mimgi,地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 下面討論

4、線性積分方程（下面討論線性積分方程（4.14.1）的解法，即由）的解法，即由 個(gè)觀測數(shù)據(jù)個(gè)觀測數(shù)據(jù) 如何求取模型如何求取模型Mid m1、最小模型（、最小模型（smallest model）如果需要一個(gè)模型參數(shù)如果需要一個(gè)模型參數(shù) 范數(shù)為最小的模型，則可選擇的目標(biāo)函范數(shù)為最小的模型，則可選擇的目標(biāo)函數(shù)如下：數(shù)如下： rrmfE0d2（4.2）式中：式中： 是任意選擇的加權(quán)函數(shù)。在（是任意選擇的加權(quán)函數(shù)。在（4.14.1）式限制下，用）式限制下，用極小（極?。?.24.2）式可求得）式可求得 f m地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 1、最小模型

5、（、最小模型（smallest model）在（在（4.14.1）式）式 個(gè)條件約束下，極?。▊€(gè)條件約束下，極?。?.24.2）式目標(biāo)函數(shù)）式目標(biāo)函數(shù) 的問的問題，就是條件極值問題。從最優(yōu)化原理可知，如上的條件極值題，就是條件極值問題。從最優(yōu)化原理可知，如上的條件極值問題必須化為求如下目標(biāo)函數(shù)的無條件極值問題：問題必須化為求如下目標(biāo)函數(shù)的無條件極值問題： 0021ddMrriiirriEfmdgm（4.3）式中：式中： 為拉格朗日算子。為拉格朗日算子。iME地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 1、最小模型（、最小模型（smallest mode

6、l）根據(jù)變分原理中的歐拉方程，可得：根據(jù)變分原理中的歐拉方程，可得： 1122MMiiiiiiiga gma ff（4.4）式中：式中：2iia （4.5）將（將（4.4）式代入（）式代入（4.1）式，即得：）式，即得：地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 1、最小模型（、最小模型（smallest model） 0021211ddMrkkiirkMMrikkkikrkka gdgfggaa Gf（4.6）式中：式中：（4.7）如果將（如果將（4.4）式代入（）式代入（4.6）式分別改寫，則有：）式分別改寫，則有： 02d,rikikikrggg

7、gGfff地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 1、最小模型（、最小模型（smallest model） 21Tfma g（4.8）式中：式中：（4.9）dGa12Maaaa12Mgggg111212122212MMMMMMGGGGGGGGGG（4.10）地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 1、最小模型（、最小模型（smallest model） 由此可得最小模型的反演步驟如下：首先，根據(jù)（由此可得最小模型的反演步驟如下：首先，根據(jù)（4.74.7）式）式計(jì)算計(jì)算 ，并根據(jù)（，并根據(jù)（4.104.1

8、0）式組成矩陣）式組成矩陣 ；其；其次，根據(jù)（次，根據(jù)（4.94.9）式反演求取列向量）式反演求取列向量 ，這里，這里 ；第三，；第三，由（由（4.84.8）式計(jì)算連續(xù)模型）式計(jì)算連續(xù)模型 。,1,2,ikGi kMGa1aG d m地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2、最平緩模型（、最平緩模型（flattest model） 如果欲求一個(gè)如果欲求一個(gè) 起伏最小的模型，則可選擇起伏最小的模型，則可選擇如下的目標(biāo)函數(shù)：如下的目標(biāo)函數(shù)： mm 02drrEfm（4.11）但是，數(shù)據(jù)方程（但是，數(shù)據(jù)方程（4.1）式中并不）式中并不包括包括 。為此。

9、為此，對（，對（4.1）式）式進(jìn)行分部積分，即：進(jìn)行分部積分，即： m 000ddrrriiiirrrdgmmhmh地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2、最平緩模型（、最平緩模型（flattest model） 式中式中 0diirhguu iiifm r h rd（4.13）則有：則有：（4.12） 00ih r假設(shè)：假設(shè)： 0driirfmh ,imh1,2,iM（4.14）顯然，（顯然，（4.14）式就是新的數(shù)據(jù)方程組，可以作為極小（）式就是新的數(shù)據(jù)方程組，可以作為極小（4.11）式）式的約束條件。的約束條件。地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)

10、情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2、最平緩模型（、最平緩模型（flattest model） 和最小模型的求法相同，可得到和最小模型的求法相同，可得到 的最小模型的最小模型 進(jìn)而求得進(jìn)而求得 的最平緩模型的最平緩模型 。其步驟如下：。其步驟如下： 第一，按（第一，按（4.134.13）式計(jì)算）式計(jì)算 及及 和和 的內(nèi)的內(nèi)積積 ：（4.15）并構(gòu)成矩陣：并構(gòu)成矩陣： m m m m if ihf khfikH 0drikikrhhHff地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2、最平緩模型（、最平緩模型（flattest

11、model） （4.16）111212122212MMMMMMHHHHHHHHHH第二：按下式計(jì)算向量第二：按下式計(jì)算向量 ，F(xiàn)H得：得：1H F地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2、最平緩模型（、最平緩模型（flattest model） （4.17）12MfffF第三：和（第三：和（4.84.8）式類似，計(jì)算）式類似，計(jì)算 的最小模型的最小模型 ，即：，即： m式中：式中：12M m 21Tmf h式中：式中：12Mhhhh地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2、最平緩模型（、最平緩模型（

12、flattest model） （4.18）第四：對第四：對 積分，可得積分，可得 的最平緩模型，即：的最平緩模型，即： m m 0drmm uu 由此可見，在求最平緩模型時(shí)，是把由此可見，在求最平緩模型時(shí)，是把 作為新的觀測數(shù)據(jù)；作為新的觀測數(shù)據(jù)； 為新的核函數(shù)；為新的核函數(shù)； 作為新的待求最小模型。從計(jì)算過程可知，作為新的待求最小模型。從計(jì)算過程可知，求最平緩模型必須先已知在深度求最平緩模型必須先已知在深度 處的模型參數(shù)處的模型參數(shù) ，這也是一，這也是一種反演過程中強(qiáng)加的先驗(yàn)信息。種反演過程中強(qiáng)加的先驗(yàn)信息。ifih mr m r地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)

