解決含參數(shù)不等式的恒成立問題的基本方法

1、解決“含參數(shù)不等式的恒成立”問題的基本方法天津四中 李 暉“含參數(shù)不等式的恒成立”的問題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，它往往以函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何為載體具有一定的綜合性，解決這類問題，主要是運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：即一般的，若函數(shù)在定義域?yàn)镈，則當(dāng)xD時(shí)，有恒成立；恒成立.因而,含參數(shù)不等式的恒成立問題常根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù),等價(jià)轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)的最值討論.例一 已知函數(shù).求的反函數(shù);若不等式對(duì)于恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析：本題的第二問將不等式轉(zhuǎn)化成為關(guān)于t的一次函數(shù)在恒成立的問題. 那么，怎樣完成這個(gè)轉(zhuǎn)化呢？轉(zhuǎn)化之后又應(yīng)當(dāng)如何處理呢？【解析】 略解由題設(shè)有,即對(duì)于恒

2、成立. 顯然,a-1令,由可知?jiǎng)t對(duì)于恒成立. 由于是關(guān)于t的一次函數(shù).（在的條件下表示一條線段，只要線段的兩個(gè)端點(diǎn)在x軸上方就可以保證恒成立）例二 定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析: 利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性去掉映射符號(hào)f，將“抽象函數(shù)”問題轉(zhuǎn)化為常見的含參的二次函數(shù)在區(qū)間(0，1)上恒為正的問題.而對(duì)于0在給定區(qū)間a，b上恒成立問題可以轉(zhuǎn)化成為在a，b上的最小值問題，若中含有參數(shù)，則要求對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論。【解析】由得到：t=mtg(t)o·1圖1因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故有恒成立，又因?yàn)闉镽減函數(shù)，從而有對(duì)恒成立t=mtg(t)o·1

3、圖2設(shè)，則對(duì)于恒成立，在設(shè)函數(shù),對(duì)稱軸為.當(dāng)時(shí)，即，又t=mtg(t)o·1圖3(如圖1)當(dāng)，即時(shí),即,又,(如圖2)當(dāng)時(shí)，恒成立.(如圖3)故由可知：.例三 定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對(duì)任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)若對(duì)任意xR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍分析: 問題(1)欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對(duì)任意x都有f(-x)=-f(x)成立在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)

4、=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明問題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)f(x)是奇函數(shù)且在xR上是增函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+20對(duì)于任意t0恒成立對(duì)二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解【解析】(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)對(duì)任意xR成立，所以f(x)是奇函數(shù)(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)

5、在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)，即對(duì)于任意恒成立.令t=30，問題等價(jià)于對(duì)于任意恒成立.令,其對(duì)稱軸為直線當(dāng),即時(shí),恒成立,符合題意,故;當(dāng)時(shí),對(duì)于任意,恒成立，解得綜上所述,當(dāng)時(shí),對(duì)于任意恒成立.本題還可以應(yīng)用分離系數(shù)法,這種解法更簡(jiǎn)捷.分離系數(shù),由得.由于,所以,故,即u的最小值為.要使對(duì)于不等式恒成立,只要說明: 上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解，簡(jiǎn)捷、新穎例四 已知向量=(，x+1)，= (1-x，t)。若函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。（2005年湖北卷第17題）分析：利用導(dǎo)數(shù)將“函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“在（-1，1）上恒成立”的問題，即轉(zhuǎn)化成為“二次函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上恒成立” ，利用分離系數(shù)法將t分離出來，通過討論最值來解出t的取值范圍?！窘馕觥恳蓝x。則，·ox·1·-1y·g(x)若在（-1，1）上是增函數(shù)，則在（-1，1）上可設(shè)恒成立。在（-1，1）上恒成立?？紤]函數(shù)，（如圖4）由于的圖象是對(duì)稱軸為，開口向上的拋物線，圖4故要使在（-1，1）上恒成立，即。而當(dāng)時(shí)，在（-1，1）上滿足>0，即在（-1，1