導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、yxo)(xfy P相切相交再來一次直線PQ的斜率為xyxxxyyyxxyykPQPQPQ0000)()(PQ無限靠近切線PTxykkxPQxPT00limlim相應(yīng)的 , y=f(x)在點P( x0,f(x0) )處的切線方程為：函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是000 xxxfyy曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處的切線的斜率例1、如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖象。根據(jù)圖象，請描述、比較曲線h(t)在t0,t1,t2附近的變化情況。解：我們用曲線h(t)在t0,t1,t2處的切線， 刻畫曲線h(t)在上述三個時刻附

2、近的 變化情況。(1) 當(dāng)t=t0時,曲線h(t)在t0處的切線l0平行 于x軸. 所以,在t=t0附近曲線比較平坦,幾乎沒有下降. (2) 當(dāng)t=t1時,曲線h(t)在t1處的切線l1的斜率 h(t1)0. 所以,在t=t1附近曲線下降,即函數(shù)h(t)在t=t1附近單調(diào)遞減. (3) 當(dāng)t=t2時,曲線h(t)在t2處的切線l2的斜率 h(t2)0. 所以,在t=t2附近曲線下降,即函數(shù)h(t)在t=t2附近也單調(diào)遞減. 與t2相比,曲線在t1附近下降得緩慢些.例2、如圖，它表示人體血管中藥物濃度c=f(t)(單位：mg/mL)隨時間t(單位：min)變化的函數(shù)圖象。根據(jù)圖象，估計t=0.5

3、,0.8時，血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到0.1)00.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.80.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.8t(min)c(mg/mL)解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化 率，就是藥物濃度f(t)在此時刻的導(dǎo)數(shù)。作t=0.5處的切線,它的斜率約為00) 5 . 0 ( f所以,作t=0.8處的切線,它的斜率約為-1.55 . 1) 8 . 0( f所以,因此在t=0.5和0.8處藥物濃度的瞬時變化率分別為0和-1.5. 求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的方法是： 00 xfxxfyxxfxxfxy00 xyxf

4、x00lim(2)求平均變化率(3)取極限,得導(dǎo)數(shù)(1)求函數(shù)的增量例3、某物體的運動方程為s(t)=5t2（位移單位：m，時間單位：s）求它在 t2s 時的速度.解: 因為22252025)2(5tttstts520從而20)520(limlim)2(00ttsstt所以例4、已知曲線 上一點 求：點P處的切線的斜率； 點P處的的切線方程 331xy 38,2P解: 點P處的切線的斜率即 在x=2處的導(dǎo)數(shù).331xy 323124xxx33231)2(31xf因為23124xxxf從而4)3124(limlim)2(200 xxxffxx所以點P處的的切線方程點P處的切線的斜率是4.)2(4

5、38xy3164 xy即直線練習(xí)1、求曲線 在點M(3,3)處的 切線的斜率及傾斜角xy9斜率為-1,傾斜角為135練習(xí)2、判斷曲線 在（1，-）處 是否有切線，如果有， 求出切線的方程.221xy 12有,切線的方程為21 xy注: 學(xué)了導(dǎo)數(shù)的運算后, 此類題有更簡單的解法.處的導(dǎo)數(shù)在是求函數(shù)00)()(xxxfyxf如果將x0改為x,則求得的是)(xfy被稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù).)(xfy如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每點處都有導(dǎo)數(shù)，此時對于每一個x(a,b)，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù) ，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù) 。稱這個函數(shù) 為函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，也可記作 ，即)(/xf)(/xf)(/xf/y)(/xf/yxxfxxfxyxx)()(limlim00小小 結(jié)結(jié):相應(yīng)的 , y=f(x)在