13、情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 3、最光滑模型（、最光滑模型（smoothest model） （4.19）類似地，如對（類似地，如對（4.144.14）式再作一次分部積分，則得：）式再作一次分部積分，則得： 0driiremk式中：式中： 000dd duiiirrrkh uugxx u （4.20） iiiiiiem r krfdm r h rm r kr（4.21）地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 3、最光滑模型（、最光滑模型（smoothest model） （4.22）求最光滑模型的目標(biāo)函數(shù)為：求最光滑模型的目標(biāo)函數(shù)為： 02drrEfm

14、其限制條件是（其限制條件是（4.19）式。按同樣的方法，可得：）式。按同樣的方法，可得： 21Miiikmf（4.23） 00d durrmmxx u （4.24）進(jìn)而，不難求得最光滑模型進(jìn)而，不難求得最光滑模型地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 3、最光滑模型（、最光滑模型（smoothest model） 求最光滑模型的計(jì)算步驟如下：求最光滑模型的計(jì)算步驟如下：第一，按（第一，按（4.214.21）式計(jì)算）式計(jì)算 及及 和和 的內(nèi)積的內(nèi)積 ，并，并組成矩陣組成矩陣 。 0driirkkKff（4.25）eK（4.26）第二，按下式計(jì)算向量第

15、二，按下式計(jì)算向量 ie ikf kfiKK且且1K e地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 3、最光滑模型（、最光滑模型（smoothest model） 式中：式中：（4.27）12Meeee（4.28）111212122212MMMMMMKKKKKKKKKK12M地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 3、最光滑模型（、最光滑模型（smoothest model） 第三，按（第三，按（4.234.23）式計(jì)算）式計(jì)算 的最小模型的最小模型 ，即：，即：（4.29）（4.30） m m 22111

16、MTiiimkff k式中：式中：12MkkkK地球物理反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 3、最光滑模型（、最光滑模型（smoothest model） 第四，按（第四，按（4.244.24）式計(jì)算最光滑模型）式計(jì)算最光滑模型 m 由連續(xù)介質(zhì)的最小模型，最平緩模型和最光滑模型的討論中可由連續(xù)介質(zhì)的最小模型，最平緩模型和最光滑模型的討論中可以看出：除以觀測數(shù)據(jù)方程作為限制條件外，最小模型無須另外的以看出：除以觀測數(shù)據(jù)方程作為限制條件外，最小模型無須另外的先驗(yàn)信息；而最平緩模型和最光滑模型則不同，前者需要知道在先驗(yàn)信息；而最平緩模型和最光滑模型則不同，前

17、者需要知道在 處的處的 值，后者除值，后者除 外還要知道外還要知道 的值。的值。 由于目標(biāo)函數(shù)不同，限制條件各異，連續(xù)介質(zhì)的這三種模型無由于目標(biāo)函數(shù)不同，限制條件各異，連續(xù)介質(zhì)的這三種模型無疑不會(huì)完全一致，但都可以擬合觀測數(shù)據(jù)。這再一次證明地球物理疑不會(huì)完全一致，但都可以擬合觀測數(shù)據(jù)。這再一次證明地球物理資料反演的非唯一性問題的嚴(yán)重性。資料反演的非唯一性問題的嚴(yán)重性。r m r m r m r地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 實(shí)際觀測數(shù)據(jù)都是含有誤差的，只是誤差大小及其所遵循實(shí)際觀測數(shù)據(jù)都是含有誤差的，只是誤差大小及其所遵

18、循的規(guī)律不同罷了。如何對待和處理有誤差的觀測數(shù)據(jù)，是的規(guī)律不同罷了。如何對待和處理有誤差的觀測數(shù)據(jù)，是BGBG反反演理論的一個(gè)重點(diǎn)。演理論的一個(gè)重點(diǎn)。 為了更清楚地理解這里所講的內(nèi)容，先復(fù)習(xí)一下矩陣的條為了更清楚地理解這里所講的內(nèi)容，先復(fù)習(xí)一下矩陣的條件數(shù)的概念。件數(shù)的概念。地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 1 1、矩陣的條件數(shù)、矩陣的條件數(shù)設(shè)反演的數(shù)據(jù)方程：設(shè)反演的數(shù)據(jù)方程：dGm（4.31）中觀測數(shù)據(jù)中觀測數(shù)據(jù) 和核函數(shù)和核函數(shù) 的誤差分別為的誤差分別為 和和 ，試問，在這種，試問，在這種條件下會(huì)對模型造成多大的誤差條

19、件下會(huì)對模型造成多大的誤差 ？ 首先，討論首先，討論 的變化引起的的變化引起的 之變化。在線性方程時(shí)，有：之變化。在線性方程時(shí)，有：dGdGmdmdG m（4.32）對（對（4.31）式和（）式和（4.32）式兩端取范數(shù)，則有：）式兩端取范數(shù)，則有：地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 1 1、矩陣的條件數(shù)、矩陣的條件數(shù)dGm因而因而稱矩陣稱矩陣 的條件數(shù)。的條件數(shù)。1mGd1cmddGGmdd（4.33）其中：其中：1c GG（4.34）G地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下

20、連續(xù)介質(zhì)的反演理論 1 1、矩陣的條件數(shù)、矩陣的條件數(shù)其次，討論核函數(shù)其次，討論核函數(shù) 的誤差的誤差 會(huì)引起模型會(huì)引起模型 的多大誤差，的多大誤差，由（由（4.314.31）式知，）式知，G整理后得：整理后得：GGGmmd（4.35）或：或：（4.36）m G mG mm1 mGG mm由（由（4.354.35）式和（）式和（4.364.36）式得：）式得：地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 1 1、矩陣的條件數(shù)、矩陣的條件數(shù)（4.334.33）式和（）式和（4.374.37）式告訴我們，模型的相對誤差既與觀測數(shù)）式告訴我們

