計算傳熱學數(shù)值模擬

1、1、Jacobi迭代在Jacobi迭代法中任一點上未知值的更新是用上一輪迭代中所獲得的各鄰點之值來計算的，即 k=1,2,.,L1×M1這里帶括號的上角標表示迭代輪數(shù)。所謂一輪是指把求解區(qū)域中每一節(jié)點之值都更新一次的運算環(huán)節(jié)。顯然，采用Jacobi迭代式，迭代前進的方向（又稱掃描方向）并不影響迭代收斂速度。這種迭代法收斂速度很慢，一般較少采用。但對強烈的非線性問題，如果兩個層次的迭代之間未知量的變化過大，容易引起非線性問題迭代的發(fā)散。在規(guī)定每一層次計算的迭代輪次數(shù)的情況下，有利于Jacobi迭代有利于非線性問題迭代的收斂。 2、Gauss-Seidel迭代在這種迭代法中，每一種計算總

2、是取鄰點的最新值來進行。如果每一輪迭代按T的下角標由小到大的方式進行，則可表示為：此時迭代計算進行的方向（即掃描方向）會影響到收斂速度，這是與邊界條件的影響傳入到區(qū)域內(nèi)部的快慢有關(guān)的。3、例題：一矩形薄板幾何尺寸如圖所示，薄板左側(cè)的邊界溫度TL=100K，右側(cè)溫度TR=300K，上側(cè)溫度TT=200K，下側(cè)溫度TB=200K，其余各面絕熱，求板上個節(jié)點的溫度。要求節(jié)點數(shù)目可以變化，寫出程序。解析：列出描述問題的微分方程和定解條件。；對于離散化的問題，其微分方程根據(jù)熱平衡原理得到：定解條件(邊界條件): TL=100K，TR=300K，TT=200K，TB=200K。網(wǎng)格劃分示意圖：如下圖所示，

3、將薄板劃分成(m=n)個網(wǎng)格，求個節(jié)點的溫度分布。內(nèi)部節(jié)點的離散化代數(shù)方程：即邊界節(jié)點的的離散化代數(shù)方程即各節(jié)點的溫度等于對應邊界的溫度，不做贅述。源程序： 采用高斯-賽德爾迭代的程序，如下：m=input('h');n=input('l');t=zeros(m,n);t0=zeros(m,n);dteps=0.01;for i=1:m t(i,1)=200; t(i,n)=200;endfor j=1:n t(1,j)=100; t(m,j)=300;endfor k=1:1000for i=2:m-1 for j=2:n-1 t(i,j)=(t(i-1,j)

4、+t(i+1,j)+t(i,j-1)+t(i,j+1)/4; endenddtmax=0;for i=2:m-1 for j=2:n-1 dtmax=max(abs(t(i,j)-t0(i,j),dtmax); endenddtmaxkt0=t;contour(t',40);pause;if dtmax<dteps break; end end 采用雅克比迭代的程序，如下：m=input('h');n=input('l');t=zeros(m,n);t0=zeros(m,n);dteps=0.01;for i=1:m t(i,1)=200; t(i

5、,n)=200;endfor j=1:n t(1,j)=100; t(m,j)=300;endt0=t;for k=1:1000for i=2:m-1 for j=2:n-1 t(i,j)=(t0(i-1,j)+t0(i+1,j)+t0(i,j-1)+t0(i,j+1)/4; endenddtmax=0;for i=2:m-1 for j=2:n-1 dtmax=max(abs(t(i,j)-t0(i,j),dtmax); endenddtmaxkt0=t;contour(t',40);pause;if dtmax<dteps break; end end兩種方法的收斂速度對比下

6、面是在相同的條件（m=n=20）下利用高斯-賽德爾迭代和雅克比迭代的得到的最終結(jié)果：高斯-賽德爾迭代（只給出最后部分）dtmax = 0.0099k = 250>>雅克比迭代dtmax = 0.0100k = 444>>由此可以看出，高斯-賽德爾迭代的收斂速度要比雅克比迭代的收斂速度快，因此高斯-賽德爾迭代更加優(yōu)越。不同節(jié)點數(shù)對收斂速度的影響我們利用高斯-賽德爾迭代法，在m=n=20和m=n=30兩種不同的條件下計算節(jié)點的溫度，結(jié)果如下：（只給出m=n=30的結(jié)果）dtmax = 0.0099k = 509>>由結(jié)果可見迭代后一種情況迭代次數(shù)是前一種情況的兩

7、倍。收斂速度明顯比前者慢。畫出等溫線圖如下：（m=n=20的情況下利用高斯-賽德爾迭代的結(jié)果） m=n=30的情況下利用雅克比迭代的結(jié)果 計算小結(jié)數(shù)值計算是傳熱學比較重要的研究方法之一。利用數(shù)值計算可以將復雜的解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為解代數(shù)方程的問題，而解代數(shù)方程的問題相對比較簡單，完全可以在計算機上實現(xiàn)。將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，我們利用網(wǎng)格劃分的方法將所研究的物理現(xiàn)象發(fā)生的區(qū)域離散化，將求所有點參數(shù)的問題，轉(zhuǎn)化為求有限節(jié)點的問題，這樣就可以使問題簡單化。對于上述上述問題我們可以用行立式解代數(shù)方程，對于節(jié)點數(shù)目較少的情況，這種方法比較方便，但節(jié)點數(shù)目較多時，行立式很難列出來，因此此法就行不通了，迭代法就相對方便的多了。迭代法包括高斯-賽德爾迭代和雅克比迭代。前者在計算時，、的值全部為新值，即剛剛被迭代得到的值，而后者則利用的是、上一次迭代得到的值。比較而言，同等條件下高斯-賽德爾迭代的收斂速度更快，因此，也根據(jù)有優(yōu)越性，因此我們往往都用這種迭代法進行數(shù)值計算分析。當節(jié)點的數(shù)目變化時，收斂的速度也隨之而變，節(jié)點數(shù)目