二重積分概念

1、二重積分概念第一頁，共28頁。三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì) 第一節(jié)一、引例一、引例 二、二重積分的定義與可積性二、二重積分的定義與可積性 四、曲頂柱體體積的計(jì)算四、曲頂柱體體積的計(jì)算 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二重積分的概念與性質(zhì) 第九章 第二頁，共28頁。解法解法: 類似定積分解決問題的思想:一、引例一、引例1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:0),(yxfz底：底： xoy 面上的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫簜?cè)面：以 D 的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” D),(yxfz 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

2、 返回 結(jié)束 第三頁，共28頁。D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個(gè)區(qū)域n,21以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個(gè)2)“常代變”在每個(gè)k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體k),(kk機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四頁，共28頁。4)“取極限”的直徑為定義kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五頁，共28頁。2. 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量 有一個(gè)平

3、面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,),(Cyx計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .度為),(),(常數(shù)若yx設(shè)D 的面積為 ,則M若),(yx非常數(shù) ,仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個(gè)小區(qū)域,21n相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .D機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yx第六頁，共28頁。2)“常代變”中任取一點(diǎn)k在每個(gè)),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取極限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk則第 k 小塊的質(zhì)量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

4、束 yx第七頁，共28頁。兩個(gè)問題的共性共性：(1) 解決問題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小, 常代變, 近似和,取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第八頁，共28頁。二、二重積分的定義及可積性二、二重積分的定義及可積性定義定義:),(yxf設(shè)將區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域),2,1(nkk任取一點(diǎn),),(kkk若存在一個(gè)常數(shù) I , 使nkkkkfI10),(lim可積可積 , ),(yxf則稱Dyxfd),(),(yxfI為稱在D上的二重積分二重積分.稱為積分變量yx,積分

5、和Dyxfd),(積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九頁，共28頁。DyxfVd),(引例1中曲頂柱體體積:DyxMd),(引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果 在D上可積,),(yxf也常d,ddyx二重積分記作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 這時(shí)分區(qū)域D , 因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃 記作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十頁，共28頁。二重積分存在定理二重積分存在定理:若函數(shù)),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在則Dyxf),(證明略)定理1.

6、在D上可積可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在D :10 x10 y上二重積分存在 ;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重積分不存在 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十一頁，共28頁。三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)Dyxfkd ),(. 1( k 為常數(shù))Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d ),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 為D 的面積, 則 ),(2121無公共內(nèi)點(diǎn)DDDDDDyxfkd),

7、(DDyxgyxfd),(d),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十二頁，共28頁。特別, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(則Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 設(shè)),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面積為 ,MyxfmDd),(則有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十三頁，共28頁。7.(二重積分的中值定理),(yxf設(shè)函數(shù),),(D),(),(fdyxfD證證: 由性質(zhì)6 可知,MyxfmDd),(1由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxf

8、D在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十四頁，共28頁。例例1. 比較下列積分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 積分域 D 的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它與 x 軸交于點(diǎn) (1,0) ,.1相切與直線 yx而域 D 位, 1 yx從而d)(d)(32DDyxyx于直線的上方, 故在 D 上 1y2xo1D機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十五頁，共28頁。例例2. 判斷積分yxyxyxdd1432222的正負(fù)號.解解: 分積分域?yàn)?321DDD則原

9、式 =yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11Dyxo0)21 (3猜想結(jié)果為負(fù) 但不好估計(jì) .舍去此項(xiàng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十六頁，共28頁。例例3. 估計(jì)下列積分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面積為200)210(2由于yx22coscos1001積分性質(zhì)5100200I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十七頁，共28頁。xyo D8. 設(shè)函數(shù)),(yxfD 位于 x 軸

10、上方的部分為D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在閉區(qū)域上連續(xù), 域D 關(guān)于x 軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有1:,221 yxDD 為圓域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十八頁，共28頁。xbad 四、曲頂柱體體積的計(jì)算四、曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲頂柱體體積

11、為DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十九頁，共28頁。ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十頁，共28頁。例例4. 求兩個(gè)底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積.xyzRRo解解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,2

12、22Ryx利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十一頁，共28頁。內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 二重積分的定義Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十二頁，共28頁。被積函數(shù)相同, 且非負(fù), 思考與練習(xí)思考與練習(xí)yxyxIyxdd1122yxy

13、xIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它們的積分域范圍可知312III11xyo1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十三頁，共28頁。2. 設(shè)D 是第二象限的一個(gè)有界閉域 , 且 0 y 1, 則,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小順序?yàn)?( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故;212yyyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyo x1D機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十四頁，共28頁。3. 計(jì)算.dd)(sin2

14、200yxyxI解解:)cos(yx0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十五頁，共28頁。4. 證明:, 2d)cossin(122Dyx其中D 為.10, 10yx解解: 利用題中 x , y 位置的對稱性, 有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又 D 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .yox1D1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十六頁，共28頁。 P78 2，4，5 P