21、，模型的相對誤差既與觀測數(shù)據(jù)的相對誤差和核函數(shù)的相對誤差成正比，也與矩陣據(jù)的相對誤差和核函數(shù)的相對誤差成正比，也與矩陣 的條件數(shù)的條件數(shù) 有關(guān)，即有關(guān)，即 越大，越大， 或或 引起的引起的 越大。此時(shí)稱矩陣越大。此時(shí)稱矩陣 的條件很壞，會(huì)給反演帶來災(zāi)難；相反的條件很壞，會(huì)給反演帶來災(zāi)難；相反 值越小，矩陣的條件數(shù)值越小，矩陣的條件數(shù)越好，反演結(jié)果的穩(wěn)定性越大。越好，反演結(jié)果的穩(wěn)定性越大。1cmGGGGmmGG（4.37）式中：式中： 也是條件數(shù)也是條件數(shù)cGccdGmGc地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 1 1、矩陣的條件

22、數(shù)、矩陣的條件數(shù) 不難證明，當(dāng)不難證明，當(dāng) 為對稱正定矩陣時(shí)，其條件數(shù)為：為對稱正定矩陣時(shí)，其條件數(shù)為：G（4.38）式中：式中： 和和 分別為矩陣分別為矩陣 之最大、最小特征值。之最大、最小特征值。maxminccGGmaxmin地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2 2、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制設(shè)：設(shè)：tiiiddd式中：式中： 為觀測數(shù)據(jù)的真值；為觀測數(shù)據(jù)的真值； 為觀測誤差。為觀測誤差。 由于由于 是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，其數(shù)值不可能準(zhǔn)確地確定，有時(shí)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量

23、，其數(shù)值不可能準(zhǔn)確地確定，有時(shí)連統(tǒng)計(jì)規(guī)律也不清楚。為理論討論方便，而又具普遍性，作如連統(tǒng)計(jì)規(guī)律也不清楚。為理論討論方便，而又具普遍性，作如下假設(shè)：下假設(shè)：（1 1）每個(gè)）每個(gè) 均服從均值為零、方差為均服從均值為零、方差為 的高斯正態(tài)分布；的高斯正態(tài)分布；（2 2）觀測數(shù)據(jù)的誤差是不相關(guān)的，即：）觀測數(shù)據(jù)的誤差是不相關(guān)的，即：cov,0ijdd tidid1,2,iMidid2iij地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2 2、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制如果以如果以

24、 去除去除 ，即把它變成單位方差，即把它變成單位方差，,iidg miidiiidd（4.39）則則 也服從高斯正太分布，其均值也服從高斯正太分布，其均值 ， 方差方差 此時(shí)，原始數(shù)據(jù)方程：此時(shí)，原始數(shù)據(jù)方程：id0iEdVar1id（4.40）將變?yōu)椋簩⒆優(yōu)椋?iidg m（4.41）地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2 2、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制式中：式中：iiidd（4.42） 式（式（4.414.41）和無誤差觀測數(shù)據(jù)方程完全相同。因此，可按相）和

25、無誤差觀測數(shù)據(jù)方程完全相同。因此，可按相同的方法解之，即在（同的方法解之，即在（4.414.41）式）式 個(gè)條件限制下求如下目標(biāo)函數(shù)個(gè)條件限制下求如下目標(biāo)函數(shù)的極小。的極小。 02drrEfmiiigg（4.43）M地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2 2、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制最小模型解為：最小模型解為： 式中：式中： 也是一個(gè)加權(quán)函數(shù)；也是一個(gè)加權(quán)函數(shù)； 為如下矩陣方程的解：為如下矩陣方程的解：dGa 21Miiigmaf fia式中：式中： ， 為列

26、向量；為列向量； 為為 階方陣，其表達(dá)式和階方陣，其表達(dá)式和（4.104.10）式相同。）式相同。daGMM地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2 2、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制 由于由于 是對稱正定矩陣，可分解為：是對稱正定矩陣，可分解為： 式中：式中：1200MTGRR 為為 的第的第 個(gè)特征值，且個(gè)特征值，且 ，而，而 是是 的特征向量矩陣，且滿足：的特征向量矩陣，且滿足：G（4.44）iGi120MGRTTRRR RI地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的

27、情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2 2、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制 所以：所以： 且且 2Tmf a g11TaG dR R d（4.45）若取若取 ，則有：，則有： 1f 11MTTTiiimbd R R gB 式中式中12MbbbB12M（4.46）地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2 2、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制 且且11Mijijjibr d（4.4

28、8） 11Mijijjir g而而 是矩陣是矩陣 的要素。的要素。jir（4.47）1,2,iMR地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2 2、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制 m 由（由（4.474.47）和（）和（4.484.48）式看出，）式看出， 只與核函數(shù)有關(guān)，因而只與核函數(shù)有關(guān)，因而其特征向量其特征向量 也必然只與核函數(shù)也必然只與核函數(shù) 有關(guān)。而有關(guān)。而 則不同，它則不同，它是是 和和 之線性組合，因此，它既與核函數(shù)也與觀測數(shù)據(jù)之線性組合，因此，它既與核函數(shù)

29、也與觀測數(shù)據(jù) 有關(guān)。如果，把有關(guān)。如果，把 看做修改后的觀測數(shù)據(jù)，看做修改后的觀測數(shù)據(jù)， 看做是坐標(biāo)基，看做是坐標(biāo)基，則由（則由（4.454.45）式可以看出，模型）式可以看出，模型 就是修改后的觀測數(shù)據(jù)就是修改后的觀測數(shù)據(jù)在坐標(biāo)基在坐標(biāo)基 上的投影所組成的上的投影所組成的 維矢量。維矢量。ijirjgibjirjddibiM地球物理反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論 2 2、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制、在觀測數(shù)據(jù)具有誤差的情況下連續(xù)介質(zhì)的模型構(gòu)制 mBiib2 iM 和和 的性質(zhì)：的性質(zhì)：（1 1） 是一組正交函

