問(wèn)題二SIR模型

1、word問(wèn)題二SIR模型1 模型假設(shè) 根據(jù)之前的定義和假設(shè)，人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者三類(lèi)，在時(shí)刻t三類(lèi)人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別記為，和，病人的日接觸率為，日治愈率為，日死亡率為2 模型構(gòu)成由假設(shè)顯然有： 對(duì)于病愈免疫的移出者而言應(yīng)有： 再記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是和，那么模型的方程可以寫(xiě)作：取時(shí)間單位為天，將模型中的第1個(gè)方程離散化得遞推關(guān)系為：3 SARS疾病傳染過(guò)程分析整個(gè)傳染過(guò)程，隨著政府和公眾對(duì)SARS的重視程度的變化，可知接觸數(shù)隨著接觸率、治愈率和死亡率的不斷變化而變化。1在SARS爆發(fā)的初期，由于潛伏期的存在，社會(huì)對(duì)SARS病毒傳播的速度和危害程度認(rèn)識(shí)不夠

2、，所以政府和公眾沒(méi)有引起重視。治愈率和死亡率很小，而接觸率較大，所以很小。 當(dāng)，那么開(kāi)始增加，可認(rèn)為是疾病蔓延階段。2當(dāng)=時(shí)，到達(dá)最大值 可認(rèn)為是疾病傳染到達(dá)了頂峰期。3當(dāng)時(shí)，單調(diào)減小至零，單調(diào)減小至。這一時(shí)期病人比例絕不會(huì)增加，傳染病不會(huì)蔓延，進(jìn)入緩解期。4群體免疫和預(yù)防根據(jù)對(duì)模型的分析，當(dāng)是傳染病不會(huì)蔓延。所以為制止蔓延，除了提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平，使閾值變大以外，另一個(gè)途徑是降低，這可以通過(guò)預(yù)防接種使群體免疫。第二個(gè)途徑通過(guò)預(yù)防接種使群眾免疫，免疫后就不會(huì)被感染上病毒。按照我們?nèi)巳旱姆诸?lèi)系統(tǒng)，將免疫人群歸為退出者類(lèi)，所以免疫人群的出現(xiàn)，不與模型的分類(lèi)系統(tǒng)相矛盾。忽略病人比例的初始值，有=1-

3、，于是SARS不再蔓延的條件可以表示為： 所以只要通過(guò)群體免疫使初始時(shí)刻的移出者比例滿(mǎn)足10，就可以制止SARS的蔓延。5. 數(shù)值驗(yàn)證與估量根據(jù)上面的分析，阻止SARS蔓延有兩種手段，一是提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平，即降低日接觸率，提高日治愈率，二是群體免疫，即提高移出者比例的初值。其中，的含義是每天每個(gè)SARS感染者傳染的人數(shù)，是一個(gè)十分重要的參數(shù)，其確定的原那么是：當(dāng)天新增SARS病人人數(shù)除以當(dāng)天SARS感染者人數(shù)。我們先求出前25天的數(shù)據(jù)，再進(jìn)行曲線(xiàn)擬合即可得到65天的數(shù)據(jù)，再與實(shí)際數(shù)據(jù)相比擬。用matlab求解如下：clc,cleardat=xlsread('SARS',&

4、#39;B1:E26');%4月20號(hào)-5月15號(hào)共計(jì)25天數(shù)據(jù)datt=xlsread('SARS','B1:E66');%65天數(shù)據(jù)%定義時(shí)間t=1:25;tt=1:65;%將各類(lèi)型分出列br=dat(:,1);%25天已感染病人br=br'%變?yōu)樾邢蛄縝rr=datt(:,1);%65天已感染病人newbr=zeros(64,1);%新增病人lamd=zeros(64,1);for i=1:64 newbr(i+1)=datt(i+1,1)-datt(i,1);%后一天的減去前一天的 lamd(i+1)=newbr(i+1)/datt(i+

5、1,1);endplot(tt,lamd,'o');hold on%畫(huà)lamd與時(shí)間tt的圖像lamd=lamd(2:26);%刪除第一個(gè)數(shù)據(jù)%使用CFTOOL擬合工具箱進(jìn)行指數(shù)函數(shù)擬合，得到函數(shù)如下：lamdy=*exp*tt)+*exp*tt);plot(tt,lamdy,tt,lamdy,'-');得到的前25天的擬合圖像如下列圖所示，擬合函數(shù)為：圖1可以發(fā)現(xiàn)：使用指數(shù)函數(shù)對(duì)其進(jìn)行回歸擬合得到的表達(dá)式，其曲線(xiàn)如圖2 的光滑曲線(xiàn)所示圖2同理可得治愈率和死亡率的擬合表達(dá)式：日治愈率：當(dāng)天SARS感染治愈人數(shù)/當(dāng)天SARS感染人數(shù)日死亡率：當(dāng)天SARS感染死亡人

6、數(shù)/當(dāng)天SARS感染人數(shù)得到前25天的擬合函數(shù)為： 將和代入到模型中，進(jìn)行遞推計(jì)算可得每天的SARS感染者人數(shù)，遞推程序如下：tt=1:65;a=zeros(1,65);a(1)=339;for t=1:65 a(t+1)=(1+*exp*t)+*exp*t)+*exp*t)*a(t);enda=a(1:65);figure(2)plot(tt,a,tt,a,*);對(duì)其進(jìn)行描點(diǎn)，其圖像大致與高斯函數(shù)圖像較為吻合，使用高斯函數(shù)對(duì)其擬合可得： 圖3由圖像可知，當(dāng)t=80天時(shí)，北京地區(qū)當(dāng)天新增的SARS感染人數(shù)為0，即在7月10號(hào)左右，我們預(yù)測(cè)此時(shí)北京的非典疫情結(jié)束。6 分析具體措施對(duì)SARS傳播的影響在SARS傳播的實(shí)際過(guò)程中，有關(guān)部門(mén)采取了一些控制疫情的措施，在所有措施中，隔離開(kāi)始的時(shí)間和隔離的強(qiáng)度是兩個(gè)比擬關(guān)鍵的因素，究竟這些因素對(duì)疫情傳播能造成怎樣的影響，現(xiàn)分析如下：改變隔離開(kāi)始的時(shí)間，假設(shè)采取隔離措施提前T天，那么相應(yīng)的將相應(yīng)減小，反之那么增加。所以假設(shè)衛(wèi)生部門(mén)提前5天采取隔離措施，疫情將較快解除，假設(shè)衛(wèi)生部門(mén)延后5天采取隔離措施，疫情將延后解除。根據(jù)以上預(yù)測(cè)結(jié)果，對(duì)SARS疫情的控制提出以下建議：1、 應(yīng)盡早采取有效的控制措施。提早采取嚴(yán)格的隔離措施，將會(huì)使疫情提早得到控制和解除。2、隔離和宣傳并重。一方面加