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認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：吳**（實(shí)名認(rèn)證）

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IP屬地：湖北 上傳時(shí)間：2022-03-07 格式：PPT 頁數(shù)：61 大小：1.05MB 積分：30 舉報(bào) 版權(quán)申訴

1、第五章桿單元和梁?jiǎn)卧?本章主要介紹利用桿單元及梁?jiǎn)卧M(jìn)行結(jié)構(gòu)靜力學(xué)的有限利用桿單元及梁?jiǎn)卧M(jìn)行結(jié)構(gòu)靜力學(xué)的有限元分析原理元分析原理。首先介紹了桿單元的分析方法介紹了桿單元的分析方法，詳細(xì)給出了采用桿單元進(jìn)行有限元分析的整個(gè)過程；緊接著介紹了平面梁?jiǎn)卧榻B了平面梁?jiǎn)卧?，以一個(gè)平面懸臂梁力學(xué)模型為分析實(shí)例一個(gè)平面懸臂梁力學(xué)模型為分析實(shí)例，分別采用材料力學(xué)材料力學(xué)、彈性力學(xué)解析計(jì)算彈性力學(xué)解析計(jì)算以及有限元法有限元法進(jìn)行了分析與求解，以加深讀者對(duì)有限元法的理解。桿單元桿單元-桁架結(jié)構(gòu)桁架結(jié)構(gòu)梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧?軸系，轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)軸系，轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué) 一般情況下，認(rèn)為桿件只承受軸向力，只有一個(gè)方向的受力和相應(yīng)的變

2、形。本節(jié)將采用有限元法來分析桿件系統(tǒng)，以下給出規(guī)范的有限元法中關(guān)于桿單元的推導(dǎo)過程，以及整個(gè)桿系的求解過程。 如圖5-1所示的桿件結(jié)構(gòu)，左端鉸支，右端作用一個(gè)集中力，相關(guān)參數(shù)如圖。具體求解過程如下：圖 5-1 桿件結(jié)構(gòu) 待求解的問題 （1）確定坐標(biāo)系、單元離散，確定位移變量確定坐標(biāo)系、單元離散，確定位移變量, 外載荷及邊界外載荷及邊界條件。條件。 5.1.1. 一維桿單元一維桿單元 材料力學(xué)可輕易求解材料力學(xué)可輕易求解 要建立兩種坐標(biāo)系：?jiǎn)卧鴺?biāo)系（局部坐標(biāo)系）、整體坐要建立兩種坐標(biāo)系：?jiǎn)卧鴺?biāo)系（局部坐標(biāo)系）、整體坐標(biāo)系。標(biāo)系。根據(jù)自然離散根據(jù)自然離散, , 坐標(biāo)系建立成一維坐標(biāo)系建立成一維

3、, , 單元?jiǎng)澐譃閮蓚€(gè)單元?jiǎng)澐譃閮蓚€(gè), , 給出相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)給出相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)1 1、2 2、3 3以及相應(yīng)的坐標(biāo)值（見圖以及相應(yīng)的坐標(biāo)值（見圖5-15-1）。在局）。在局部坐標(biāo)系中，取桿單元的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圖部坐標(biāo)系中，取桿單元的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圖5-25-2為任取的為任取的一個(gè)桿單元。一個(gè)桿單元。 圖圖 5-2 桿單元桿單元 對(duì)于兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的桿單元，存在如下節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)對(duì)于兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的桿單元，存在如下節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式系式 1122ePuPuk (5.1) 其中，其中， 稱為稱為單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噀k （2）確定位移模式確定位移模式 假設(shè)單元位移場(chǎng)：2123( )u xaa

4、 xa x 取其線性部分，系數(shù) 、 可由節(jié)點(diǎn)位移 、 確定，稱為位移插值模式（interpolation model）.1a2a1u2u12( )u xaa x(5.2) （3）形函數(shù)矩陣的推導(dǎo)形函數(shù)矩陣的推導(dǎo) 由單元的節(jié)點(diǎn)條件, 兩個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為x1、x2,兩個(gè)節(jié)點(diǎn)位移為 ， ，代入上式插值模式公式得：11( )|x xu xu22( )|x xu xu12111222aa xuaa xu 求解得到求解得到111121221212()/()()/()aux uuxxauuxx 這樣，這樣， 可以寫成如下矩陣形式可以寫成如下矩陣形式12( )u xaa x12( )1au xxa11122211

5、uxauxa111122211axuaxu 導(dǎo)出導(dǎo)出11112221( )111axuu xxxaxu12( )uxuN=(5.3) 得到得到形函數(shù)矩陣形函數(shù)矩陣（shape function matrix）(5.4) 記節(jié)點(diǎn)位移矢量記節(jié)點(diǎn)位移矢量 (nodal displacement vector)是是12euu(5.5) 11221211( )1(1)1xxxxxxxxxxN 因此，用形函數(shù)矩陣表達(dá)的單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移函數(shù)是因此，用形函數(shù)矩陣表達(dá)的單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移函數(shù)是( )( )eu xx N(5.6) （4）應(yīng)變應(yīng)變 由彈性力學(xué)的幾何方程知由彈性力學(xué)的幾何方程知1維桿單元滿足維桿單

