巧用導數(shù)知識

1、巧用導數(shù)知識，妙解參數(shù)問題廈門市禾山中學林日平導數(shù)，作為解決與高次函數(shù)有關問題的一種工具，有著無可比擬的優(yōu)越性。也越來越受到高考命題專家的“青睞”。其中，利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍，更是成為近年來高考的熱 點。，甚至很多省份都安排在倒數(shù)第一、二題的位置上！現(xiàn)以近幾年的高考題為例，探討一下用導數(shù)求參數(shù)范圍的幾種常見題型及求解策略。策略一：分離變量法所謂分離變量法，是通過將兩個變量構(gòu)成的不等式(方程)變形到不等號(等號)兩端，使兩端變量各自相同，解決有關不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中參數(shù)取值范 圍的一種方法兩個變量，其中一個范圍已知，另一個范圍未知解決問題的關鍵：分離變量之后將問題轉(zhuǎn)化

2、為求函數(shù)的最值或值域的問題分離變量后，對于不同問題我們有不同的理論依據(jù)可以遵循以下結(jié)論均為已知 x的范圍，求a的范圍：結(jié)論一、不等式f(x)_g(a)恒成立二lf(x)lmi_g(a)(求解f(x)的最小值)；不等式f (x)乞g(a)恒成立=If (x) max乞g(a)(求解f (x)的最大值).結(jié)論二、不等式f(x)Xg(a)存在解二f (x)】max蘭g(a)(求解f (x)的最大值)；不等式f(x)蘭g(a)存在解二f(x)】.蘭g(a)(即求解f(x)的最小值).結(jié)論三、方程f(x)二g(a)有解=g(a)的范圍二f (x)的值域(求解f (x)的值域)3案例1、( 2009福建卷

3、)若曲線 f(x)=axlnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù) a取值范圍是.1分析：f (x) = 2ax (x 0)x1 1依題意方程2ax 0在0內(nèi)有解，即a2(x0)= a (：,0)x2x案例2、( 2008湖北卷)若 f(X)二1 2 :2 x bln(x 2)在(-1,+ :)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是()A. -1,二)B.(-1,二)C.(：，-1 D.(-二，-1)分析：由題意可知f (x)二+ b -xx 2-0,在X，上恒成立，即 b < x(x 2) =(x -1)2 -1 在 x 三(-1, ：)上恒成立，由于 x = -1，所以 b< -1 ,x R有大

4、于零的極值點,案例3、(2008廣東卷)設a三R，若函數(shù)y = eax亠3x ,則( )A. a-3分析:f '(x)二 3 - aeax,若函數(shù)在x R上有大于零的極值點,即 f '(x)=3 aeax =0 有正13根。當有f '(x) =3 - aeax =0成立時，顯然有a 0,此時x ln(),aa案例4、(2008江蘇卷)設函數(shù) f (x) = ax' -3x 1(x R)，若對于任意的x1,1】都有f(x)_0成立，則實數(shù)a的值為 解：當x=0，則不論a取何值，f x _0顯然成立；331當 0：x=1 時，f (x)二 ax33x 1 _ 0 可

5、化為，a 3x x3 1 -2x4，x31,令 g x 23，則 g' x =xx所以g x在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，在區(qū)間2-,1上單調(diào)遞減,_2當 -1 乞 x：0 時，f(x)二ax3-3x 1一0 可化為 a_$4 , g' x 二 3 1 嚴 0 x xxg x在區(qū)間1-1,0上單調(diào)遞增，因此 g X man =g -1 =4，從而a-4,綜上a = 4分離變量法是近幾年高考考查和應用最多的一種。解決問題時需要注意：(1)確定問題是恒成立、存在、方程有解中的哪一類； (2)確定是求最大值、最小值還是值域 .高三復習 過程中，很多題目都需要用到分離變量的思想 ，除了基礎題

6、目可以使用分離變量 ，很多壓軸題 也開可以用這種方法去求解。° 2 '案例5、( 2005湖北卷)已知向量 a=( x ,x 1), a=(1-x,t)，若f(x)二ab在區(qū)間 (-1,1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍解析：232由向量的數(shù)量積疋義，f(x) = x (1 -x)+(x 1)t = - x + x + tx +12- f (x) = - 3x + 2x +1.若f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，則有 f lx) >02=t > 3x -2x在(-1,1)上恒成立.卄人，、小2小121右令 g(x) = 3x - 2x=-3(x-)-33在區(qū)間-1

