和圓有關(guān)的常用輔助線(xiàn)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上和圓有關(guān)的常用輔助線(xiàn)1.若題中有與半徑（或直徑或過(guò)圓心的直線(xiàn)）垂直的線(xiàn)段，或遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)）：常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑。以便利用：利用垂徑定理；利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系； 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。例：如圖，C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且與兩坐標(biāo)軸分別交與A（0，8）、B，M是劣弧OB上任意一點(diǎn)（不含O、B），BAO=600。（1）求證：AB為圓C的直徑；（2）求BMO的大小；（3）求圓C的半徑及圓心C的坐標(biāo) 例：如圖，AB是O的直徑，C是弧BD的中點(diǎn)，CEAB于E

2、，BD交CE于點(diǎn)F。（1）求證：CF=BF；（2）若AD=2，O的半徑為3，求BC 例：如圖，已知O1與O2為等圓，P為O1、O2的中點(diǎn)，過(guò)P的直線(xiàn)分別交O1、O2于A、C、D、B.求證：AC =BD 例：半徑為5的圓中，求兩條長(zhǎng)為8和6的平行弦之間的距離 2.遇到有直徑或利用直徑但沒(méi)有直徑時(shí)：常常添加直徑所對(duì)的圓周角或添加直徑。以便利用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形。例：如圖，已知RtABC中，以AB為直徑作一圓交斜邊AC于D，DE切圓于點(diǎn)D，交BC于E.求證：EB=EC 例：如圖,AB為O的弦,C為O上一點(diǎn),AD和過(guò)C點(diǎn)的切線(xiàn)垂直,垂足為D，1=2，求證：AB為O的直徑 例：如圖,

3、 點(diǎn)A、B、C在O上（AC不過(guò)O點(diǎn)），若ACB=600,AB=6，求O半徑的長(zhǎng) 例：已知O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O1在O2上，C為O2上一點(diǎn)（不與A，B，O1重合），直線(xiàn)CB與O1交于另一點(diǎn)D.如圖（1），若AC是O2的直徑，求證：ACCD；如圖（2），若C是O1外一點(diǎn)，求證：O1CAD；如圖（3），若C是O1內(nèi)的一點(diǎn)，判斷（2）中的結(jié)論是否成立 3.遇到90度的圓周角時(shí)：常常連結(jié)兩條弦沒(méi)有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)。以便利用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。例：如圖，AB、AC是O的的兩條弦，BAC=90°，AB=6，AC=8，求O的半徑 例：如圖，O通過(guò)原點(diǎn)，并與坐標(biāo)軸分別交于A,D兩

4、點(diǎn)，已知OBA=30°，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)，求點(diǎn)A ,C的坐標(biāo) 4.遇到弦時(shí)：常常連結(jié)圓心和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)。以便利用：可得等腰三角形； 據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角例：如圖，弦AB的長(zhǎng)等于O的半徑，點(diǎn)C在弧AMB上，則C的度數(shù)是_ 5.遇到有切線(xiàn)時(shí)：（1）常常添加過(guò)切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）以便利用：利用切線(xiàn)的性質(zhì)定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn) 以便利用：可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理例：如圖，AB為直徑，PD是O切線(xiàn)，CO=CD，求PCA 例：如圖,AB為O的直徑,C為O上的一點(diǎn),A

5、D和過(guò)C點(diǎn)的切線(xiàn)垂直,垂足為D，求證：1=2 例：如圖，點(diǎn)E在x軸正半軸上，以點(diǎn)E為圓心，OE為半徑的E與x軸相交于點(diǎn)C，直線(xiàn)AB與E相切于點(diǎn)D，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）（1）求E的半徑長(zhǎng)；（2）連接BE、CD，則BE與CD平行嗎，為什么？ 6.遇到證明某一直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)時(shí)：（1）若直線(xiàn)和圓的公共點(diǎn)還未確定，則常過(guò)圓心作直線(xiàn)的垂線(xiàn)段。以便利用：若OA=r，則l為切線(xiàn)。（2）若直線(xiàn)過(guò)圓上的某一點(diǎn)，則連結(jié)這點(diǎn)和圓心（即作半徑）以便利用：只需證OAl，則l為切線(xiàn)。（3）有遇到圓上或圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)例：如圖，AB為O直徑，D是O上的一點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作AB的垂線(xiàn)交AD于E，交BD

6、的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且FDFE(1)請(qǐng)?zhí)骄縁D與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若O的半徑為2，BD，求BC的長(zhǎng) 例：已知：如圖，以RtABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點(diǎn)，連接DE，求證：DE與半圓O相切 例：如圖，以ABC的邊AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)D，且過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)DE平分邊BC.(1)請(qǐng)?zhí)骄緽C與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，以O(shè)、B、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？ 例：已知：ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于O點(diǎn)，BC切O于E點(diǎn).求證：AD也和O相切 7.遇到兩相交切線(xiàn)時(shí)（切線(xiàn)長(zhǎng)）：常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心

7、和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)。以便利用：據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)及其它性質(zhì)，可得到： 角、線(xiàn)段的等量關(guān)系；垂直關(guān)系；全等、相似三角形例：如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，C=90°，以CD為直徑的圓與AB相切，AB=6，求梯形ABCD的中位線(xiàn)長(zhǎng) 例：如圖，在梯形ABCD中，AB/CD，BAD=90°，以AD為直徑的O與BC相切.(1)求證：OB丄OC; (2)若AD=12，BCD=60°，O1與半O外切，并與BC、CD相切，求O1的面積 8.遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)：連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過(guò)內(nèi)心作三角形各邊的垂線(xiàn)段。以便利用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得：內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)是三角形