6、元滿足111222d( )11( )deeuuuuxxuuuxxll NB(5.7) （5）應(yīng)力應(yīng)力 由彈性力學(xué)的物理方程知：由彈性力學(xué)的物理方程知： 12( )( )( )( )eeeeeeeeuEExDxExxull BBS(5.8) （6）利用最小勢(shì)能原理導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)米钚?shì)能原理導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?單元的勢(shì)能表達(dá)式：?jiǎn)卧膭?shì)能表達(dá)式：B為為應(yīng)變矩陣（常應(yīng)變）。應(yīng)變矩陣（常應(yīng)變）。 S為為應(yīng)力矩陣（常應(yīng)力）。應(yīng)力矩陣（常應(yīng)力）。 112211202011d2211()2211d22eeeeeeleeeleTTeeeeTeUWuPPuuA dxPPuEAx SBBBP 上式記作如下矩陣

7、形式：上式記作如下矩陣形式：1122eeTeeeTe K P (5.9) 0e eeek P根據(jù)最小勢(shì)能原理，根據(jù)最小勢(shì)能原理，可以得到可以得到， (5.10) （7）把所有單元按結(jié)構(gòu)形狀進(jìn)行組集（）把所有單元按結(jié)構(gòu)形狀進(jìn)行組集（assembly of discrete elements） 對(duì)于圖對(duì)于圖5.1所示結(jié)構(gòu)所示結(jié)構(gòu) 第一個(gè)單元：第一個(gè)單元： 1(1)2uu(1)(1)(1)(1)1111EAlK1(1)2RRP其其中，中，單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚕╡lement stiffness matrix），或稱單元特），或稱單元特性矩陣性矩陣(element characteristic m

8、atrix)011d11eeeleTeeeE AKEA xlBB (5.11) 整體結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能是所有單元的勢(shì)能的和，即整體結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能是所有單元的勢(shì)能的和，即 第二個(gè)單元：第二個(gè)單元： 2(2)3uu(2)(2)(2)(2)1111EAlK2(2)3RFP(1)(1)111(1)(2)12(1)222(2)(2)22223(2)3331111112211111122TTuuuEARRuuuluuuEARFuuul 在這里，把表達(dá)成整體位移矢量在這里，把表達(dá)成整體位移矢量 的函數(shù)，如下：的函數(shù)，如下：123uuu(1)(1)(1)(1)(1)(1)1111(1)(1)(1)(1)(2)(2)(

9、2)(2)222(1)(1)(2)(2)(2)(2)(2)(2)3333(2)(2)0110220TTEAEAlluuRuEAEAEAEAuuulllluuFuEAEAll 可記作可記作1122TT KP (5.12) 上式的即為上式的即為整體剛度矩陣整體剛度矩陣。即根據(jù)最小勢(shì)能原理，由各單元。即根據(jù)最小勢(shì)能原理，由各單元?jiǎng)偠染仃嚽蟪龅恼w剛度矩陣。下式是由整體剛度矩陣表達(dá)的系剛度矩陣求出的整體剛度矩陣。下式是由整體剛度矩陣表達(dá)的系統(tǒng)方程：統(tǒng)方程：(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)22(1)(1)(2)(2)(2)(2)(2)(2)33(2

10、)(2)00EAEAllRuEAEAEAEARullllFuEAEAll (5.13) （8）引入邊界條件（引入邊界條件（Treatment of boundary conditions） 為獲取許可位移場(chǎng)，需引入邊界條件為獲取許可位移場(chǎng)，需引入邊界條件1( ): 0BC uu (5.14) 由于由于 ，可劃去它所對(duì)應(yīng)的行和列，這樣基于許可位移，可劃去它所對(duì)應(yīng)的行和列，這樣基于許可位移場(chǎng)的系統(tǒng)總勢(shì)能為場(chǎng)的系統(tǒng)總勢(shì)能為10u (1)(1)(2)(2)(2)(2)(1)(2)(2)2223(2)(2)(2)(2)333(2)(2)11022TEAEAEAuuulllFuuuEAEAll 由由最小勢(shì)

11、能原理，勢(shì)能函數(shù)對(duì)未知位移最小勢(shì)能原理，勢(shì)能函數(shù)對(duì)未知位移 求求變分，滿足變分，滿足 的的條件是條件是 ，得如下方程式，得如下方程式23uu230, 0uu= （9）求解節(jié)點(diǎn)位移求解節(jié)點(diǎn)位移 由上式方程可以直接求解得到由上式方程可以直接求解得到 , 注意到注意到R2是內(nèi)是內(nèi)力，不做功。在求解過程中，可以視為力，不做功。在求解過程中，可以視為0。也就是。也就是23uu (5.15)(1)(1)(2)(2)(2)(2)(1)(2)(2)2(2)(2)(2)(2)3(2)(2)EAEAEAullluEAEAll30F （10）求單元應(yīng)變求單元應(yīng)變（5.16） （5.17） （11）各單元應(yīng)力各單元應(yīng)

12、力 利用物理方程，求單元的應(yīng)力利用物理方程，求單元的應(yīng)力(1)(1)(1)(1)( )EExB（5.18） -1(1)(1)(2)(2)(2)(2)(1)(2)(2)2(2)(2)(2)(2)33(2)(2)0=E AEAEAullluFEAEAll1(1)(1)(1)(1)(1)211uull B 2(2)(2)(2)(2)(2)311uull B(2)(2)(2)(2)EEB （12）各支點(diǎn)反力各支點(diǎn)反力 各支反力公式是由單元最小勢(shì)能原理得到的，即各支反力公式是由單元最小勢(shì)能原理得到的，即 (1)(1)(1)KP(1)(1)11(1)221111uREAuPl（5.19） 為了清楚起見為了

