三角恒等式證明9種基本技巧

1、三角恒等式證明9種基本技巧三角恒等式的證明是三角函數(shù)中一類重要問題，這類問題主要以無條件和有條件恒等式出現(xiàn)。根據(jù)恒等式的特點，可采用各種不同的方法技巧，技巧常從以下各個方面表示出來。1 .化角觀察條件及目標式中角度間聯(lián)系，立足于消除角間存在的差異，或改變角的表達形式以便更好地溝通條件與結論使之統(tǒng)一，或有利于公式的運用，化角是證明三角恒等式時一種常用技巧。例1求證:tan 3x - tan1 2sin xx =2 cosx cos2x思路分析：本題的關鍵是角度關系:31x= x - x，可作以下證明:2 22化函數(shù)三角函數(shù)中有幾組重要公式，它們不僅揭示了角間的關系，同時揭示了函數(shù)間的相互關系，三

2、角 變換中，以觀察函數(shù)名稱的差異為主觀點，以化異為為同（如化切為弦等）的思路，恰當選用公式， 這也是證明三角恒等式的一種基本技巧。tan(A B) + sin2 Ctan A sin2 A=1,求證:tanA、tanC、tanB順次成等比數(shù)列。思路分析：欲證tan 2C = tanA tanB ,將條件中的弦化切是關鍵。3 .化冪應用升、降幕公式作幕的轉化，以便更好地選用公式對面臨的問題實行變換，這也是三角恒等式 證明的一種技巧。例 3 求證 cos4 a -4cos2 a +3=8sin 4 a思路分析：應用降幕公式，從右證到左：4. 化常數(shù)將已知或目標中的常數(shù)化為特殊角的函數(shù)值以適應求征需

3、要，這方面的例子效多。女口1=sin 2 a +COS2 a =SeC? a -tan 2 a =CSC2 a -cot 2 a =tan a cot a =sin a CSC a =COS a Sec a ， 仁tan45°=sin90 °=cosO°等等。如何對常數(shù)實行變換，這需要對具體問題作具體分析。例4求證1 2 Si n cos 1 tan2 2 =- cos sin 1 tan思路分析：將左式分子中“ 1 ”用“ Sin 2a +cos2 a”代替，問題便迎刃而解。5. 化參數(shù)用代入、加減、乘除及三角公式消去參數(shù)的方法同樣在證明恒等式時用到。2 2 2

4、 2 2 2 2 2例 5 已知 acos a +bs in a =mcos 3, as in a +bcos a =nsin 3, mta n a =ntan 3 ( 3 n n ) 求證：(a+b)(m+n)=2mn6. 化比一些附有積或商形式的條件三角恒等式證明問題，?？煽紤]應用比例的有關定理。用等比定理，合、分比定理對條件加以變換，或順推出結論，或簡化條件，常?？梢詾榻忸}帶來方便。2 2I2例 6 已知(1+ cos a )(1-cos 3 )=1- ( 豐 0, 1)。求證：tan = tan 2 1 21思路分析：綜觀條件與結論，可考慮從條件中將分離出來，以結論中1一為向導，應用合

5、比定理1即可達到論證之目的。7化結構觀察等式左右結構上的差異，立足于統(tǒng)一結構形式也是三角恒等式的一種技巧。例7設A+B+Cn，求證:sin A+si nB+si nC=4cosABC一 cos cos 一2 2 2思路分析：這里等式左右分別為和積的形式，現(xiàn)將左邊化成積。&化拆項這一類恒等式可與數(shù)學求和結合起來，常拆項相消法。n 1 n cos xsin x 例 8 求 cosx+cos2x+ +cosnx=22.x sin 2思路分析：左邊同乘以sin -,去括號，積化和差可得29.數(shù)學歸納法與自然數(shù)有關的命題，還可以用數(shù)學歸納法解決。上述例題可用數(shù)學歸納法證明。三角恒等式的證明【考點

6、回顧】1 三角公式在恒等變形中的應用；2. 常規(guī)恒等變形方法、定義法、分析法、綜合法、比較法、切割化弦等方法.例 1.求證：3 tanA 60)tanA 60) tanAtanA 60) tanAtanA 60) 0.1例2 .求證：2 coscos2cos3cos ncos n cos(n 1)2(1 cos )cossin2(cossin )例3.求證：1 sin1 cos1 sincos【基礎訓練】(sina +tan a )(cosa +cot a )=(1+sina )(1+C0S a ).222. 求證：(1 tan a )=(cos a -cot a )(sec a +1tan

