第二章分離變量法22,23_第1頁
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文檔簡介

1、§2.2 有限桿上的熱傳導定解問題：一均勻細桿，長為，兩端坐標為。桿的側面絕熱，且在端點處溫度為零，而在處桿的熱量自由發(fā)散到周圍溫度為0的介質中。初始溫度為，求桿上的溫度變化情況，即考慮下定解問題：仍用分離變量法求解。此定解問題的邊界條件為第三類邊界條件。類似§2.1中步驟，設，代入上面的方程可得從而可得通解由邊界條件知從而令 上方程的解可以看作曲線，交點的橫坐標，顯然他們有無窮多個，于是方程有無窮多個根。用下符號表示其無窮多個正根于是得到特征值問題的無窮個特征值及相應的特征函數(shù)再由方程， 可得，從而我們得到滿足邊界條件的一組特解由于方程和邊界條件是齊次的，所以仍滿足此方程

2、和邊界條件。下面研究一下其是否滿足初始條件。可以證明在區(qū)域0,l上具有正交性，即證明：完成。令于是，從而得到定解問題得解。§2.3 圓域內(nèi)的二維Laplace方程的定解問題平面極坐標和直角坐標的關系是由此可得即是由復合函數(shù)求導法則，可得進一步，可得在此基礎上，還可以得到柱坐標系下的Laplace算符考慮圓域內(nèi)的穩(wěn)定問題：其在極坐標下的表示形式：因圓域內(nèi)溫度不可能為無限，尤其是在圓盤中心點的溫度應該有限，并且表示同一點，故而我們有下約束下面用分離變量法求解該問題。令 代入極坐標下方程可得：從而可得常微分方程由有限性及周期邊界條件知，從而得定解問題求解： 時，通解為由周期邊界條件可得 從而，不可取。時，通解為由周期邊界條件可得 B任意，說明為一特征值，相應得特征函數(shù)為。時，通解為因以為周期，所以有 從而可得特征值特征函數(shù)為接下來，求特解，并疊加出一般解。由Euler方程若令，即，則上方程可寫為故 時，通解時，通解為為保證，所以可得，即從而，滿足齊次方程和周期條件及有限性的解可以表示為級數(shù)最后，為了確定系數(shù)，我們利用邊界條件可得運用性質從而可得因而，我們有利用下面的求和公式所以，稱此表達式為圓域內(nèi)的Poisson公式，它的作用是

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