13、清楚起見, , 將上述兩桿結(jié)構(gòu)代入具體數(shù)將上述兩桿結(jié)構(gòu)代入具體數(shù)值：值： ， ， ， ，進(jìn)行相應(yīng)的單元應(yīng)力計(jì)算。得到的結(jié)果如下：，進(jìn)行相應(yīng)的單元應(yīng)力計(jì)算。得到的結(jié)果如下：(1)(2)72 10EEPa(1)(2)222AAcm(1)(2)10cmll1424302.5 107.5 10uumum(1)32.5 10(2)3( )5 10 x (1)0.05MPa(2)110RN 0.1MPa=310NF 1u2u12T12uvuv 1122,x yxy 這里從這里從坐標(biāo)變換的角度坐標(biāo)變換的角度出發(fā)來說明平面桿單元的建立出發(fā)來說明平面桿單元的建立方法。從勢(shì)能的角度，桿單元的勢(shì)能不會(huì)因坐標(biāo)系變換而

14、方法。從勢(shì)能的角度，桿單元的勢(shì)能不會(huì)因坐標(biāo)系變換而 產(chǎn)生能量的變化。如圖產(chǎn)生能量的變化。如圖5-35-3所示，局部坐標(biāo)系中桿單元所示，局部坐標(biāo)系中桿單元1 1維位移維位移和和，可以投影到整體坐標(biāo)系中變成，可以投影到整體坐標(biāo)系中變成，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)?，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)?圖圖 5-2 局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的變換的變換 5.1.2 平面桿單元平面桿單元整體坐標(biāo)系下的位移和局部坐標(biāo)系下的位移的變換關(guān)整體坐標(biāo)系下的位移和局部坐標(biāo)系下的位移的變換關(guān)系為系為 （5.205.20） 式中，坐標(biāo)變換矩陣為式中，坐標(biāo)變換矩陣為 1111122222cossin0000cossineuuuvvu

15、uuvvTcossin0000cossine（5.215.21）因此，平面桿單元節(jié)點(diǎn)位移矢量的變換關(guān)系記為因此，平面桿單元節(jié)點(diǎn)位移矢量的變換關(guān)系記為 （5.225.22）單元?jiǎng)菽苁且粋€(gè)標(biāo)量，不會(huì)因坐標(biāo)系的不同而改變。導(dǎo)單元?jiǎng)菽苁且粋€(gè)標(biāo)量，不會(huì)因坐標(biāo)系的不同而改變。導(dǎo)出出整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)菽芎瘮?shù)：整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)菽芎瘮?shù)： （5.235.23）從上式我們可以導(dǎo)出在整體坐標(biāo)下平面桿單元的剛度矩從上式我們可以導(dǎo)出在整體坐標(biāo)下平面桿單元的剛度矩陣陣 eeeT TTTTTTTT1111222211()()221122eeeeeeeeeeeeTeeeeeeeeTeeeeeeeT K P TK T T

16、PTK TTPK PTeeeekTk T（5.245.24）具本而言，在轉(zhuǎn)換矩陣中，有具本而言，在轉(zhuǎn)換矩陣中，有 （5.255.25）式中式中 為單元的長(zhǎng)度，為單元的長(zhǎng)度， 。這里。這里令令 ， ，則轉(zhuǎn)換矩陣，則轉(zhuǎn)換矩陣T T可表示為可表示為因此，因此，整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍檎w坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍?2cos( )exxl12sin( )eyyleL221212()()elxxyy12exxll12eyyml0000elmlm（5.265.26）2222T2222eeeeeeellmllmlmmlmmE AlllmllmlmmlmmkTk T（5.275.27）例5-1，如圖5-4所

17、示的平面桁架結(jié)構(gòu)，在點(diǎn)1處施加有10000N向下的力。材料的彈性模量為E=30106Pa。所有桿的橫截面面積A=2m2，點(diǎn)2、3和點(diǎn)4完全約束。試求解各點(diǎn)的位移、受力以及各個(gè)單元的應(yīng)力情況。clear all % clear memory% E; modulus of elasticity % A: area of cross section % L: length of barE=30e6; A=2; EA=E*A;% generation of coordinates and connectivitiesnumberElements=3;numberNodes=4;elementNodes

18、=1 2;1 3;1 4;nodeCoordinates= 0 0;0 120;120 120;120 0;xx=nodeCoordinates(:,1);yy=nodeCoordinates(:,2);GDof=2*numberNodes; % GDof: total number of degrees of freedomdisplacements=zeros(GDof,1);force=zeros(GDof,1);% applied load at node 2force(2)=-10000.0;120120Ge=zeros(4,GDof,numberElements);K=zeros(

19、GDof, GDof);Te=;for i=1:numberElementspos_1=elementNodes(i,1); pos_2=elementNodes(i,2); %節(jié)點(diǎn)編號(hào)Le(i)=sqrt(xx(pos_1)-xx(pos_2)2+(yy(pos_1)-yy(pos_2)2);Ke=E*A/Le(i)*1 -1; -1 1; %一維桿單元Te(:,:,i)=(xx(pos_2)-xx(pos_1)/Le(i) (yy(pos_2)-yy(pos_1)/Le(i) 0 0; 0, 0, (xx(pos_2)-xx(pos_1)/Le(i) , (yy(pos_2)-yy(pos