30、數(shù)系是一組正交函數(shù)系 模型模型 就是修改后的觀測數(shù)據(jù)向量就是修改后的觀測數(shù)據(jù)向量 與這一正交坐標(biāo)基與這一正交坐標(biāo)基的線性組合。因此，模型構(gòu)制的過程，就是正交變化的過程。的線性組合。因此，模型構(gòu)制的過程，就是正交變化的過程。（2 2）修改后的觀測數(shù)據(jù)）修改后的觀測數(shù)據(jù) 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的（3 3）觀測數(shù)據(jù)擬合誤差）觀測數(shù)據(jù)擬合誤差 的計(jì)算的計(jì)算ib地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 對待非唯一性問題，科學(xué)家們提出兩種不同的戰(zhàn)略：一是對待非唯一性問題，科學(xué)家們提出兩種不同的戰(zhàn)略：一是加緊研究新的反演方法，強(qiáng)加各種不同的限制條件，以縮小解加緊研究新的反演方法，強(qiáng)加各種不同的限制條

31、件，以縮小解的非唯一性范圍，使解更逼近待求的地球物理模型；另一種是的非唯一性范圍，使解更逼近待求的地球物理模型；另一種是從構(gòu)制出來的模型中提取所有能擬合觀測數(shù)據(jù)的模型的共同信從構(gòu)制出來的模型中提取所有能擬合觀測數(shù)據(jù)的模型的共同信息。息。 對于第二種戰(zhàn)略，最著名、最成功的要算對于第二種戰(zhàn)略，最著名、最成功的要算Backus-Gilbert的的線性評價(jià)理論。線性評價(jià)理論。地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 1 1、基本理論、基本理論 觀測數(shù)據(jù)方程：觀測數(shù)據(jù)方程：,iidg m1,2,iM啟示：任何一個(gè)觀測值啟示：任何一個(gè)觀測值 都可看成模型都可看成模型 在窗口在窗口 范范圍內(nèi)的平均。

32、那么，圍內(nèi)的平均。那么， 個(gè)觀測數(shù)據(jù)個(gè)觀測數(shù)據(jù) 的平均可否構(gòu)成某個(gè)深度的平均可否構(gòu)成某個(gè)深度 處的模型值處的模型值 呢？呢？ 首先假設(shè)可以求得一組系數(shù)首先假設(shè)可以求得一組系數(shù) ，使它和核函數(shù)，使它和核函數(shù) 之線性組合可以構(gòu)成一個(gè)狄拉克之線性組合可以構(gòu)成一個(gè)狄拉克 函數(shù)，即：函數(shù)，即：id m igMid00m0ia ig 001Miiiag （4.49）地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 1 1、基本理論、基本理論 再利用再利用 與觀測的數(shù)據(jù)組成另一組線性組合，即：與觀測的數(shù)據(jù)組成另一組線性組合，即： 00011,MMiiiiiiadag mm可見，只要在深度可見，只要在深度 能

33、確定一組系數(shù)能確定一組系數(shù) ，使之與，使之與 能組成一個(gè)能組成一個(gè) 函數(shù)，則函數(shù)，則 與觀測數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù) 之線性之線性組合就可以唯一地確定深度組合就可以唯一地確定深度 處模型的值處模型的值 。（4.50）0ia00ia ig0 0iaid00m地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 1 1、基本理論、基本理論 然而，由于然而，由于 個(gè)核函數(shù)個(gè)核函數(shù) 的線性組合是不可能真正的線性組合是不可能真正確定一個(gè)確定一個(gè) 函數(shù)，只能求得與函數(shù)，只能求得與 函數(shù)近似的函數(shù)近似的函數(shù)，稱之為平均函數(shù)函數(shù)，稱之為平均函數(shù) 。顯然，平均函數(shù)顯然，平均函數(shù) 越接近于中心位于越接近于中心位于 的的 函數(shù)，

34、則函數(shù)，則越能準(zhǔn)確地確定越能準(zhǔn)確地確定 處的模型值處的模型值 ，即有：，即有：M0m ig0 0 00,mAm 00,A 0 0,A （4.51）反之，則反之，則 就越不同于就越不同于 。0m0m地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 1 1、基本理論、基本理論 如把（如把（4.514.51）式重新改寫為：）式重新改寫為：則不難理解則不難理解 是模型是模型 在以平均函數(shù)在以平均函數(shù) 為為窗口的范圍內(nèi)之平均值。窗口的范圍內(nèi)之平均值。 顯然，這就是我們能從觀測數(shù)據(jù)中提取出來的所有能擬合顯然，這就是我們能從觀測數(shù)據(jù)中提取出來的所有能擬合觀測數(shù)據(jù)的模型（含真實(shí)模型）所包含的共同信息。觀測數(shù)據(jù)

35、的模型（含真實(shí)模型）所包含的共同信息。 m 000,drrmAm 0,A 0m地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 1 1、基本理論、基本理論 平均函數(shù)平均函數(shù) 應(yīng)該滿足的性質(zhì)：應(yīng)該滿足的性質(zhì)：（1 1）是歸一化的，即：）是歸一化的，即：00,d1rrA 0,A 0（4.52）（2 2） 的峰值應(yīng)在的峰值應(yīng)在 處。峰的寬度應(yīng)盡可能窄，最好處。峰的寬度應(yīng)盡可能窄，最好接近于狄拉克接近于狄拉克 函數(shù)，其主葉應(yīng)該大，邊葉應(yīng)該小，最好均為正函數(shù)，其主葉應(yīng)該大，邊葉應(yīng)該小，最好均為正值。值。0,A 地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 2 2、加權(quán)系數(shù)、加權(quán)系數(shù) 和平均函數(shù)和平均

