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1、角平分線的輔助線做法角平分線的輔助線做法常見的有三種:利用角分線易構(gòu)成全等三角形沿角分線,碰直角構(gòu)等腰做平行線,構(gòu)等腰。一、利用角分線易構(gòu)成全等三角形(SAS)該方法常見有兩種情況,一是在角兩邊截取相等的線段,利用SAS構(gòu)成全等三角形,另一種是利用角分線上一點(diǎn)向角兩邊做垂線構(gòu)成全等三角形。例1:如圖,BD是四邊形ABCD中ABC的平分線,AB>BC,AC180°,求證:DACDABCD提示:該題目可運(yùn)用兩種情況中的任何一種同類型拷貝:如圖在四邊形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分ABC求證:.ADBC例2:已知:如圖1-3,AB=2AC,BAD=CAD,DA=D
2、B,求證DCAC同類型拷貝:已知,如圖,C=2A,AC=2BC。求證:ABC是直角三角形。CAB例3 如圖,ABC中,AD是A的平分線,EDFBAF=180°,求證:DE=DF. 提示:過D做角兩邊的垂線。同類型拷貝: 如圖,已知AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。求證:ADC+B=180 例4:已知:如圖1-4,在ABC中,C=2B,AD平分BAC,求證:AB-AC=CD_A_B_C_D_E同類型拷貝: 已知:如圖在ABC中,A=90°,AB=AC,BD是ABC的平分線,求證:BC=AB+ADABCD例5 已知:如圖2-7,在RtABC中,ACB=9
3、0 ,CDAB,垂足為D,AE平分CAB交CD于F,過F作FH/AB交BC于H。求證CF=BH。例6:三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),你知道這是為什么嗎? 分析:我們知道兩條直線是交于一點(diǎn)的,因此可以想辦法證明第三條角平分線通過前兩條角平分線的交點(diǎn) 已知:如圖,ABC的角平分線AD與BE交于點(diǎn)I,求證:點(diǎn)I在ACB的平分線上 證明:過點(diǎn)I作IHAB、IGAC、IFBC,垂足分別是點(diǎn)H、G、F 點(diǎn)I在BAC的角平分線AD上,且IHAB、IGAC IH=IG(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等) 同理 IH=IF IG=IF(等量代換) 又IGAC、IFBC 點(diǎn)I在ACB的平分線上(到一個角
4、的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個角的平分線上).即:三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)同類型拷貝:【例2】已知:如圖,PA、PC分別是ABC外角MAC和NCA的平分線,它們交于點(diǎn)P,PDBM于D,PFBN于F求證:BP為MBN的平分線 二、沿角分線,碰直角構(gòu)等腰例1 已知:如圖3-1,BAD=DAC,AB>AC,CDAD于D,H是BC中點(diǎn)。求證:DH=(AB-AC)。例2 已知:如圖3-2,AB=AC,BAC=90 ,BD為ABC的平分線,CEBE.求證:BD=2CE。同類型拷貝: 如圖,已知ABC中,CE平分ACB,且AECE,AEDCAE180度,求證:DEBCACDEB例3已知:如
5、圖3-3在ABC中,AD、AE分別BAC的內(nèi)、外角平分線,過頂點(diǎn)B作BFAD,交AD的延長線于F,連結(jié)FC并延長交AE于M。求證:AM=ME。提示:由AD、AE是BAC內(nèi)外角平分線,可得EAAF,從而有BF/AE,所以想到利用比例線段證相等。例4 已知:如圖3-4,在ABC中,AD平分BAC,AD=AB,CMAD交AD延長線于M。求證:AM=(AB+AC)分析:題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對稱變換,作ABD關(guān)于AD的對稱AED,然后只需證DM=EC,另外由求證的結(jié)果AM=(AB+AC),即2AM=AB+AC,也可嘗試作ACM關(guān)于CM的對稱FCM,然后只需證DF=CF即可。例5
6、如圖,B=C=90°,M是BC上一點(diǎn),且DM平分ADC,AM平分DAB求證:AD=CD+AB三、 以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時,常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線,從而構(gòu)造等腰三角形?;蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交,從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。 四:習(xí)題1、如圖,在四邊形ABCD中,AC平分BAD,ADCABC180度,CEAD于E,猜想AD、AE、AB之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想,EBACD2如圖,ABCD中,E是DC上一點(diǎn),F(xiàn)是AD上一點(diǎn),AE交CF于點(diǎn)O,且AE=CF.求證:OB平分.DECBO
7、FA提示:ABE的面積=BFC的面積。3已知CE、AD是ABC的角平分線,B=60°,求證:AC=AE+CDAEBDC4.如圖1-2,AB/CD,BE平分BCD,CE平分BCD,點(diǎn)E在AD上,求證:BC=AB+CD。5.如圖,AB>AC, 1=2,求證:ABAC>BDCD。12ACDB6.已知:四邊形ABCD中,ABCD,1=2,3=4,求證:BC=ABCDABCDE12347.已知:如圖2-6,在正方形ABCD中,E為CD 的中點(diǎn),F(xiàn)為BC 上的點(diǎn),F(xiàn)AE=DAE。求證:AF=AD+CF。8.已知:在ABC中,CAB=2B,AE平分CAB交BC于E,AB=2AC,求證:AE=2CE9.已知:D是ABC的BAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn),連接DB、DC。求證:BD+CD>AB+AC。10如圖2-4AOP=BOP=15 ,PC/OA,PDOA, 如果PC=4,則PD=( )A 4 B 3 C 2 D 111已知:如圖 BAC=CAD,AB>AD,CEAB,AE=(AB+AD).求證:D+B=180012 已知:
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