20、_1)/Le(i);Ke_b(:, :, i)=Te(:,:,i)*Ke*Te(:,:,i);Ge(1,2*pos_1-1,i)=1 ; %組集矩陣Ge(2,2*pos_1,i)=1 ; %組集矩陣Ge(3,2*pos_2-1,i)=1 ; %組集矩陣Ge(4,2*pos_2,i)=1 ; %組集矩陣K=K+Ge(:,:,i)*Ke_b(:, :, i)*Ge(:,:,i);endK_s=K(1:2,1:2); %添加邊界后的剛度矩陣force=force(1:2); %外載荷化簡(jiǎn)x=inv(K_s)*force %得到位移結(jié)果X=x 0,0,0,0,0,0 %擴(kuò)展為完整的節(jié)點(diǎn)位移for e=

21、1:numberElementspos_1=elementNodes(e,1); pos_2=elementNodes(e,2); sigma(e)=E*-1 1*Te(:,:,e)*X(2*pos_1-1); X(2*pos_1); X(2*pos_2-1); X(2*pos_2)/Le(e)end利用該程序求得該桁架在各節(jié)點(diǎn)處的位移為：利用該程序求得該桁架在各節(jié)點(diǎn)處的位移為：U =0.0041 -0.0159 0 0 0 0 0 0T 各單元應(yīng)力：1.0e03*3.9645 1.4645 -1.0355 T節(jié)點(diǎn)支反力？在在5.15.1節(jié)及節(jié)及5.25.2節(jié)中，考慮了一維及平面桿單元的情節(jié)中

22、，考慮了一維及平面桿單元的情況，接下來考慮空間桿單元的問題。如圖所示，局部況，接下來考慮空間桿單元的問題。如圖所示，局部坐標(biāo)系中桿單元坐標(biāo)系中桿單元1 1維位移維位移 ， ，可以投影到三維的整，可以投影到三維的整體坐標(biāo)系中，變成體坐標(biāo)系中，變成 ，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)闃?biāo)變?yōu)?1u2uT112222uvwuvw 111222,x y zxyz5.1.3 空間桿單元空間桿單元兩者之間存在的關(guān)系是兩者之間存在的關(guān)系是 （5.285.28）式中，分別為桿單元在整體坐標(biāo)系中與各軸的夾角式中，分別為桿單元在整體坐標(biāo)系中與各軸的夾角 圖圖 5-5 局部局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的變換坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的變換

23、 11112222coscoscos000000coscoscosuvuwuuvw 在整體坐標(biāo)系下，空間桿單元?jiǎng)偠染仃嚍樵谡w坐標(biāo)系下，空間桿單元?jiǎng)偠染仃嚍?12cosexxlL12coseyymL12cosezznL000000elmnlmnT根據(jù)上一節(jié)內(nèi)容，令根據(jù)上一節(jié)內(nèi)容，令，則則 222222222222TeeeeeeellmlnllmlnlmmmnlmmmnlnmnnlnmnnE ALllmlnllmlnlmmmnlmmmnlnmnnlnmnnkTk Tcoscoscos000000coscoscoseT（5.29）（5.30）平面懸臂梁?jiǎn)栴}的解析分析平面懸臂梁?jiǎn)栴}的解析分析 平面梁

24、單元的分析與求解平面梁?jiǎn)卧姆治雠c求解 新的一類單元，簡(jiǎn)化單元，有著廣泛的應(yīng)用新的一類單元，簡(jiǎn)化單元，有著廣泛的應(yīng)用拉刀桿鎖緊螺母主軸定位檢出塊主軸定位輪主軸皮帶輪環(huán)圈主軸尾端蓋主軸套管筒主軸鼻端套筒后支撐軸承后支撐軸承前軸承主軸端蓋主軸梁?jiǎn)卧膽?yīng)用梁?jiǎn)卧膽?yīng)用梁?jiǎn)卧膽?yīng)用梁?jiǎn)卧膽?yīng)用 作為對(duì)照，先用經(jīng)典材料力學(xué)法和彈性力學(xué)法對(duì)平面懸臂作為對(duì)照，先用經(jīng)典材料力學(xué)法和彈性力學(xué)法對(duì)平面懸臂梁進(jìn)行分析求解。梁進(jìn)行分析求解。 （1） 平面懸臂梁的材料力學(xué)求解：平面懸臂梁的材料力學(xué)求解： 一端受載荷作用的懸臂梁如圖一端受載荷作用的懸臂梁如圖5-6（a）所示，選取坐標(biāo)系如）所示，選取坐標(biāo)系如圖圖5-6 (

25、b)，任意橫截面上的彎矩為，任意橫截面上的彎矩為 c c W y R M (a) 結(jié)構(gòu)示意圖 (b) 力學(xué)模型 圖5-6 平面懸臂梁力學(xué)模型xLWM（5.31） 受載荷作用后梁產(chǎn)生變形，在受載荷作用后梁產(chǎn)生變形，在xy平面內(nèi)梁的軸線將變成一條平面內(nèi)梁的軸線將變成一條曲線，即撓曲線。根據(jù)材料力學(xué)有關(guān)假設(shè)，梁彎曲的撓曲線的近曲線，即撓曲線。根據(jù)材料力學(xué)有關(guān)假設(shè)，梁彎曲的撓曲線的近似微分方程為似微分方程為EIMdxvd22（5.32） 由這兩個(gè)公式可得撓曲線的微分方程為由這兩個(gè)公式可得撓曲線的微分方程為xLWMvEI 積分得積分得CWxxWEIv22DCxxWLxWEIv2326（5.33） 引入邊