7、,1上，g(x)= g( -1) =5，故在區(qū)間(-1,1)上使t > g(x)恒成立，max只需t > g(-1)即可，即t > 5.即t的取值范圍是5 ,s).利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系求解參數(shù)問題的題型，是高考命題的一種趨勢，它充分體現(xiàn)了高考 “能力立意”的思想。對此，復習中不能忽視。策略二：主次元變換法案例 6、.( 2009 北京卷)設函數(shù) f (xxekx(-0) (I)求曲線 y = f(x)在點(0, f(0)處的切線方程；(n)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(川)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞 增，求k的取值范圍分析：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單

8、調(diào)性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力.(I) (n)題略，對于題(川)，若借助(n)的結(jié)論入手，11須分- 一_ -1或- 一_1兩種情況求解，學生不一定能考慮得很全面；通過思考，不kk妨變換一下主次元，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的問題求解。(川)解：由題意 f (x)二(1 - kx)ekx 一0在上恒成立即1 kx_0在x上恒成立1+0-1)30 <1J + k 1 蘭 021又k = 0 k的取值范圍是-1,0 U 0,1.本題通過變換主元的思想， 巧妙地應用函數(shù)的單調(diào)性， 避免了對k的討論，簡化了問題 的求解。策略三、極值法有些函數(shù)問題，若能適時地借助函數(shù)的圖象，巧妙

9、地利用函數(shù)的極值來求解，可使問題豁然開朗。案例7、( 07全國卷二)已知函數(shù)f(X)=X_X .(1) 求曲線y二f(x)在點M(t, f(t)處的切線方程；(2 )設a . 0，如果過點(a, b)可 作曲線y = f (x)的三條切線，證明：一a ： b ： f (a)解：(1 )略 y =(3t2 -1)x -2t3.(2) 如果有一條切線過點(a, b)，則存在t ,使b =(3t2 - 1)a - 2t3 .若過點(a, b)可作曲線y = f (x)的三條切線，則方程 2t3 -3at2 a b = 0有三個相異的322實數(shù)根記 g(t) =2t -3at a b，則 g (t)

10、= 6t - 6at = 6t (t - a).當t變化時，g(t), g (t)變化情況如下表：t(",0)0(0, a)a(a,30)git)+00+g(t)增函數(shù)極大值a+b減函數(shù)極小值b - f (a)增函數(shù)如果過(a, b)可作曲線y = f (x)三條切線,即g(t) =2t3 -3at2 a b=0有三個相異的實數(shù)根，亠a + b a 0,口口則有即a : b ： f (a).lb-f (a) cO.本題的求解，充分利用函數(shù)的極值，把原本復雜的問題轉(zhuǎn)化為極值的正負問題，使問題變得更加直觀、充分體現(xiàn)了導數(shù)的優(yōu)越性案例8 (2009陜西卷)已知函數(shù) f (x) =x3-3a

11、x-1,a =0 I求f (x)的單調(diào)區(qū)間；i若f (x)在x = -1處取得極值，直線 y=m與y = f (x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。解析：(1)略(2)因為f (x)在X = -1處取得極大值，所以 f (T) =3 (-1)2 -3a =0, a =1.所以 f (x) = x3-3x T, f (x) =3x2-3,由 f(X)= 0 解得 Xi = -1, X? = 1。由(1)中f (x)的單調(diào)性可知，f (x)在x=-1處取得極大值f(-1) = 1,在X =1處取得極小值f (1) - -3。因為直線y=m與函數(shù)y = f(x)的圖象有三個不同的交點，由f

12、(x)的單調(diào)性可知， m (一3,1)案例9.(2008四川卷).已知x=3函數(shù)f(x)=a ln( 1+x)+x 2-10x的一個極值點。(I)求a; (n)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(川)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個交 點，求b的取值范圍。分析：(I)(n)略(川)由(n)知， f X在-1,1內(nèi)單調(diào)增加，在 1,3內(nèi)單調(diào)減少，在 3, :上單調(diào) 增加，且當x=1或x=3時，f' x =0所以f x的極大值為f 1 =16ln2-9，極小值為f 3=32In 2-212因此 f 16 =16 -10 16 16In2-9 二 f 1_2f e -1： -321-2 1

