《集合的概念》題型歸類解析

1、集合的概念題型歸類解析集合問題為每年必考題型之一，特別是近幾年高考試卷中出現(xiàn)了一些以集合為背景的試題，這些試題涉及的知識面廣，靈活性較強(qiáng).實(shí)際上，這方面問題的本質(zhì)是以集合為載體，將一些數(shù)學(xué)問題的已知條件“嵌入”集合之中，只不過是在語言形式方面做了些變通罷了，而解決問題的理論依據(jù)、方法等仍類似于其他問題的求解.因此，在集合題型上應(yīng)引起我們的足夠重視.題型1：集合相等問題集合相等問題，主要是利用集合中元素的互異性，集合中元素的互異性是集合的重要屬性，在解題中集合中元素的互異性常常被我們忽略，從而導(dǎo)致解題的失敗，所以在解題中應(yīng)引起足夠的重視.例1已知集合，若，求的值分析：要解決的求值問題，關(guān)鍵是要有

2、方程的數(shù)學(xué)思想，此題應(yīng)根據(jù)相等的各個(gè)集合的元素完全相同，及集合中元素的確定性、互異性、無序性建立關(guān)系式解：根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：（1）若，消去，得當(dāng)時(shí)，集合中的三個(gè)元素均為零，與元素的互異性相矛盾，故，即，此時(shí)中的三個(gè)元素又相同，此時(shí)無解.（2）若消去，得，即又，題型2：證明、判斷兩集合的關(guān)系集合與集合之間的關(guān)系問題，是我們解答數(shù)學(xué)問題過程中經(jīng)常遇到，并且必須解決的問題，因此要予以重視。反映集合與集合關(guān)系的一系列概念，都是用元素與集合的關(guān)系來定義的。因此，在證明（判斷）兩集合的關(guān)系時(shí)，應(yīng)回到元素與集合的關(guān)系中去.例2設(shè)集合Z，集合Z，試判斷集合、的關(guān)系。分析：先判斷元素與集合的關(guān)系，再

3、判斷集合與集合的關(guān)系解：任設(shè)，則Z，Z，Z.故.又任設(shè)，則Z.Z，Z.故.綜上可知.題型3：集合中的參數(shù)問題所謂集合中的參數(shù)問題，是指集合適合的條件中“適合的條件”里面含有參數(shù)的問題，解答這類問題類似于其他含有參數(shù)的問題，靈活性極強(qiáng)，難度也很大.因此，解決此為問題要注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.例3已知集合，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 . 解：(1)當(dāng)時(shí)，得，滿足.(2)當(dāng)時(shí)，解得.綜合(1)、(2)得的取值范圍是.題型4：利用韋恩圖或數(shù)軸求交集、并集、補(bǔ)集有的集合問題比較抽象，解題時(shí)若借助韋恩圖進(jìn)行數(shù)形分析或利用數(shù)軸、圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想方法，往往可使問題直觀化、形象化，進(jìn)而能使問題簡捷、準(zhǔn)確地獲解.例

4、4設(shè)全集，.21。(1)求及；(2)求及.解：(1)如圖，利用數(shù)軸可直觀地得到結(jié)果：；.(2) ，或；.評注：有關(guān)用不等式表示的集合的并、交、補(bǔ)運(yùn)算，常常借助于數(shù)學(xué)軸的幾何直觀來幫助思考.題型5：開放、定義型問題近幾年在高考試題的幫助帶動下，一大批以集合為背景的開放型試題不斷出現(xiàn).在用描述法表示的集合中，集合的形式被表示為所適合的條件，其中的代表元素“的任意性”和“所適合的條件的靈活性”決定了這類題目具有涉及的知識面廣、靈活性強(qiáng)等特點(diǎn).例5設(shè)，定義與的差集為，且，則解：由所給的新定義：差集，且，得，從而.評注：差集中的“差”與我們平時(shí)所接觸的“差”的意義是不同的.我們可能會犯這樣的錯誤：.例6已知Z，Z，問是否存在實(shí)數(shù)，使得(1)，(2)同時(shí)成立.分析：假設(shè)存在使得(1)成立，得到與的關(guān)系后與聯(lián)立，然后討論聯(lián)立的不等式組.解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，同時(shí)成立，則集合Z與集合Z分別對應(yīng)集合Z與Z，與對應(yīng)的直線與拋物線至少有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程組有解，即方程必有解.因此，又 由相加，得，即.將代入得，再將代入得，因此，將，代入方程得，解得Z.所以不存在實(shí)數(shù)，使得(1)，(2)同時(shí)成立.評注：對于存在性探索性