26、界條件，左側(cè)固定端引入邊界條件，左側(cè)固定端A處的轉(zhuǎn)角和撓度均等于零，即處的轉(zhuǎn)角和撓度均等于零，即當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，時(shí)， 0AAv0Av （5.34） 把邊界條件式代入式（把邊界條件式代入式（4.22），得），得00AAEIvDEIC 再將所得積分常數(shù)再將所得積分常數(shù)C和和D代回前式，得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方代回前式，得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為程分別為WLxxWEIv222326xWLxWEIv （5.35） 將懸臂梁的右端受載荷將懸臂梁的右端受載荷W處的橫坐標(biāo)處的橫坐標(biāo)x=l代入以上兩式，得代入以上兩式，得右端受載荷截面的轉(zhuǎn)角和撓度分別為右端受載荷截面的轉(zhuǎn)角和撓度分別為 （2）平面懸臂梁的彈性力學(xué)求

27、解）平面懸臂梁的彈性力學(xué)求解EIWLvBB22EIWLvfBB33（5.36） 末端受集中載荷作用的平面懸臂梁的位移場(chǎng)可以用以下多項(xiàng)末端受集中載荷作用的平面懸臂梁的位移場(chǎng)可以用以下多項(xiàng)式表示式表示 x方向：方向： y方向：方向： 22366),(yxLxEIWyyxu232( , )33()6Wv x yLxxyLxEI 梁的中性面（梁的中性面（y=0的面）上的撓曲為的面）上的撓曲為 受載荷作用的懸臂梁上任何位置處的轉(zhuǎn)角為受載荷作用的懸臂梁上任何位置處的轉(zhuǎn)角為3236)0 ,(xLxEIWxv （5.37） 左側(cè)懸臂處（左側(cè)懸臂處（x=0）的撓曲為）的撓曲為 ，右端處（，右端處（x=L）受到集

28、）受到集中載荷作用，撓曲為中載荷作用，撓曲為 ，該結(jié)果與材料力學(xué)中的撓曲線，該結(jié)果與材料力學(xué)中的撓曲線公式相同。公式相同。0vEIWLv3322336621yxLxEIWyuxvxy （5.38） 梁中性面（梁中性面（y=0）上的轉(zhuǎn)角為）上的轉(zhuǎn)角為2366)0 ,(xLxEIWxxy 左端點(diǎn)（左端點(diǎn)（x=0）為懸臂點(diǎn)，轉(zhuǎn)角為）為懸臂點(diǎn)，轉(zhuǎn)角為0 xy 受載荷作用的懸臂梁的應(yīng)力場(chǎng)可在應(yīng)變場(chǎng)的基礎(chǔ)上，由彈受載荷作用的懸臂梁的應(yīng)力場(chǎng)可在應(yīng)變場(chǎng)的基礎(chǔ)上，由彈性力學(xué)物理方程直接求出性力學(xué)物理方程直接求出 右端點(diǎn)（右端點(diǎn)（x=L）為受集中載荷點(diǎn)，轉(zhuǎn)角為）為受集中載荷點(diǎn)，轉(zhuǎn)角為EIWLxy22 受載荷作用的

29、懸臂梁的應(yīng)變場(chǎng)可由彈性力學(xué)幾何方程求出受載荷作用的懸臂梁的應(yīng)變場(chǎng)可由彈性力學(xué)幾何方程求出xLEIWyxuxyxLEIWyvy)(0 xvyuxy （5.39） yxxE21yxLEIWxLEIWyE221yxLIW012xyyE0 xyxyG （5.40） 注意平面梁僅存注意平面梁僅存x方向應(yīng)力方向應(yīng)力 （1） 建立坐標(biāo)系，進(jìn)行單元離散。坐標(biāo)系包括結(jié)構(gòu)的整體建立坐標(biāo)系，進(jìn)行單元離散。坐標(biāo)系包括結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系和坐標(biāo)系和單元局部坐標(biāo)系（利用局部坐標(biāo)系進(jìn)行單元分析）。單元局部坐標(biāo)系（利用局部坐標(biāo)系進(jìn)行單元分析）。 （2） 建立平面梁?jiǎn)卧奈灰颇Ｊ?。建立平面梁?jiǎn)卧奈灰颇Ｊ健?設(shè)一個(gè)平面梁?jiǎn)卧袃蓚€(gè)

