《初等數(shù)論》教學(xué)大綱

1、初等數(shù)論課程教學(xué)大綱課程名稱初等數(shù)論/ Elementary Number Theory課程編碼10011500610課程類型專業(yè)選修課課程性質(zhì)專業(yè)主干課適用范圍數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（教師教育）專業(yè)學(xué)分?jǐn)?shù)3先修課程高等數(shù)學(xué)、初等數(shù)學(xué)研究等課程學(xué)時數(shù)54實驗/實踐學(xué)時無課外學(xué)時無考核方式考查 一、 教學(xué)大綱說明1. 課程的地位、作用和任務(wù)雖然初等數(shù)論是數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（教師教育）本科專業(yè)的選修課，但是這是該專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課程。本課程對于研究中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、輔導(dǎo)數(shù)學(xué)競賽等都有重要的幫助，而且該課程在計算機學(xué)科及信息安全專業(yè)中都有很重要的應(yīng)用。該課程的方法很靈活，技巧性很強，素有“數(shù)學(xué)皇后的皇冠”之

2、美稱。本課程的研究對象為整數(shù)，建立了唯一分解理論，介紹了同余的方法，得到了一些很優(yōu)美很漂亮的結(jié)果。學(xué)好這門課對于后繼課程，如近世代數(shù)、編碼理論以及密碼學(xué)等專業(yè)課都很有幫助。2. 課程教學(xué)目的和要求通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生較好地掌握初等數(shù)論的基本內(nèi)容和基本方法，并在一定程度上能利用初等數(shù)論中的思想、方法解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題。掌握：整數(shù)的唯一分解定理、輾轉(zhuǎn)相除法、一次不定方程、同余、Euler定理、同余式的求解、中國剩余定理、二次剩余、二次互反律和原根等基本概念。理解：高次同余式的解法、原根和指標(biāo)、原根的求法、素數(shù)的分布規(guī)律等。了解：Fermat大定理、無窮遞降法、特征函數(shù)、合數(shù)模的指標(biāo)組、素數(shù)

3、表示為兩個平方和等方法。3. 課程與其它課程的聯(lián)系初等數(shù)論是一門比較獨立的基礎(chǔ)課，學(xué)習(xí)這門課不需要太多的基礎(chǔ)知識，但需要很靈活的思維。 這是一門基礎(chǔ)課，它在近世代數(shù)、密碼學(xué)、編碼理論、有限域、代數(shù)數(shù)論等課程中有很重要作用。4. 教材與教學(xué)參考書教材：閔嗣鶴，嚴(yán)士健，初等數(shù)論，高等教育出版社，2005年8月教學(xué)參考書：1、華羅庚，數(shù)論導(dǎo)引，科學(xué)出版社 2、潘承洞，潘承彪，初等數(shù)論，北京大學(xué)出版社二、 課程的教學(xué)內(nèi)容、重點和難點第一章 整數(shù)的可除性 本章介紹整數(shù)的整除性、最大公因子和最小公倍數(shù)的性質(zhì)、輾轉(zhuǎn)相除法、算術(shù)基本定理及函數(shù)x和x在數(shù)論中的應(yīng)用。要求：了解整數(shù)整除、最大公因子的性質(zhì)；掌握計算

4、最大公因子的擴展歐基里德算法（輾轉(zhuǎn)相除法）。重點：整數(shù)的性質(zhì)、唯一分解定理。難點：函數(shù)x和x在數(shù)論中的應(yīng)用。第二章 不定方程 本章研究一次和二次不定方程解的情況，并介紹Fermat大定理。要求：能夠解二元一次不定方程；了解多元一次不定方程解的情況；勾股數(shù)問題。重點：二元一次不定方程的解法。難點：證明Fermat大定理中n=4時的無窮遞降法。第三章 同余 本章介紹同余的概念、性質(zhì)和應(yīng)用；Euler定理和Fermat小定理。要求： 了解同余的概念和性質(zhì)；掌握Euler定理和Fermat小定理。重點：Euler函數(shù)和Euler定理。難點：三角和的概念。第四章 同余式 本章介紹同余式的概念、一次同余式

5、、高次同余式和中國剩余定理等內(nèi)容。要求：掌握一次同余式的求解方法；了解中國剩余定理；理解中國剩余定理在高次同余式中的應(yīng)用。重點：中國剩余定理。難點：高次同余式的求解方法。第五章 二次剩余 本章介紹二次剩余、二次互反律和Legendre符號和Jacobi符號內(nèi)容。要求：掌握二次剩余的判斷方法和Legendre符號的計算方法；了解二次互反律的證明；理解Jacobi符號在判斷二次剩余時的應(yīng)用。重點：二次互反律。難點：模素數(shù)的開平方算法。第六章 原根和指標(biāo) 本章介紹指數(shù)、原根和指標(biāo)組等概念和性質(zhì)。要求：掌握指數(shù)的定義和性質(zhì)計算方法；了解原根的求解方法；理解指標(biāo)組的概念和意義。重點：原根的存在條件和求解方法。難點：指標(biāo)組的概念和特征函數(shù)的概念。第七章 數(shù)論函數(shù)與素數(shù)的分布 本章介紹常用的數(shù)論函數(shù)和基本的素數(shù)分布結(jié)果。要求：掌握幾類常用的積性函數(shù)；了解Mobinus反轉(zhuǎn)公式；理解素數(shù)定理的內(nèi)容。重點：Mobinus反轉(zhuǎn)公式。難點：素數(shù)定理。三、學(xué)時分配教學(xué)內(nèi)容各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配備注章節(jié)主要內(nèi)容