利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩種通法

1、精選文檔利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩種通法吉林省長春市東北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校金鐘植 岳海學(xué)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式主要有兩種通法，即函數(shù)類不等式證明和常數(shù)類不等式證明。下面就有關(guān)的兩種通法用列舉的方式歸納和總結(jié)。一、函數(shù)類不等式證明函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式（）的問題轉(zhuǎn)化為證明（），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性或證明函數(shù)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1 已知，求證：分析：欲證，只需證函數(shù)和在上單調(diào)遞減即可。證明：令 ，其中則，而所以在上單調(diào)遞減，即所以；令 ，其中則，所以在上單調(diào)遞減，即所以。綜上所述，評(píng)注：

2、證明函數(shù)類不等式時(shí)，構(gòu)造輔助函數(shù)比較容易，只需將不等式的其中一邊變?yōu)?，然后另一邊的函數(shù)作為輔助函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性或其最值，進(jìn)而構(gòu)造我們所需的不等式的結(jié)構(gòu)即可。根據(jù)不等式的對(duì)稱性，本例也可以構(gòu)造輔助函數(shù)為在上是單調(diào)遞增的函數(shù)（如：利用在上是單調(diào)遞增來證明不等式），另外不等式證明時(shí)，區(qū)間端點(diǎn)值也可以不是我們所需要的最恰當(dāng)?shù)闹担ū热绱死械囊部梢圆皇?，而是便于放大的正數(shù)也可以）。因此例可變式為證明如下不等式問題：已知，求證：證明這個(gè)變式題可采用兩種方法：第一種證法：運(yùn)用本例完全相同的方法證明每個(gè)不等式以后再放縮或放大，即證明不等式以后，根據(jù)來證明不等式；第二種證法：直接構(gòu)造輔助函數(shù)和，

3、其中然后證明各自的單調(diào)性后再放縮或放大（如：）例2 求證：分析：令，經(jīng)過求導(dǎo)易知，在其定義域上不單調(diào)，但可以利用最值證明不等式。證明：令函數(shù)f(x)的定義域是,(x)=.令(x)=0，解得x=0，當(dāng)-1<x<0時(shí), (x)>0,當(dāng)x>0時(shí),(x)<0，又f(0)=0，故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得最大值，最大值是0所以即二、常數(shù)類不等式證明常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明不等式的問題，在根據(jù)的不等式關(guān)系和函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。例3已知求證：分析：證明：令則所以，又因?yàn)?，所以即即評(píng)注：利用導(dǎo)數(shù)證明常數(shù)類不等式的關(guān)鍵是經(jīng)過適當(dāng)?shù)?/p>

4、變形，將不等式證明的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性證明問題，其中關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)也是這種通法運(yùn)用的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在。通過本例，不難發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造輔助函數(shù)關(guān)鍵在于不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子（本例經(jīng)過轉(zhuǎn)化后的不等式的兩邊都是相同式子的結(jié)構(gòu)，所以可以構(gòu)造輔助函數(shù)），這樣根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”可以構(gòu)造輔助函數(shù)。例4 已知，求證：分析：欲證，只需證（不然沒法構(gòu)造輔助函數(shù)），即，則需證函數(shù)都在函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增即可。證明：設(shè)，則由例1知，即，所以在上單調(diào)遞增，而所以，即，進(jìn)而得到設(shè)，則，又因?yàn)椋?，進(jìn)而在上單調(diào)遞增，而所以，即，進(jìn)而得到綜上所述三、同步練習(xí)題1當(dāng)時(shí),求證:2已知a,b為實(shí)數(shù)，并且e<a<b，其中e是自然對(duì)數(shù)的底，證明：3已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小值；（2）若，求證：4求證：參考答案：1證明：要證，只要證, 即證則當(dāng)時(shí)，, 上遞增，即成立，原不等式得證2證明：當(dāng)e<a<b時(shí)， 要證， 只要證,即只要證考慮函數(shù)。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以函數(shù)內(nèi)是減函數(shù)因?yàn)閑<a<b，所以，即得3（1）最小值