30、節(jié)點(diǎn)，如圖設(shè)一個(gè)平面梁?jiǎn)卧袃蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖5-7所示。在局部坐標(biāo)所示。在局部坐標(biāo)系內(nèi)，平面梁?jiǎn)卧x有系內(nèi)，平面梁?jiǎn)卧x有6個(gè)自由度個(gè)自由度 圖圖5-7平面梁?jiǎn)卧Ｐ推矫媪簡(jiǎn)卧Ｐ?,ijeTiizjjzu vu v (5.41)x1=0,x2=L節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 略去軸向位移，可以設(shè)平面梁?jiǎn)卧腥缦侣匀ポS向位移，可以設(shè)平面梁?jiǎn)卧腥缦?個(gè)自由度個(gè)自由度 ,ijeTizjzvv (5.42) 對(duì)于平面梁?jiǎn)卧?，其彎曲變形的位移?chǎng)對(duì)于平面梁?jiǎn)卧?，其彎曲變形的位移?chǎng) 可以設(shè)為下式可以設(shè)為下式)(xv342321)(xxxxv (5.43) 因此，梁的斜率是（因此，梁的斜率是（Hermite型型）2

31、23423zdvxxdx (5.44) 位移模式寫成矩陣形式位移模式寫成矩陣形式1232234( )1 ( )01 23zv xx xxxxx (5.45) （3）推導(dǎo)形推導(dǎo)形函數(shù)矩陣函數(shù)矩陣-直接利用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)使推導(dǎo)簡(jiǎn)單直接利用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)使推導(dǎo)簡(jiǎn)單 代入節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，有代入節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，有1(0)vv01|xdvdx2( )v Lv2|x Ldvdx 其中，其中，L梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度。得到梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度。得到111223212342223423vvLLLLL 前兩個(gè)方程直接解出前兩個(gè)方程直接解出 和和 ，代入后兩個(gè)方程，解出，代入后兩個(gè)方程，解出 和和 ，具體如下，具體如下2341 上面的推

32、導(dǎo)可以寫成如下矩陣形式上面的推導(dǎo)可以寫成如下矩陣形式1121321122412123231()(2)21()()vvvLLvvLL23231111112221112323332222222442211000 0101230011 0101 2323zzxxxvxxvlxxxllxxll 求得求得1231122123322241 01 231 2301iiiiizjjjzjjxxxvxxvxxxxx (5.46) 將式將式(5.46)代入式代入式(5.45)， , 用節(jié)點(diǎn)用節(jié)點(diǎn)的位移形式重新整理，得的位移形式重新整理，得342321)(xxxxv23231122323222( )1 32232x

33、xxxv xvxLLLLxxxxvLLLL 得到的用形函數(shù)矩陣表達(dá)的單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移是得到的用形函數(shù)矩陣表達(dá)的單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移是12311111223232111222332222224221 01 23( )11 ( )( )0 10 123231 01 23zezzx xxvxxv xxxxxxxxxvxxxxxxxxx N (5.47) 其中，其中，N(x) 平面梁?jiǎn)卧男魏瘮?shù)。平面梁?jiǎn)卧男魏瘮?shù)。 節(jié)點(diǎn)位移向節(jié)點(diǎn)位移向量，量， 。對(duì)于。對(duì)于eTeiijjvv( )()() ()() eviivjjxNNNNv 對(duì)應(yīng)于撓度的形函數(shù)對(duì)應(yīng)于撓度的形函數(shù)N (x) 的的具體表達(dá)式是具體表達(dá)

34、式是2323223232)( ,23)(2)( ,231)(LxLxNLxLxNLxLxxNLxLxNjjviiv (5.48) (4) 推導(dǎo)應(yīng)變、應(yīng)力，根據(jù)最小勢(shì)能原理導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃囃茖?dǎo)應(yīng)變、應(yīng)力，根據(jù)最小勢(shì)能原理導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?。在這里直接根據(jù)瑞利法，也可以導(dǎo)出以節(jié)點(diǎn)位移的形式來表達(dá)梁在這里直接根據(jù)瑞利法，也可以導(dǎo)出以節(jié)點(diǎn)位移的形式來表達(dá)梁?jiǎn)卧膽?yīng)變能。彎曲梁的應(yīng)變能是單元的應(yīng)變能。彎曲梁的應(yīng)變能是 (5.49) 二階導(dǎo)數(shù)可由方程二階導(dǎo)數(shù)可由方程(5.47)決定決定（利用形函數(shù)位移插值公利用形函數(shù)位移插值公式）式），表示為表示為2222)(dxNddxvdiv22)(dxNdi22)(d

35、xNdjvjjiijvvdxNd)(221234iiejjvBBBBvB (5.50)2222111dddd222dLLLMvUMxEIxEIx 其中其中1234B B B BB22243222322223222162)( ,126)(64)( ,126)(LxLdxNdBLxLdxNdBLxLdxNdBLxLdxNdBjjviiv (5.51) 代入梁?jiǎn)卧獞?yīng)變能公式，同時(shí)假設(shè)對(duì)于該單元而言是常量，代入梁?jiǎn)卧獞?yīng)變能公式，同時(shí)假設(shè)對(duì)于該單元而言是常量，得單元應(yīng)變能得單元應(yīng)變能1()d2eTTeLUEIx B B (5.52) 節(jié)點(diǎn)位移向量節(jié)點(diǎn)位移向量 不是不是x的的函數(shù)函數(shù), ,上式可以寫成上式

