同濟(jì)大學(xué)高數(shù)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

1、word高等數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)一、 函數(shù)與極限（一） 函數(shù)1、 函數(shù)定義及性質(zhì)有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性；2、 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；3、 初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)；4、 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)；函數(shù)在連續(xù) 第一類：左右極限均存在.間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn) 第二類：左右極限、至少有一個(gè)不存在. 無(wú)窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)5、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理及其推論.（二） 極限1、 定義1） 數(shù)列極限 2） 函數(shù)極限左極限： 右極限：2、 極限存在準(zhǔn)那么1） 夾逼準(zhǔn)那么：12 2） 單調(diào)有界準(zhǔn)

2、那么：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限.3、 無(wú)窮小大量1） 定義：假設(shè)那么稱為無(wú)窮小量；假設(shè)那么稱為無(wú)窮大量.2） 無(wú)窮小的階：高階無(wú)窮小、同階無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小、階無(wú)窮小Th1 ;Th2 無(wú)窮小代換4、 求極限的方法1） 單調(diào)有界準(zhǔn)那么；2） 夾逼準(zhǔn)那么；3） 極限運(yùn)算準(zhǔn)那么及函數(shù)連續(xù)性；4） 兩個(gè)重要極限：a) b) 5） 無(wú)窮小代換：a)b)c) d) e)二、 導(dǎo)數(shù)與微分（一） 導(dǎo)數(shù)1、 定義：左導(dǎo)數(shù)： 右導(dǎo)數(shù)：函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)2、 幾何意義：為曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.3、 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：4、 求導(dǎo)的方法1） 導(dǎo)數(shù)定義；2） 根本公式；3） 四那么運(yùn)算；4） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒敲矗?） 隱函數(shù)

3、求導(dǎo)數(shù)；6） 參數(shù)方程求導(dǎo)；7） 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.5、 高階導(dǎo)數(shù)1） 定義：2） Leibniz公式：（二） 微分1） 定義：，其中與無(wú)關(guān).2） 可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微可導(dǎo)，且三、 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一） 中值定理1、 Rolle羅爾定理：假設(shè)函數(shù)滿足：1； 2； 3；那么.2、 Lagrange拉格朗日中值定理：假設(shè)函數(shù)滿足：1； 2；那么.3、 Cauchy柯西中值定理：假設(shè)函數(shù)滿足：1； 2；3那么（二） 洛必達(dá)法那么（三） Taylor公式（四） 單調(diào)性及極值1、 單調(diào)性判別法：，那么假設(shè)，那么單調(diào)增加；那么假設(shè)，那么單調(diào)減少.2、 極值及其判定定理：a) 必要條件：在可導(dǎo)，假設(shè)為

4、的極值點(diǎn)，那么.b) 第一充分條件：在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，那么假設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，那么為極大值點(diǎn)；假設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，那么為極小值點(diǎn)；假設(shè)在的兩側(cè)不變號(hào)，那么不是極值點(diǎn).c) 第二充分條件：在處二階可導(dǎo)，且，那么假設(shè)，那么為極大值點(diǎn)；假設(shè)，那么為極小值點(diǎn).3、 凹凸性及其判斷，拐點(diǎn)1在區(qū)間I上連續(xù)，假設(shè)，那么稱在區(qū)間I 上的圖形是凹的；假設(shè)，那么稱在區(qū)間I 上的圖形是凸的.2判定定理：在上連續(xù)，在上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，那么 a) 假設(shè),那么在上的圖形是凹的； b) 假設(shè),那么在上的圖形是凸的.3拐點(diǎn)：設(shè)在區(qū)間I上連續(xù)，是的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，曲線的凹凸性改變了，那么稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn).（五） 不等式證明

5、1、 利用微分中值定理；2、 利用函數(shù)單調(diào)性；3、 利用極值最值.（六） 方程根的討論1、 連續(xù)函數(shù)的介值定理；2、 Rolle定理；3、 函數(shù)的單調(diào)性；4、 極值、最值；5、 凹凸性.（七） 漸近線1、 鉛直漸近線：，那么為一條鉛直漸近線；2、 水平漸近線：，那么為一條水平漸近線；3、 斜漸近線：存在，那么為一條斜 漸近線.（八） 圖形描繪四、 不定積分（一） 概念和性質(zhì)1、 原函數(shù)：在區(qū)間I上，假設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，那么稱為的一個(gè)原函數(shù).2、 不定積分：在區(qū)間I上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為在區(qū)間I上的不定積分.3、 根本積分表P188，13個(gè)公式；4、 性質(zhì)線性性. （二） 換元積分法1

6、、 第一類換元法湊微分：2、 第二類換元法變量代換：（三） 分部積分法：（四） 有理函數(shù)積分 1、“拆； 2、變量代換三角代換、倒代換、根式代換等.五、 定積分（一） 概念與性質(zhì)：1、 定義：2、 性質(zhì)：7條性質(zhì)7 積分中值定理 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么，使 平均值：（二） 微積分根本公式NL公式1、 變上限積分：設(shè)，那么推廣：2、 NL公式：假設(shè)為的一個(gè)原函數(shù)，那么（三） 換元法和分部積分1、 換元法：2、 分部積分法：（四） 反常積分1、 無(wú)窮積分：2、 瑕積分：a為瑕點(diǎn)b為瑕點(diǎn)兩個(gè)重要的反常積分：1) 2) 六、 定積分的應(yīng)用（一） 平面圖形的面積1、 直角坐標(biāo)： 2、 極坐標(biāo)：（二） 體

7、積1、 旋轉(zhuǎn)體體積：a)曲邊梯形軸，繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積： b)曲邊梯形軸，繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積： 柱殼法2、 平行截面面積的立體：（三） 弧長(zhǎng)1、 直角坐標(biāo)：2、 參數(shù)方程：3、 極坐標(biāo)：七、 微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程. 階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).2、 解：使微分方程成為恒等式的函數(shù).通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解.（二） 變量可別離的方程，兩邊積分（三） 齊次型方程，設(shè)，那么；或，設(shè)，那么（四） 一階線性微分方程用常數(shù)變易法或用公式： （五） 可降階的高階微分方程1、，兩邊積分次；2、不顯含有，令，那么；3、不顯含有，令，那么（六） 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)1、是齊次線性方程的解，那么也是；2、是齊次線性方程的線性無(wú)關(guān)的特解，那么是方程的通解；3、為非齊次