數(shù)學(xué)建模——食堂就餐問題

1、word 某高校設(shè)有第1、2、3、4四個(gè)食堂，學(xué)生可以在任意一處就餐，假設(shè)現(xiàn)在學(xué)校準(zhǔn)備在上述四處中挑選一處增開閱報(bào)欄，主要挑選依據(jù)是在就餐人數(shù)最多的食堂增開閱報(bào)欄。假設(shè)學(xué)生前后兩次就餐地點(diǎn)發(fā)生變化的概率如下：上次就餐第1食堂第2食堂第3食堂第4食堂本次就餐第1食堂0.600.250.100.10 第2食堂0.200.500.200.25 第3食堂0.150.100.550.50第4食堂0.050.150.15 0.15請為學(xué)校新閱報(bào)欄選址建立差分方程數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)此模型指出四個(gè)食堂的學(xué)生就餐人數(shù)的分布趨勢，并且選擇最適宜的閱報(bào)欄地址。二、問題的假設(shè)1、假設(shè)食堂沒有擴(kuò)建；2、假設(shè)各個(gè)食堂間的競

2、爭是良性的；3、假設(shè)本校學(xué)生全部在食堂就餐，該校共有3000名學(xué)生。三、符號說明：選取的進(jìn)行考察的時(shí)間段：取出矩陣的第列：分別在這4個(gè)食堂就餐的概率組成的矩陣：在第個(gè)食堂就餐次的學(xué)生人數(shù)，四、模型的分析此題主要是考慮閱報(bào)欄的開設(shè)問題，所以只要從第1食堂、第2食堂、第3食堂和第4食堂中選取一個(gè)就餐人數(shù)最多的食堂開設(shè)閱報(bào)欄，以保證更多的閱讀人數(shù)就可以了。對于這個(gè)問題，我們可以考慮運(yùn)用差分方程模型來求解，利用表格中所給的學(xué)生就餐地點(diǎn)變化的概率，再運(yùn)用繪圖程序畫出變化趨勢圖，可以更加直觀的看出在哪個(gè)食堂就餐的人數(shù)最多，最占優(yōu)勢，然后在那個(gè)食堂開設(shè)閱報(bào)欄即可。五、模型的建立與求解5.1.1模型的建立記學(xué)

3、生在食堂就餐第次的人數(shù)分別為，據(jù)此可寫出在食堂就餐第次的人數(shù)為，。由題目所給數(shù)據(jù)可知，第一次在第1食堂就餐的概率為0.60，0.20,0.15,0.05，第二次在第1食堂就餐的概率為0.60,0.25,0.10,0.10，所以可得在第1食堂就餐的學(xué)生數(shù)量的差分方程為：；類似可得：在第2食堂就餐的學(xué)生數(shù)量的差分方程為：；在第3食堂就餐的學(xué)生數(shù)量的差分方程為：；在第4食堂就餐的學(xué)生數(shù)量的差分方程為：；綜上所述，我們可得一階差分方程組如下：用矩陣表示為：用matlab編程計(jì)算出的值，觀察4個(gè)食堂就餐的學(xué)生人數(shù)的變化情況，見附錄。如果想要直接看某段時(shí)間的食堂就餐學(xué)生數(shù)量變化趨勢，可以直接用matlab

4、作圖，通過圖形可以更加直觀的看出變化趨勢，進(jìn)而能夠確定閱報(bào)欄具體可開設(shè)的地點(diǎn)。5.1.2模型的求解1當(dāng)把學(xué)生平均分配到四個(gè)食堂就餐，即，運(yùn)用程序可以繪出圖形，得到變化數(shù)目，具體見以下列圖表：第1食堂第2食堂第3食堂第4食堂平均分配750750750750第1次788863975375第2次823878928371第3次843882907368第4次854883898366第5次859883893365第6次862883891364第7次864883890364第8次864883889364第9次865883889364第10次865883889364第11次865883889364第12次86

5、5883889364由上圖可以看出，時(shí)間充分長以后，在4個(gè)食堂就餐的學(xué)生數(shù)量逐漸趨向于865,883,889,364。通過上述結(jié)果，我們還可以考察這個(gè)結(jié)果是否與一開始平均分配的學(xué)生數(shù)量有關(guān)。2假設(shè)最開始3000名學(xué)生都在第4食堂，即，具體情形見如下列圖表：第1食堂第2食堂第3食堂第4食堂任意分配0003000第1次3007501500450第2次5638481170420第3次7088751023394第4次785882953379第5次825884920371第6次845884920371第7次845884904367第8次855883896365第9次860883892365第10次865

6、883889364第11次865883889364第12次865883889364由上圖可以看出，時(shí)間充分長以后，在4個(gè)食堂就餐的學(xué)生數(shù)量仍然趨向于865,883,889,364。由此可知，此結(jié)果與初始值無關(guān)。3結(jié)論：有上面的討論可知，第3食堂吸引學(xué)生最多，應(yīng)該在第3食堂開設(shè)閱報(bào)欄。五、參考文獻(xiàn)1淮陰工學(xué)院數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)72王小才.差分方程課件3趙靜.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn).北京：高等教育出版社，2022.附錄定義m文件：function x=ybl(n)A=0.6 0.25 0.1 0.1;0.2 0.5 0.2 0.25;0.15 0.1 0.55 0.5;0.05 0.15 0.15 0.

7、15;x(:,1)=750,750,750,750'for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k);end程序：A=0.6 0.25 0.1 0.1;0.2 0.5 0.2 0.25;0.15 0.1 0.55 0.5;0.05 0.15 0.15 0.15;n=10;x(:,1)=750,750,750,750'%x(:,1)=0,0,0,3000' for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k);endround(x)k=0:n;plot(k,x)gridgtext('x1(k)'),gtext('x2(k)'),gt

8、ext('x3(k)'),gtext('x4(k)')當(dāng)時(shí)，運(yùn)行結(jié)果為：ans = 750 788 823 843 854 859 862 864 864 865 865 865 865 750 863 878 882 883 883 883 883 883 883 883 883 883 750 975 928 907 898 893 891 890 889 889 889 889 888 750 375 371 368 366 365 364 364 364 364 364 364 364當(dāng)時(shí)，運(yùn)行結(jié)果為：ans = 0 300 563 708 785 825 845 855 860 863 864 864 865 0 750 848 875 882 884 884