7、a ).3. 求證：si n3sin 2 2 sin21sin 14. 求證：tan 13 x tan8 x tan5 x = tan 13 xtan8 xtan5 x.【拓展練習】1 .條件甲：3sin a cos( a + 3 )=sin(2 a + 3 )，條件乙：tan( a + 3 )=2tan a ,則甲是乙的( )A.充分條件B.必要條件24 cos( )2.等于cottan2 2A1.A.sin cos2B. sin2 a3.已知a、3均為銳角，且sin- sin(2A.a > 3B.a < 34.求證:C.充要條件D.即不充分也不必要條件C. sin2 a1 D.

8、sin 216),則a、3的大小關系是()C.a<3D.a與3的大小不確定tan 5x tan 3xcos2x cos4x4(tan5x tan 3x).5.求證：(cscA+cotA)(1 si nA) (secA+ta nA)(1-cosA)=(cscA secA)2 (1 cosA)(1 sin A).6.求證:1 secx tan x 1 sin x1 secx tan xcosx7.求證： cot cot 2 cot 42 2 cos2 3cos4sin 48 8& 求證：cossincos21sin 4 sin 2a.49.求證：tantan 2 2；tan4A co

9、t2n 12n12cot210.求證：（1） cosCn cos 2Cn cos 3nn nCn cos( n 1)2 cosn 2 cos 2 2(2)sinC，1 sin2C3 sin3Cn sin(n 1)2ncosn-si n 口2 211.在矩形ABCD中,P為時間線BD上一點,API BD PE丄 BC，PF丄 DC.2求證：（H）32PF -(-PF)3 1.BD三角恒等式證明答案2si n(3x 11.右式=222cosxcosx2 231x) sin xcos-x223. 1cos xsin x2 231cos xcosx2231=tan x - tan x。222.sin

10、2C=ta n2 C21 tan Csin 2A=tan2 A1 tan2 Asin2 Csin2 Atan2C(1 tan2 A) tan2 A(1 tan2 C)由已知可得2 2sin C _ tan(A B) _ tan B(1 tan A)2 1- ，2tan C = tan B tan A21 tan C 1 tan Atan Bsin Ata nAtan A(1 tan Ata nB)tan B(1 tan2 A) = tan2 C(1 tan2 A) tanA(1 tan Ata nB) tan2 A(1 tan2C)2 _ .即tan C = tanA tanB 命題成立。3思

11、路分析：應用降幕公式，從右證到左:右邊=8( 1_)2=2(1-2cos2 a +cos22 a )= 2(1-2cos2 a +1)=COS4 a -4cos2 a +3=左邊。24思路分析：將左式分子中“ 1”用"sin 2 a +cos2a ”代替，問題便迎刃而解。左邊=(sn cos )2(cos sin )(cos sin )(sin cos ) _ 1 tancos sin=右邊tan5.思路分析：消去參數(shù)，當m=0時，由mtan2 a =ntan23得n=0，顯然成立。當 mr 0時,只須消去2222a、3 即可。由 acos a +bs in a =mcos 3, a

12、sin a +bcos=nsin 2 3 得22asinbcos22acosbsin= tan 2 3 , 再由 mtan2 a =ntan 2 m2 2a sin bcos 丄 2 =ta n2 2a cos bsina即可得ata n2 b 22=tan aa bta n2解得 tan 2 a =1,所以 sin 2 a =cos2a2求得 cos2 3 = _b ,2msin 23 =，又由 cos2 3 +sin23 =1 不得。電丄+邑丄=1 ,2n2n2m即(a+b)(m+n)=2mn6思路分析：綜觀條件與結論,可考慮從條件中將分離出來，以結論中11一為向導，應用合比1定理即可達到

13、論證之目的。由已知得 1+ cos a2cos 3 - cos a cos 32 2=1-, (cos a cos 3-1)= (COS a -COS 3 )，-coscos依合分比定理得cos cos 1cos cos cos cos 1 = (1 cos )(cos cos cos 1 cos cos (1 cos )(cos4cos2 sin21) 4cos2sin2 2 222212=ta n cot tan = tan 2 2 2 1 27.思路分析：這里等式左右分別為和積的形式，現(xiàn)將左邊化成積。A+B+C= nsinC=sinn -(A+B)=sin(A+B)左邊=2sinBcosAB + si n(