36、可以寫成e1()d2eTTeLUEIxB B 應(yīng)變能的一般形式可以表達(dá)成應(yīng)變能的一般形式可以表達(dá)成12eTeeU k (5.53) 其中，其中， 平面梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃?，即平面梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚕磂k()eTLEIdxkB B (5.54) 考慮到考慮到B B是是x x的函數(shù)的函數(shù), , 上式所有項(xiàng)積分后得上式所有項(xiàng)積分后得局部坐標(biāo)系下（代局部坐標(biāo)系下（代入了坐標(biāo)值）入了坐標(biāo)值）的的平面梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚻矫媪簡(jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃?23221261266462()1261266264eLLLLLLEILLLLLLLk (5.55) （5）整體剛度矩陣的組集與坐標(biāo)變換整體剛度矩陣的組集與坐

37、標(biāo)變換 a) 局部坐標(biāo)系向整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換局部坐標(biāo)系向整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換 局部坐標(biāo)系，整體坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)載荷、節(jié)點(diǎn)局部坐標(biāo)系，整體坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)載荷、節(jié)點(diǎn)位移和單元?jiǎng)偠染仃嚨淖儞Q關(guān)系為位移和單元?jiǎng)偠染仃嚨淖儞Q關(guān)系為eeRTReeT1eekT k T 其中坐標(biāo)變換矩陣為其中坐標(biāo)變換矩陣為cossin00sincos0000cossin00sincosT(5.57) 式中，式中， 是是 軸軸相對(duì)于相對(duì)于x軸的夾角?？梢宰C明，轉(zhuǎn)換矩陣軸的夾角?？梢宰C明，轉(zhuǎn)換矩陣T的逆的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣，所以，在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚲仃嚨扔谒霓D(zhuǎn)置矩陣，所以，在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠?/p>

38、矩陣為為eTekT k T(5.58)(5.56)x22ddvyx ey B b) 進(jìn)行整體剛度矩陣的組集?？梢圆捎弥苯觿偠确ㄟM(jìn)行整體剛度矩陣的組集。可以采用直接剛度法 。 （6）引入約束條件。引入約束條件。 （7）求解系統(tǒng)方程，得到所有的節(jié)點(diǎn)位移。求解系統(tǒng)方程，得到所有的節(jié)點(diǎn)位移。 （8）進(jìn)而再求出單元的應(yīng)力應(yīng)變等。進(jìn)而再求出單元的應(yīng)力應(yīng)變等。eyE B例例5-2 平面梁?jiǎn)卧獞?yīng)用舉例。設(shè)一方形截面的懸臂梁，截面每邊長(zhǎng)平面梁?jiǎn)卧獞?yīng)用舉例。設(shè)一方形截面的懸臂梁，截面每邊長(zhǎng)為為5cm，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為10m，在左端約束固定，在右端施以一個(gè)沿，在左端約束固定，在右端施以一個(gè)沿y軸負(fù)軸負(fù)方向的集中力方向

39、的集中力w=100N，求其撓度與轉(zhuǎn)角。，求其撓度與轉(zhuǎn)角。圖5-8 平面梁?jiǎn)卧獙?shí)例圖 將整個(gè)梁分成兩個(gè)平面梁?jiǎn)卧?，求出每個(gè)單元的剛度矩陣，然后將兩個(gè)單元組集成總體剛度矩陣，引入邊界條件后，再求解出各節(jié)點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。 具體的計(jì)算過程可參見以下MATLAB程序。注意到其中的有關(guān)坐標(biāo)變換部分利用了直接給出的轉(zhuǎn)換矩陣G，其具體含義還可參考第三章中的有關(guān)內(nèi)容。clearx1=0;x2=sym(L);x=sym(x);j=0:3;v=x.jm=. 1 x1 x12 x13 0 1 2*x1 3*x12 1 x2 x22 x230 1 2*x2 3*x22mm=inv(m);N=v*mm%N=1 x x2

40、x3*(inv(m) B=diff(N,2)k=transpose(B)*B;Ke=int(k,0,L)% Element 1: E=4.0e11, I =bh3/12=5.2e-7EI=4.0e11*5.2e-7Ke1=EI*subs(Ke,L,5)Ke2=Ke1T=eye(4,4)Ke1=T*Ke1*T;Ke2=T*Ke2*T;K1=G1*Ke1*G1K2=G2*Ke2*G2K=K1+K2F=0, 0,0,0,-100,0 %u=F*inv(K) u=v1,xta1,v2,xta2,v3,xta3,v1=0 xta1=0%K(1,:)=0;K(:,1)=0;K(2,:)=0;K(:,2)=

41、0;KX=K(3:6,3:6)F(1,1)=0;F(2,1)=0;FX=F(3:6,1)u=inv(KX)*FX利用該程序求得懸臂梁節(jié)點(diǎn)1(左端點(diǎn))、節(jié)點(diǎn)2（中間點(diǎn)）和節(jié)點(diǎn)3（右端點(diǎn)）處的撓曲和轉(zhuǎn)角為0 0 -0.0501 -0.0180 -0.1603 -0.0240TANSYS的命令流如下：/CONFIG,NRES,1E5/title,analysis of the beam element/prep7!選單元ET,1,beam3!每個(gè)節(jié)點(diǎn) 有3個(gè)自由度的粱單元!定義材料特性 MP,EX,1,4.0e11 MP,DENS,1,7850MP,PRXY,1,0.3 type, 1b=5e-2!