36、函數(shù) 的確定的確定（1 1）第一類狄里希來準(zhǔn)則）第一類狄里希來準(zhǔn)則 由于我們希望平均函數(shù)由于我們希望平均函數(shù) 盡量接近盡量接近 ，故，故此可以它們的方差為最小作為目標(biāo)函數(shù)，求取待求系數(shù)。它可此可以它們的方差為最小作為目標(biāo)函數(shù)，求取待求系數(shù)。它可以表示為以下泛函形式，即：以表示為以下泛函形式，即：ia0200,drrEA 0,A 0,A 0 （4.53）將式下代入（將式下代入（4.53）式：）式： 001,MiiiAag （4.54）可得：可得：地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 2 2、加權(quán)系數(shù)、加權(quán)系數(shù) 和平均函數(shù)和平均函數(shù) 的確定的確定（1 1）第一類狄里希來準(zhǔn)則）第一類狄里

37、希來準(zhǔn)則ia0201dMriiriEa g 0,A 對對 求偏導(dǎo)數(shù)，并設(shè)其為零，則有：求偏導(dǎo)數(shù)，并設(shè)其為零，則有：ia0000j10j12g d2dg d0MriirijMrriijrriEa gaag g 地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 2 2、加權(quán)系數(shù)、加權(quán)系數(shù) 和平均函數(shù)和平均函數(shù) 的確定的確定所以有：所以有：ia0,A 設(shè)：設(shè)：,ijijGg g0j01dgMriijriag g （4.55）則有：則有：dGA（4.56）式中：式中：10200Mgggd10200MaaaA（4.56）地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 2 2、加權(quán)系數(shù)、加權(quán)系數(shù) 和平均

38、函數(shù)和平均函數(shù) 的確定的確定ia0,A （4.57）故故1AG d111212122212MMMMMMGGGGGGGGGG 在求得在求得 之后，將其要素之后，將其要素 和和 線性組合，則線性組合，則得平均函數(shù)得平均函數(shù) ，進(jìn)而提取出，進(jìn)而提取出 。A0ia ig0,A 0m地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 2、加權(quán)系數(shù) 和平均函數(shù) 的確定必須注意： 由于狄拉克函數(shù)之頻繁的積分是無限大，目標(biāo)函數(shù) 是無界的，不能直接確定。但慶幸的是，狄拉克函數(shù)的微分是有界的，在對目標(biāo)函數(shù)的極小化過程中，其導(dǎo)數(shù)是常數(shù)。因此，仍然是可以求出加權(quán)系數(shù)由于 是無界的，因此不能用來評價(jià) 的分辨力。但由于 以

39、面積為單位，其主葉越高，寬度就越窄，邊葉也必然越小，因此，可以用主葉峰值的倒數(shù)來評價(jià)分辨力的高低。ia0,A E0iaE0,A 0,A 地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 2、加權(quán)系數(shù) 和平均函數(shù) 的確定必須注意：實(shí)踐證明，按第一類狄里希來準(zhǔn)則求出的平均函數(shù)之邊葉，有正有負(fù)。由于負(fù)值的出現(xiàn)，使其在 即 處平均函數(shù) 窗口范圍內(nèi)，模型 之平均值的解釋困難增大了。盡管 是唯一的信息，解釋人員仍然難以獲得模型 在 附近的確切值。因此，從某種意義講，這種具有負(fù)邊葉的平均函數(shù)還不如其主葉較寬，但邊葉無負(fù)值出現(xiàn)。ia0,A 0m0,A 0 m0m m0地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)

40、（一） 2 2、加權(quán)系數(shù)、加權(quán)系數(shù) 和平均函數(shù)和平均函數(shù) 的確定的確定（2 2）第二類狄里希來準(zhǔn)則）第二類狄里希來準(zhǔn)則 采用采用HeavisideHeaviside階躍函數(shù)，而不是階躍函數(shù)，而不是 函數(shù)來構(gòu)筑目標(biāo)函數(shù)。函數(shù)來構(gòu)筑目標(biāo)函數(shù)。在在 處，階躍函數(shù)的定義是：處，階躍函數(shù)的定義是：ia0,A 000dHuu0（4.58）由于核函數(shù)的線性組合可以逼近由于核函數(shù)的線性組合可以逼近 函數(shù)，因此，用核函數(shù)的函數(shù)，因此，用核函數(shù)的不定積分的線性組合，也可以逼近階躍函數(shù)不定積分的線性組合，也可以逼近階躍函數(shù) ，即：，即：0H地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 2 2、加權(quán)系數(shù)、加權(quán)系數(shù)

41、 和平均函數(shù)和平均函數(shù) 的確定的確定ia0,A 0001dMiiiHaguu（4.59）設(shè)：設(shè)： 0diiruguu（4.60）則：則： 001MiiiHau（4.61） 001,Miiiag （4.62）地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 2 2、加權(quán)系數(shù)、加權(quán)系數(shù) 和平均函數(shù)和平均函數(shù) 的確定的確定現(xiàn)在，用現(xiàn)在，用 和和 之差的平方來構(gòu)筑目標(biāo)函數(shù)，之差的平方來構(gòu)筑目標(biāo)函數(shù)，即：即：ia0,A 0H并極小之，將（并極小之，將（4.61）式代入上式，則有：）式代入上式，則有：（4.63）0H0200drrEHH 00020010011001dd2dMriiriMMrijijrij

