高中數(shù)學(xué)探究性試題匯編

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學(xué)探究性試題匯編（2）28、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）是否存在正整數(shù)，使不等式對(duì)所有正整數(shù)均成立，并證明你的結(jié)論。解：（1）2 2（2分）（4分）又 （6分）（8分）下面用數(shù)學(xué)歸納證明不等式 該不等式顯然成立當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立綜上（1）、（2）對(duì)任意命題都成立29已知平面上一定點(diǎn)C（4，0）和一定直線為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作，垂足為Q，且（ （1）問(wèn)點(diǎn)P在什么曲線上？并求出該曲線的方程； （2）設(shè)直線與（1）中的曲線交于不同的兩點(diǎn)A、B，是否存在實(shí)數(shù)k，使 得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，2）？若存在，求出k的值，若不

2、存在， 說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)P的坐標(biāo)為，由得（2分） （化簡(jiǎn)得 P點(diǎn)在雙曲線上，其方程為（2）設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，由 得，AB與雙曲線交于兩點(diǎn)，0，即解得（9分）若以AB為直徑的圓過(guò)D（0，2），則ADBD，即，解得，故存在k值，所求k值為.30已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（）求k的值；（）求；（）是否存在正整數(shù)使成立？若存在求出這樣的正整數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由解：（I） 又2分（）由（I）知 當(dāng)時(shí)， ，得4分又，易見(jiàn)于是是等比數(shù)列，公比為，所以6分（）不等式，即整理得8分假設(shè)存在正整數(shù)使得上面的不等式成立，由于2n為偶數(shù)，為整數(shù)，則只能是10分因此，存在正整數(shù)1231在平面直角坐標(biāo)系中，為坐

3、標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)、，若點(diǎn)滿足（），點(diǎn)的軌跡與拋物線：交于 、兩點(diǎn).（）求證：；（）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)直線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，并以該弦DE為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn)。若存在，請(qǐng)求出的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：1）解：由（）知點(diǎn)的軌跡是、兩點(diǎn)所在的直線，故 點(diǎn)的軌跡方程是：即 .2分由 故 . 6分 2）解：存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn) 由題意知：弦所在的直線的斜率不為零 7分故 設(shè)弦所在的直線方程為： 代入 得 故以為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn) .10分設(shè)弦的中點(diǎn)為 則 弦的中點(diǎn)的軌跡方程為： 消去得 . 14分32設(shè)函數(shù)R.（I）求函數(shù)的最值；（）

4、給出定理：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在.運(yùn)用上述定理判斷，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn).解：（I）令2分由知f（x）無(wú)最大值.6分（）函數(shù)f（x）在m，2m上連續(xù).上遞增.8分由10分又根據(jù)定理，可判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m）上存在零點(diǎn).12分33已知數(shù)列an有a1=a，a2=p (常數(shù)p0)，對(duì)任意的正整數(shù)n，Sn=a1+a2+an，并有Sn滿足。 (1) 求a的值； (2) 試確定數(shù)列an是否是等差數(shù)列，若是，求出其通項(xiàng)公式，若不是，說(shuō)明理由； (3) 對(duì)于數(shù)列bn，假如存在一個(gè)常數(shù)b使得對(duì)任意的正整數(shù)n都有bn0，可得由于 不妨設(shè) 由和可得 利用

5、比例性質(zhì)得 即 （13分）由于上的恒正增函數(shù)，且 又由于 上的恒正減函數(shù)，且 這與（*）式矛盾。因此滿足條件的正數(shù)k不存在 （14分）41數(shù)列，是否存在常數(shù)、，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在，求出、的值，若不存在，說(shuō)明理由。設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，. 解:設(shè) ， 即 (2分) 故 (4分) (5分)又 (6分)故存在是等比數(shù)列 (7分)證明：由得 ，故 (8分) (9分) （11分）現(xiàn)證.當(dāng)，故時(shí)不等式成立 （12分）當(dāng)?shù)茫矣桑?（14分）42已知函數(shù)（a為常數(shù)）.（1）如果對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)實(shí)數(shù)滿足：中的某一個(gè)數(shù)恰好等于a，且另兩個(gè)恰為方程 的兩實(shí)根，判斷，是否為定值？若是定值