8、的角平分線(xiàn)；內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等例：如圖，ABC中，A=45°，I是內(nèi)心，求BIC 例：如圖，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90°，I分別切AC，BC，AB于D，E，F(xiàn)，求RtABC的內(nèi)心I與外心O之間的距離 9.遇到三角形的外接圓時(shí)，連結(jié)外心和各頂點(diǎn)，以便利用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等例：如圖O是ABC，圓心O在這個(gè)高AD上，AB=10，BC=12，求O半徑 例：（1）已知I為三角形ABC的內(nèi)心，連接AI交三角形ABC的外接圓于點(diǎn)D，如圖所示，連接BD和CD，求證：BD=CD=ID；（2）己知三角形ABC，AD平分BAC且與它的外接圓交于點(diǎn)D，在線(xiàn)段A

9、D上有一點(diǎn)I滿(mǎn)足BD=ID試問(wèn)點(diǎn)I是否是三角形ABC的內(nèi)心？若是加以證明；若不是，說(shuō)明理由 10.遇到兩圓外離時(shí)（解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線(xiàn)的問(wèn)題）：常常作出過(guò)切點(diǎn)的半徑、連心線(xiàn)、平移公切線(xiàn)，或平移連心線(xiàn)。以便利用：利用切線(xiàn)的性質(zhì)；利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)例：在直角坐標(biāo)中，點(diǎn)O1（-4，0），半徑為8的O1與x軸交于A、B，過(guò)A作直線(xiàn)l與x軸負(fù)方向成60°角，且交y軸于點(diǎn)C，以點(diǎn)O2（13，5）為圓心的圓與x軸切于點(diǎn)D（1）求直線(xiàn)l的解析式；（2）將O2以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿x軸向左平移，當(dāng)O2第一次與O1外切時(shí)，求平移的時(shí)間 例：如圖，已知O1和O2的半徑分別為2cm和7cm，

10、圓心距O1O2=13cm，AB是O1和O2的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng) 11.遇到兩圓相交時(shí)：常常作公共弦、兩圓連心線(xiàn)、連結(jié)交點(diǎn)和圓心等。以便利用：利用連心線(xiàn)的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識(shí)；利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)； 利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)；垂徑定理例：如圖，O1與O2相交于A、B，過(guò)A的直線(xiàn)分別交O1、O2于C、D，過(guò)B的直線(xiàn)分別交O1、O2于E、F.求證：CEDF 例：如圖，O1和O2相交于A、B兩點(diǎn)，AD是O1的直徑，且圓心O1在O2上，連結(jié)DB并延長(zhǎng)交O2于點(diǎn)C，求證：CO1AD。 例：如圖，O1和O2相交于A、B兩點(diǎn)，兩圓半徑分別為和，公共弦AB的長(zhǎng)為12，求O1AO2的度

11、數(shù)。 例：如圖， O1 、O2交于點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)分別交兩圓與點(diǎn)C、D，點(diǎn)M是CD上一點(diǎn)，直線(xiàn)BM分別交兩圓與點(diǎn)E、F 求證：CEDF 12.遇到兩圓相切時(shí)：常常作連心線(xiàn)、公切線(xiàn)。以便利用：利用連心線(xiàn)性質(zhì)；切線(xiàn)性質(zhì)等例：如圖，O1和O2外切于點(diǎn)A，BC是O1和O2外公切線(xiàn)，B、C為切點(diǎn)，求證：ABAC 例：如圖，A和B外切于點(diǎn)P，CD為A、B的外公切線(xiàn)，C、D為切點(diǎn)，若A與B的半徑分別為r和3r,求CD的長(zhǎng)；B的度數(shù) 13.遇到三個(gè)圓兩兩外切時(shí)：常常作每?jī)蓚€(gè)圓的連心線(xiàn)。以便利用：可利用連心線(xiàn)性質(zhì)例：如圖，O1，O2，O3三圓兩兩相切，AB 為O1，O2的公切線(xiàn)， 弧AB為半圓，且分別與三

12、圓各切于一點(diǎn)若O1，O2的半徑均為1，求O3的半徑 例：如圖,施工工地水平地面上有三根外徑都是1米的水泥管,兩兩外切堆放在一起,求最高點(diǎn)到地面距離 例：已知圖中各圓兩兩相切， O的半徑為2R, O1 、O2 半徑為R，求O3的半徑 14.當(dāng)從一個(gè)點(diǎn)引出的三條線(xiàn)段或更多條線(xiàn)段相等時(shí)，或遇到四邊形對(duì)角互補(bǔ)，或兩個(gè)三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時(shí)常常添加輔助圓。以便利用：以便利用圓的性質(zhì)例：若上圖中有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形中分別含45°和30° 角，連結(jié)BD交AC于G，（1）你能求出哪些角的度數(shù)（2）若AC=8，你都能求出哪些線(xiàn)段的長(zhǎng)度（3）求SBDC 例：如圖，已知OA=OB=OC，ABC=900，求（DAO+DCO）的度數(shù) 例：已知從點(diǎn)O處引出點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)B，且OA=OB=OC,AOB=780,求ACB 15.過(guò)小圓圓心作大圓半徑的垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形例：如圖，O1與O2外切于點(diǎn)O，兩外公切線(xiàn)PCD和PBA切O1、O2于點(diǎn)C、D、B、A，且其夾角