42、MriiriEauHaauuaur地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 2 2、加權(quán)系數(shù)、加權(quán)系數(shù) 和平均函數(shù)和平均函數(shù) 的確定的確定令令ia0,A ,ijijGuu則（則（4.63）式可化為：）式可化為：（4.64） 002rijbud0TTrEA GAA B式中式中 如（如（4.564.56）式所示；）式所示； 的要素如（的要素如（4.644.64）式所示。）式所示。 根據(jù)最優(yōu)化原理，求根據(jù)最優(yōu)化原理，求 相對于相對于 的偏導(dǎo)數(shù)，并設(shè)其為的偏導(dǎo)數(shù)，并設(shè)其為零，則得：零，則得：ABETAGAB（4.65）地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 2 2、加權(quán)系數(shù)、加權(quán)系數(shù)

43、 和平均函數(shù)和平均函數(shù) 的確定的確定或或ia0,A 求出向量求出向量 之后，不難根據(jù)（之后，不難根據(jù)（4.544.54）式和（）式和（4.504.50）式）式求出平均函數(shù)求出平均函數(shù) 和和 處模型之平均值處模型之平均值 。 現(xiàn)在討論現(xiàn)在討論 之分辨率。定義分辨率寬度為：之分辨率。定義分辨率寬度為：（4.66）A020012drrWHH （4.67）1AG B0,A 00m0m顯然，顯然， 越小，說明越小，說明 越接近越接近 ，即分，即分辨率越高；反之，則分辨率越低。辨率越高；反之，則分辨率越低。W 0H0H地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 2 2、加權(quán)系數(shù)、加權(quán)系數(shù) 和平均函數(shù)

44、和平均函數(shù) 的確定的確定 注意：和第一類狄里希來準(zhǔn)則類似，按第二類狄里希來準(zhǔn)則注意：和第一類狄里希來準(zhǔn)則類似，按第二類狄里希來準(zhǔn)則求得的平均值也是最小方差意義上的解，由于目標(biāo)函數(shù)不同，所求得的平均值也是最小方差意義上的解，由于目標(biāo)函數(shù)不同，所以結(jié)果也會(huì)發(fā)生變化。以結(jié)果也會(huì)發(fā)生變化。 要知道要知道 在多大程度上反映在多大程度上反映 處處 的值，還必的值，還必須知道平均函數(shù)須知道平均函數(shù) 的形態(tài)、分辨率的寬度的形態(tài)、分辨率的寬度 。 只有結(jié)合只有結(jié)合 ， 和和 ，才有可能給，才有可能給 接近接近 的程度作出明確的回答。的程度作出明確的回答。ia0,A 0m0 m0,A W 0m0,A W 0m0m

45、地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 3 3、BGBG展伸準(zhǔn)則展伸準(zhǔn)則 BGBG展伸準(zhǔn)則拋開了展伸準(zhǔn)則拋開了 函數(shù)或階躍函數(shù)的形態(tài)，考慮的是平均函數(shù)或階躍函數(shù)的形態(tài)，考慮的是平均函數(shù)函數(shù) 的矩，比如說二階矩。設(shè)目標(biāo)函數(shù)：的矩，比如說二階矩。設(shè)目標(biāo)函數(shù)：0220012,drrEAW 0,A （4.68）并在并在 的歸一化條件：的歸一化條件：00,d1rrA （4.69）的約束之下求目標(biāo)函數(shù)（的約束之下求目標(biāo)函數(shù)（4.68）式之極小。）式之極小。0,A 地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 3 3、BGBG展伸準(zhǔn)則展伸準(zhǔn)則 在（在（4.684.68）式中，）式中， 實(shí)際上是

46、權(quán)函數(shù)。當(dāng)實(shí)際上是權(quán)函數(shù)。當(dāng) 時(shí)，權(quán)很??；當(dāng)時(shí)，權(quán)很??；當(dāng) 遠(yuǎn)離遠(yuǎn)離 時(shí)，權(quán)很大。然而，欲求的是目標(biāo)函時(shí)，權(quán)很大。然而，欲求的是目標(biāo)函數(shù)數(shù) 之極小，其結(jié)果必然是突出了之極小，其結(jié)果必然是突出了 處之平均函數(shù)值，處之平均函數(shù)值，使平均函數(shù)更接近于使平均函數(shù)更接近于 函數(shù)。函數(shù)。 根據(jù)條件極致原理，引入拉格朗日算符，將（根據(jù)條件極致原理，引入拉格朗日算符，將（4.684.68）式的條）式的條件極值問題，化為無條件極值問題。即求泛函：件極值問題，化為無條件極值問題。即求泛函：20000E00 0022000112,d1dMrriirriEAag （4.70）的無條件極值問題的無條件極值問題地球物理反

47、演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 3 3、BGBG展伸準(zhǔn)則展伸準(zhǔn)則 若將（若將（4.704.70）式寫成：）式寫成：00001111MMMijijiiijiESaaau（4.71）并將（并將（4.71）式寫成矩陣，則有：）式寫成矩陣，則有：若設(shè)：若設(shè)： 020012drijijrSgg（4.72）1TTEA SAA U（4.73）地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 3 3、BGBG展伸準(zhǔn)則展伸準(zhǔn)則 式中：式中：110120102102202010200MMMMMMSSSSSSSSSS（4.74）12MuuuU（4.75）地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 3

48、3、BGBG展伸準(zhǔn)則展伸準(zhǔn)則 設(shè)：設(shè)：則得：則得：（4.76）0TESAUA1AS U又因：又因：1TA U（4.77）將（將（4.76）式轉(zhuǎn)置，并帶入上式得：）式轉(zhuǎn)置，并帶入上式得：11TU S U故：故：11T U S U（4.78）地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 3 3、BGBG展伸準(zhǔn)則展伸準(zhǔn)則 將（將（4.784.78）式代入（）式代入（4.764.76）式，得：）式，得：再將（再將（4.79）式代入（）式代入（4.50）式和（）式和（4.54）式，得：）式，得：（4.79）1110TTTmA dU SU S Ud（4.80）和和1110,TTT AA gU SU S