42、截面的尺寸參數(shù)h=bs=b*hI=(b*h*h*h)/12!截面的慣性矩r,1,s,I,h!繪制模型 用的是4個(gè)節(jié)點(diǎn)的板單元n,1,0,0n,2,5,0n,3,10,0e,1,2!自動(dòng)分配單元號(hào)e,2,3d,1,all!加約束f,3,fy,-100!外力/soluSolve/post1!進(jìn)入后處理PRNSOL, dof !列表顯示節(jié)點(diǎn)位移、應(yīng)力、應(yīng)變PRNSOL, s,compPRNSOL,epel,compANSYS 左端點(diǎn)沿左端點(diǎn)沿y方向位移方向位移(撓曲撓曲)：0 左端點(diǎn)繞左端點(diǎn)繞z軸的轉(zhuǎn)角：軸的轉(zhuǎn)角：0 中間點(diǎn)沿中間點(diǎn)沿y方向位移方向位移(撓曲撓曲)：-0.05 中間點(diǎn)繞中間點(diǎn)繞z軸的

43、轉(zhuǎn)角：軸的轉(zhuǎn)角：-0.018 右端節(jié)點(diǎn)沿右端節(jié)點(diǎn)沿y方向位移方向位移(撓曲撓曲)：-0.16 右端節(jié)點(diǎn)繞右端節(jié)點(diǎn)繞z軸的轉(zhuǎn)角：軸的轉(zhuǎn)角：-0.024利用利用matlab和和ansys兩種方法求得的結(jié)果基本一致兩種方法求得的結(jié)果基本一致:利用前面提到的材料力學(xué)公式求得右端點(diǎn)處的撓度值為3117100 1000-0.160256433 4 105.2 10WLyEI 可見，用有限單元法、材料力學(xué)方法和用ANSYS計(jì)算得到的結(jié)果基本一致。 對(duì)于具有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的空間梁?jiǎn)卧?，設(shè)其節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和相應(yīng)的對(duì)于具有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的空間梁?jiǎn)卧O(shè)其節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力如下節(jié)點(diǎn)力如下 （未完）（未完） 節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)（1）：）：

44、11111111111111TexyzTexyzxyzuvwFNQQMMM (5.59) 節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)（2）：）：22222222222222TexyzTexyzxyzuvwFNQQMMM (5.60) 5.3.1 空間梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)坐標(biāo)空間梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)坐標(biāo) 整體坐標(biāo)系記為整體坐標(biāo)系記為OXYZ，梁?jiǎn)卧木植孔鴺?biāo)系記為，梁?jiǎn)卧木植孔鴺?biāo)系記為oxyz，其，其中中ox軸正方向由軸正方向由i端截面形心指向端截面形心指向j端面形心，端面形心，y軸和軸和z軸是梁截面軸是梁截面的兩個(gè)相互垂直的形心主軸，見的兩個(gè)相互垂直的形心主軸，見圖圖5-9。坐標(biāo)變換公式具有如下坐標(biāo)變換公式具有如下形式：形式：123123

45、1233 3lllmmmnnnt12 12ttttT (5.61)圖圖5-9 空間梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換空間梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換 由局部坐標(biāo)向整體坐標(biāo)的位移變換公式是由局部坐標(biāo)向整體坐標(biāo)的位移變換公式是TeT (5.62) 節(jié)點(diǎn)力的變換公式是節(jié)點(diǎn)力的變換公式是 TeFT F (5.63) 單元?jiǎng)偠染仃囎儞Q公式是單元?jiǎng)偠染仃囎儞Q公式是TeKT K T (5.64) 在三維空間中，設(shè)在三維空間中，設(shè)x,y,z是局部坐標(biāo)系，是局部坐標(biāo)系，X，Y，Z是整體坐標(biāo)是整體坐標(biāo)系系, 單元局部坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸的方向余弦分別如下式：?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸的方向余弦分別如下式：111cos( ,)cos( , )(

46、, )lxXmxYncos xZ222cos( ,)cos( , )cos( , )lyXmyYnyZ333cos( ,)cos( , )cos( , )lzXmzYnzZ (5.65) 坐標(biāo)變換矩陣的具體求算方法包括如下步驟。坐標(biāo)變換矩陣的具體求算方法包括如下步驟。 (1) 局部坐標(biāo)系局部坐標(biāo)系x軸在整體坐標(biāo)系中的方向余弦：軸在整體坐標(biāo)系中的方向余弦：211222212121211222212121211222212121cos( ,)()()()cos( , )()()()( , )()()()xxlxXxxyyzzyymxYxxyyzzzzncos xZxxyyzz (5.66) （2）局部坐標(biāo)系局部坐標(biāo)系y軸在整體坐標(biāo)系中的方向余弦軸在整體坐標(biāo)系中的方向余弦 現(xiàn)在討論具有任意方向的空間梁?jiǎn)卧?。首先，由?jié)點(diǎn)現(xiàn)在討論具有任意方向的空間梁?jiǎn)卧?。首先，由?jié)點(diǎn)i、j 在整體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)即可確定在整體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)即可確定e1在整體坐標(biāo)系中的三個(gè)方在整體坐標(biāo)系中的三個(gè)方向余弦，即向余弦，即LXXij11LYYij12LZZij13 (5.67) 其中其中2/1222ijijijZZYYXXL (5.68) 下面計(jì)算下面計(jì)算e2和和e3。 在單元的主慣性平面在單元的主慣性平面oxy上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)k（但（但k點(diǎn)不能取在點(diǎn)不能取在ox軸軸上），點(diǎn)在整體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)記為（上），點(diǎn)在