6、請(qǐng)求出：若不是定值，請(qǐng)把不是定值的表示為函數(shù)，并求的最小值；（3）對(duì)于（2）中的，設(shè)，數(shù)列滿足 ，且，試判斷與的大小，并證明.解：（1）對(duì)恒成立，又恒成立，對(duì)恒成立，又，（2）由得：，不妨設(shè)，則q，r恰為方程兩根，由韋達(dá)定理得：而 設(shè)，求導(dǎo)得：當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，在上的最小值為（3）如果，則在為遞增函數(shù)，又43設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意nN+，都有，記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和. （1）求證：=2Snan； （2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （3）若（為非零常數(shù)，nN+），問(wèn)是否存在整數(shù)，使得對(duì)任意 nN+，都有bn+1bn.解：（1）在已知式中，當(dāng)n=1時(shí)， a10 a1=

7、11分 當(dāng)n2時(shí)， 得，3分 an0 =2a1+2a2+2an1+an， 即=2Snan a1=1適合上式 =2Snan(nN+)5分 （2）由（1）知=2Snan(N+) 當(dāng)n2時(shí)， =2Sn1an1 得=2(SnSn1)an+an1=2anan+ an1= an+ an1 an+an10 anan1=18分?jǐn)?shù)列an是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，可得an=n9分 （3） 11分當(dāng)n=2k1，k=1，2，3，時(shí)，式即為 依題意，式對(duì)k=1，2，3都成立，bn44設(shè)關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)根、，且.定義函數(shù)（）求的值；（）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并加以證明；（）若為正實(shí)數(shù)，證明不等式：（）解：是方程

8、的兩個(gè)實(shí)根 同理 3分（） 4分 當(dāng)時(shí)， 5分而在上為增函數(shù) 7分（）且 9分 由（）可知 同理可得 10分 12分 又由（）知 所以 45已知數(shù)列a n前n項(xiàng)的和為S n，前n項(xiàng)的積為，且滿足。求； 求證：數(shù)列a n是等比數(shù)列；是否存在常數(shù)a，使得對(duì)都成立？ 若存在，求出a，若不存在，說(shuō)明理由。解、；46已知集合，。 （1）判斷與的關(guān)系，并說(shuō)明理由； （2）中的元素是否都是周期函數(shù)，證明你的結(jié)論；（3）中的元素是否都是奇函數(shù)，證明你的結(jié)論。解（1）= 6分（2）因是周期為6的周期函數(shù)，猜測(cè)也是周期為6的周期函數(shù) 由，得， ， ， ，得證是周期為6的周期函數(shù)，故中的元素都是周期為6的周期函數(shù)。

9、12分（3）令，可證得16分 ，但是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)， 中的元素不都是奇函數(shù)。 47設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng) 時(shí)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)R，有 成立 數(shù)列滿足，且(N) （1）證明在R上為減函數(shù)；（2）求的值；（3）若不等式對(duì)一切N均成立，求的最大值解:(1)令,，得,故 當(dāng)時(shí),進(jìn)而得 設(shè)R，且,則, 故,函數(shù)在R上是單調(diào)遞減函數(shù) （2）由,得 故,(N)因此,是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列 由此得, (3) 由恒成立,知恒成立 設(shè),則,且 又,即,故為關(guān)于的單調(diào)增函數(shù), 所以,即的最大值為48已知函數(shù)(1) 若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2) 若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值總有以下

10、不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.試判斷當(dāng)時(shí)，是否為“凹函數(shù)”，并對(duì)你的判斷加以證明. 解：（）由，得 2分欲使函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù)，則在上恒成立，即不等式在上恒成立.也即在上恒成立.4分令，上述問(wèn)題等價(jià)于，而為在上的減函數(shù)，則，于是為所求. 6分（）證明：由 得 7分 8分 而 10分 又， 11分 ， 13分由、得即，從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù). 14分49設(shè)函數(shù)的定義域與值域均為R，的反函數(shù)為，定義數(shù)列中，。若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，均有+=2.5x，求證：，。設(shè)，求的通項(xiàng)公式。若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，均有+2.5x，是否存在常數(shù)A、B同時(shí)滿足：當(dāng)n=0.or.n=1時(shí)，有成立；當(dāng)n=2、3、4、，時(shí)，成立。如果存在，求出A、B的值；如果不存在，說(shuō)明理由。解：（1）由，又在等式+=2.5x中令，從而有（1）成立。又及（1）式有：，所以，。（2）由n=0.or.n=1時(shí)，有成立，可求得A=B=4,由對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，均有+2.5x,可得（2）下面利用（2）和A=B=4，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=2、3、4、，時(shí)，成立即可，證明過(guò)程容易，略去。所以存在實(shí)數(shù)A=B=4，使結(jié)論成立。50已知橢圓的右準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離