49、 Ug式中：式中：111TAU S US U（4.81）12TMgggg地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 3 3、BGBG展伸準(zhǔn)則展伸準(zhǔn)則 由（由（4.794.79）式可以看出，由于）式可以看出，由于 只與核函數(shù)有關(guān)，所以平只與核函數(shù)有關(guān)，所以平均函數(shù)均函數(shù) 必然只決定于核函數(shù)。而必然只決定于核函數(shù)。而 不僅與核函不僅與核函數(shù)有關(guān)，而且還與觀測數(shù)據(jù)數(shù)有關(guān)，而且還與觀測數(shù)據(jù) 有關(guān)。從（有關(guān)。從（4.804.80）式可知，凡是擬）式可知，凡是擬合觀測數(shù)據(jù)的模型，都具有相同的平均值合觀測數(shù)據(jù)的模型，都具有相同的平均值 。A0,A 0md0m地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（

50、一） 3、BG展伸準(zhǔn)則 討論： 按（4.68）式計(jì)算的 ，可以近似地表示平均函數(shù)的分辨寬度。當(dāng)平均函數(shù) 集中在 附近時(shí)，其值與平均函數(shù)的分辨寬度重合很好。記 ，則 的大小和分辨率成反比。而 越小，則分辨率越高。 由BG展伸準(zhǔn)則求出的平均函數(shù)的寬度，一般比狄里希來準(zhǔn)則求出的平均函數(shù)的要寬，但其邊葉要小，不存在負(fù)值，則相應(yīng)的 的方差較小。0,A 0E0,SAE0,SA0,SA0m地球物理反演理論BG線性評價(jià)（一）線性評價(jià)（一） 3、BG展伸準(zhǔn)則 討論： 基于BG展伸準(zhǔn)則工作時(shí)，由于每一個(gè) 的加權(quán)系數(shù)都不相同，從而大大增加了計(jì)算內(nèi)積矩陣（4.72）式和解方程（4.79）式的工作量，從而增加了計(jì)算成本

51、。 定義 時(shí)，應(yīng)加一系數(shù)12。綜上所述，BG線性評價(jià)的信息包括在三個(gè)量中，即平均值 、平均函數(shù) 和分辨率 。只有綜合分析以上三種信息才可能取得關(guān)于 處地球物理模型的真正信息E00,SA0,A 0m0地球物理反演理論BG線性評價(jià)（二）線性評價(jià)（二） 上一節(jié)討論的是在觀測數(shù)據(jù)為有限、精確的情況下，上一節(jié)討論的是在觀測數(shù)據(jù)為有限、精確的情況下，BGBG的線的線性評價(jià)問題。然而，實(shí)際觀測數(shù)據(jù)都具有誤差。在有誤差的觀測性評價(jià)問題。然而，實(shí)際觀測數(shù)據(jù)都具有誤差。在有誤差的觀測數(shù)據(jù)時(shí)，如何進(jìn)行線性評價(jià)？即是本節(jié)所要討論的問題。設(shè)：數(shù)據(jù)時(shí)，如何進(jìn)行線性評價(jià)？即是本節(jié)所要討論的問題。設(shè)：tiiiddd1,2,i

52、M（4.82）式中：式中： ， 分別為第分別為第 個(gè)觀測數(shù)據(jù)和方差；個(gè)觀測數(shù)據(jù)和方差； 為第為第 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)的真值。據(jù)的真值。下面討論具有誤差的下面討論具有誤差的 處的模型的平均值，有：處的模型的平均值，有：ididitidi00000111MMMtiiiiiiiiimadadad地球物理反演理論BG線性評價(jià)（二）線性評價(jià)（二） 將將 記為：記為：（4.83）式中：式中： 為平均值之真值；為平均值之真值； 為為 處平均值之誤差處平均值之誤差 為了定量估計(jì)觀測數(shù)據(jù)的誤差對反演結(jié)果和評價(jià)結(jié)果的影為了定量估計(jì)觀測數(shù)據(jù)的誤差對反演結(jié)果和評價(jià)結(jié)果的影響，必須了解觀測數(shù)據(jù)誤差所遵循的規(guī)律。假定觀測數(shù)據(jù)誤差

53、響，必須了解觀測數(shù)據(jù)誤差所遵循的規(guī)律。假定觀測數(shù)據(jù)誤差服從高斯分布、零平均值且方差為服從高斯分布、零平均值且方差為 的統(tǒng)計(jì)特性，并設(shè)：的統(tǒng)計(jì)特性，并設(shè)：0iEd i0000mmm0m0m0m數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望：協(xié)方差矩陣：協(xié)方差矩陣：cov,ijijEdd（4.84）地球物理反演理論BG線性評價(jià)（二）線性評價(jià)（二） 假定假定 是獨(dú)立的，則有：是獨(dú)立的，則有：（4.85）i20iijijEij由（由（4.83）式知：）式知：即：雖然觀測值有誤差，但只要滿足高斯分布、零平均值的統(tǒng)即：雖然觀測值有誤差，但只要滿足高斯分布、零平均值的統(tǒng)計(jì)特性，此時(shí)計(jì)特性，此時(shí) 仍與平均值仍與平均值 完全一樣。完全一樣

54、。id 000001MiiiEmEmEmmaEdm0Em0m地球物理反演理論BG線性評價(jià)（二）線性評價(jià)（二） 而而 的方差為：的方差為：或或000001112201VarVarVarMMMiiijijiijMiiimmadaaEa0m222001VMiiia（4.86）地球物理反演理論BG線性評價(jià)（二）線性評價(jià)（二） 由此可見，在由此可見，在 處模型的平均值處模型的平均值 之方差之方差 ，不僅，不僅與觀測數(shù)據(jù)的方差與觀測數(shù)據(jù)的方差 有關(guān)，而且與待定系數(shù)有關(guān)，而且與待定系數(shù) 有關(guān)。因有關(guān)。因此在選擇計(jì)算此在選擇計(jì)算 的方法時(shí)，既要考慮分辨率的方法時(shí)，既要考慮分辨率 ，也，也應(yīng)考慮方差應(yīng)考慮方差