13、 f 3所以在f x的三個單調(diào)區(qū)間 -1,1 , 1,3 ,直線y二b有y = f x的圖象各有一個交點，當且僅當f 3 ：b ： f 1因此，b的取值范圍為 32ln 2-21,161 n2-9。充分利用函數(shù)的極值和數(shù)形結(jié)合的思想，把問題轉(zhuǎn)化為極值問題，進一步分體現(xiàn)了導數(shù)在解題中的作用。策略四、零點法32案例 10、(2009 浙江文)已知函數(shù) f(x) = x，(1-a)x -a(a 2)x b (a, b R).(I) 若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是-3，求a,b的值；(II) 若函數(shù)f (x)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍.解析：(I)略(n) f (x

14、)二 3x22(1 _ a)x _ a(a 2)函數(shù)f (x)在區(qū)間(-1,1)不單調(diào)，等價于導函數(shù)f (x)在(-1,1)既能取到大于0的實數(shù)，又能取到小于0的實數(shù) 即函數(shù)f (x)在(-1,1)上存在零點，根據(jù)零點存在定理，有f (_1)f ：:：0, 即：3 2(1 _a) _a(a 2) 32(1 a) a(a 2) ： 02整理得：(a - 5)(a - 1)(a -1): 0 ,解得 -5 ： a ： -1案例11、(2004新課程卷)若函數(shù)y=x3 ax2 + (a 1) x+1在區(qū)間32(1, 4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6, +8)內(nèi)為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍.解：f (x)

15、 = x2 -ax (a -1)=(x-1)x_(a -1) 1令f (x) = 0 ,解得x=1或x=a-1，并且2,否則f (x)在整個定義域內(nèi)單調(diào)。由題意，函數(shù)f(x)的圖象應有三個單調(diào)區(qū)間且先增后減再增，而已知f(x)在(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6,+ )內(nèi)為增函數(shù)，可知函數(shù) f(x)在x=1處取得極大值，在 x=a-1處取 得極小值。 4Wa-1W6得5<a<7所以a的取值范圍是5,7應用函數(shù)的零點問題，解決相關的問題，也能取到意想不到的功效。策略五、構(gòu)造新函數(shù)法對于某些不容易分離出參數(shù)的恒成立問題，可利用構(gòu)造函數(shù)的方法，再借助新函數(shù)的圖像、性質(zhì)等來求解，可以開拓解題

16、思路、化難為易。案例12、(2007全國卷一)設函數(shù) f (x) = ex 一 e.(I)證明：f (x)的導數(shù)(x) > 2 ；(n)若對所有x > 0都有f (x) > ax，求a的取值范圍.解: (I) f(x)的導數(shù) f (x)二ex而 ex e" -2 ex=2，故 f (x) > 2 .(當且僅當x = 0時，等號成立).(n)法一：令 g(x)二 f (x)ax ,于是不等式f(x)> ax成立即為g(x) > g(0)成立.則 g (x)二 f (x) - a = ex e - a ,由(I)可知 g (x)二 ex e - a 2

17、 - a ,由 2 a _ 0二 a _ 2當a < 2時，g(x)在(0, 8)上為增函數(shù)， 從而有 x > 0 時，g(x) > g(0)，即 f (x) > ax .案例13、(2006全國卷II)設函數(shù)f(x)= (x+ 1)1 n(x+ 1)，若對所有的x>0，都有f(x)>ax成 立，求實數(shù)a的取值范圍.解：令 g(x) = (x+ 1)ln(x+ 1) ax (x>-1 )于是不等式f(x) > ax成立即為g(x)> g(0)成立.對函數(shù) g(x)求導數(shù)：g'x) = In(x+ 1) + 1 a令 g 'x

18、)= 0，解得 x = ea 二-1a 1當x e -1時，g'x)>0, g(x)為增函數(shù),當1 ： x ： ea 丄一1 , g'x) v 0, g(x)為減函數(shù),所以要對所有x> 0都有g(x) > g(0)等價條件為ea-1 K 0. 由此得a< 1，即a的取值范圍是(一 8, 1.通過適時構(gòu)造新的函數(shù)，簡化了問題，把求參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，對解題 起到了畫龍點睛的作用。策略六、二次函數(shù)法某些函數(shù)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的模型，則可利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求解。432案例 14. (2008 天津卷)已知函數(shù) f(x)=x +ax +2x +b ( xR),其中 a,b R .10(i)當a時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；3(n)若函數(shù)f(x)僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；(川)若對于任意的a，-2,2，不等式f x - 1在-1,1上恒成立，求b的取值范圍.分析：本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎 知識，考查綜合分析和解決問題的能力.(i)略(n)解：f (x)二 x(4x2 3ax 4)，顯然 x 二 0不是方程 4x2 3ax 4 = 0 的根.為使f (x)