55、，以避免分辨率很高但方差也很大的現(xiàn)象出，以避免分辨率很高但方差也很大的現(xiàn)象出現(xiàn)?，F(xiàn)。 當(dāng)觀測數(shù)據(jù)有誤差時(shí)，從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)看，分辨率和方差是矛盾當(dāng)觀測數(shù)據(jù)有誤差時(shí)，從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)看，分辨率和方差是矛盾的。分辨率高，方差大；分辨率低，方差小。結(jié)論是，必須在方的。分辨率高，方差大；分辨率低，方差小。結(jié)論是，必須在方差和分辨率之間取折衷，并以此作為求取待定系數(shù)差和分辨率之間取折衷，并以此作為求取待定系數(shù) 之準(zhǔn)之準(zhǔn)則。待則。待 求出后，再按（求出后，再按（4.864.86）式和（）式和（4.684.68）式計(jì)算方差）式計(jì)算方差和分辨率以及模型在和分辨率以及模型在 處的平均值處的平均值0m020V2i0ia0ia

56、0,SA20V0ia0ia00m地球物理反演理論BG線性評價(jià)（二）線性評價(jià)（二） 1 1、折衷準(zhǔn)則、折衷準(zhǔn)則 考慮考慮E20VW 20E=Wcos +Vsin cossin（4.87）式中：式中： 為目標(biāo)函數(shù)；為目標(biāo)函數(shù)； 為折衷參數(shù)；為折衷參數(shù)； 、 分別表示對分分別表示對分辨率辨率 和方差和方差 的加權(quán)因子。的加權(quán)因子。 當(dāng)當(dāng) 加大時(shí)，方差對目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)加大，極小加大時(shí)，方差對目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)加大，極小 求得的求得的平均值方差減小，精度提高，但分辨率降低，因此，但平均值方差減小，精度提高，但分辨率降低，因此，但 時(shí)，時(shí)， 的精度最高，分辨率最低；相反，的精度最高，分辨率最低；相反， 減小時(shí)

57、，解的分減小時(shí)，解的分辨率提高，方差增大，精度降低。當(dāng)辨率提高，方差增大，精度降低。當(dāng) 時(shí)，分辨率最高，方時(shí)，分辨率最高，方差也最大。差也最大。E20m0地球物理反演理論BG線性評價(jià)（二）線性評價(jià)（二） 1 1、折衷準(zhǔn)則、折衷準(zhǔn)則 下面討論在有誤差的觀測數(shù)據(jù)時(shí)如何實(shí)現(xiàn)下面討論在有誤差的觀測數(shù)據(jù)時(shí)如何實(shí)現(xiàn)BGBG線性評價(jià)。線性評價(jià)。 將（將（4.684.68）式和（）式和（4.864.86）式中）式中 和和 代入（代入（4.874.87）式，并取式，并取 ，即設(shè)觀測數(shù)據(jù)都為單位方差，則得目標(biāo)函數(shù)，即設(shè)觀測數(shù)據(jù)都為單位方差，則得目標(biāo)函數(shù)1i20VW cossinTTEA SAA A（4.88）欲在

58、欲在1TA U條件限制下，求（條件限制下，求（4.884.88）式之極小。引入拉格朗日算符）式之極小。引入拉格朗日算符 將條將條件極值化為無條件極值問題，此時(shí)（件極值化為無條件極值問題，此時(shí)（4.884.88）式變?yōu)椋海┦阶優(yōu)椋旱厍蛭锢矸囱堇碚揃G線性評價(jià)（二）線性評價(jià)（二） 1 1、折衷準(zhǔn)則、折衷準(zhǔn)則cossinTTTEA SAA AA U（4.89）求求 相對于相對于 之導(dǎo)數(shù)，并設(shè)：之導(dǎo)數(shù)，并設(shè)：則得：則得：ETA0TEAcossinUSAA（4.90）由于由于 為對稱不定矩陣，設(shè)：為對稱不定矩陣，設(shè)：TSOOS地球物理反演理論BG線性評價(jià)（二）線性評價(jià)（二） 1 1、折衷準(zhǔn)則、折衷準(zhǔn)則式

59、中：式中： 為對稱矩陣為對稱矩陣 之特征值組成的對角線矩陣；之特征值組成的對角線矩陣； 為為 之特征向量組成的特征向量矩陣。之特征向量組成的特征向量矩陣。 若以若以 表示向量表示向量 按按 轉(zhuǎn)軸之轉(zhuǎn)軸向量，則：轉(zhuǎn)軸之轉(zhuǎn)軸向量，則：對（對（4.904.90）式作簡單運(yùn)算后，可寫為：）式作簡單運(yùn)算后，可寫為：cossincossinUAAAA（4.91）因而有：因而有：TOSOSxxTAO ATUO U1cossinAIU（4.92）地球物理反演理論BG線性評價(jià)（二）線性評價(jià)（二） 1 1、折衷準(zhǔn)則、折衷準(zhǔn)則又因又因?qū)ⅲ▽ⅲ?.944.94）式代入（）式代入（4.924.92）得）得 。求得。求得

60、 后，就不難求展伸系后，就不難求展伸系數(shù)數(shù) 及方差及方差 ，（4.94）故得：故得：1cossinTUIUITTTTTA UA OO UA UU AI（4.93）并將（并將（4.92）式代入（）式代入（4.93）式），）式），1cossinTIUI UAA0,SA20V地球物理反演理論BG線性評價(jià)（二）線性評價(jià)（二） 1 1、折衷準(zhǔn)則、折衷準(zhǔn)則其中：其中：（4.96）而平均值而平均值 00001,rrMTTiiimAmad dA dA d0,TSA A A（4.95）20TVA A（4.97）TdO d（4.98）地球物理反演理論BG線性評價(jià)（二）線性評價(jià)（二） 1 1、折衷準(zhǔn)則、折衷準(zhǔn)則 從