2018-2019學(xué)年黑龍江省哈爾濱市三中高一下學(xué)期第一模塊數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第1 1頁共 1818 頁2018-2019 學(xué)年黑龍江省哈爾濱市三中高一下學(xué)期第一模塊數(shù)學(xué)試題、單選題1 1 .已知向量a 3,1，則| a |()A A .1B B.C C.、3D D.2【答案】D D【解析】由向量的模長公式求模長即可 【詳解】rJ-2-因?yàn)閍 3,1，所以潔| 、3122 故選 D.D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模長 向量舌(x, y)的模長| a |x2y2. .2 2.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為 a,b,ca,b,c，若b2c2a2由余弦定理可得cos Ab藝一a3bc3,2bc2bc 2又A 0,冗，所以A. .故選 A.A.6【點(diǎn)睛】對(duì)于余弦定理，一定要記清

2、公式的形式 3 3.在等差數(shù)列an中，若a3a712，則()A A .4B B.6C C.8【答案】B B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得aaa?2a5，則答案易求本題考查余弦定理cosA2bc,cosBa2c22acb2,cosCa2b2c22abA. 6 6B B.5 nnC.63【答案】A A【解析】由余弦定理可求出cosA，再求A. .【詳解】2nD D .3、.3bc，則AD D .10第2 2頁共 1818 頁【詳解】 在等差數(shù)列an中，因?yàn)? 7=5 2，所以a3a72a5. .1所以比一126 故選 B.B.2【點(diǎn)睛】 本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 在等差數(shù)列an中，若p q s t

3、，則apaqasat. .特別地，若p q 2s，則apaq2a$. .r rr r _rr4.4.已知ei,e2是單位向量，若ei4e2， 則ei與e2的夾角為（）A A. 3030B B. 6060C C. 9090D D. 120120【答案】B Br rr r【解析】由coe1,e$ 帶，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得解. .r24e213,2 J1,ei e21,r rei e21r- .e1e22所以嵩需；60.故選：B.B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量的夾角，屬基礎(chǔ)題. .5.5.ABC的內(nèi)角代B,C的對(duì)邊分別為 a,b,ca,b,c，若acosA bcosB

4、0，則ABC的形狀一定是（）A A 直角三角形B B.等邊三角形C C 鈍角三角形D D 等腰三角形或直角三角形【答案】D D【解析】由已知等式結(jié)合正弦定理，可得sin2A sin2B,再結(jié)合三角形中角的范圍分析角代B的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀. .【詳解】rr.r解：因?yàn)閑14e2辰，所以e1“ r2rrr2則e18e1e216e213r rrr由巳，砂是單位向量，可得e1e2所以巳e21.所以cosg2e1e2第3 3頁共 1818 頁【詳解】由acosA bcosB 0結(jié)合正弦定理，可得sin AcosA sin BcosB 0,貝U sin2A sin2B. .n所以2A 2B或2A

5、 2Bn所以A B或A B. .2所以ABC是等腰三角形或直角三角形 故選 D.D.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形問題，應(yīng)用正弦定理判斷三角形的形狀 若已知等式中各項(xiàng)都含有邊（或角的正弦），可以直接利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化 解三角形的問題中經(jīng)常需要用到三角恒等變換，這就需要牢記并熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式、和差角公式、二倍角公式等，還要結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍，合理地進(jìn)行取舍，做到不漏解也不增解3aiQo*20a96 已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且一一,3, Q2成等差數(shù)列，則 一 （）24厲8*17A A 9B B6C C 3D D 1【答案】A Aa20a1922【解析】易得a18q口q2，于是根據(jù)

6、已知條件求等比數(shù)列的公比即a18a17a18a17可 【詳解】設(shè)公比為q 由3a1a3,a2成等差數(shù)列，可得3a1a2a3,2422所以3a-ag2aiq則q22q 30，解q1（舍去）或q 3. .2222a)ai8qag2所以q 9. .故選 A.A.*18ai8【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的基本問題 在等比數(shù)列和等差數(shù)列中， 首項(xiàng)和公比（公差）是最基本的兩個(gè)量，一般需要設(shè)出并求解. .7 7在等比數(shù)列an中，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S?3,S49，則& （）A A 12B B.18C C 21D D 27第4 4頁共 1818 頁【答案】C C【解析】S2,S4S2,S6

7、S4也成等比數(shù)列，則S6易求. .第5 5頁共 1818 頁【詳解】 在等比數(shù)列中，可得S2,S4S2,S6S4也成等比數(shù)列，2 2所以S4S2S2SJ，貝y9 33 9，解得S621. .故選 C.C.【點(diǎn)睛】的前n項(xiàng)和是Sn，則Sm,S2mSm, S3mS2m,L( (Sm0) )也成等比數(shù)列8 8在數(shù)列an中，已知 a a-4 4,a25，且滿足a.2ana.-(n 3)，則82019()5B.4【答案】B B【解析】由已知的遞推公式計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，發(fā)現(xiàn)周期規(guī)律，然后求a20i9. .【詳解】由an 2anan1(n3)，可得anan1(n3). .an 2a25a31又印 4 4

8、 ,a25所以a3,a4a14a24同理可得a51,a64,a74,a85. .55于是可得數(shù)列an是周期數(shù)列且周期是6. .5因?yàn)?019 6 336 3，所以a20-9a3 故選 B.B.4【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的表示法，遞推公式和周期數(shù)列 由遞推公式判斷周期數(shù)列時(shí)，若遞推公式是由前面兩項(xiàng)推出后一項(xiàng)，則需要得到連續(xù)兩項(xiàng)重復(fù)才能判定是周期數(shù)列9 9 我國古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作注時(shí)給出的，被后人稱為趙爽弦圖”.趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)， 是中國古代數(shù)學(xué)的圖騰， 還被用作第 2424 屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.如圖，大

9、正方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，uuu r uuur ruuu若AB a, AD b,E為BF的中點(diǎn)，貝UAE()本題考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，也可以由a-i, q進(jìn)行基本量計(jì)算來求解. .若等比數(shù)第6 6頁共 1818 頁4r2,r2r4r4r2r2r4rA A.abB B. abC C.abD D. ab55553333【答案】A Auuuuuu uuur【解析】 把向量AE分解到AB, AD方向，求出分解向量的長度即可得答案 【詳解】設(shè)BE m，則AE BF 2BE 2m，在RtAABE中，可得AB 5m. .AB于點(diǎn)H, ,則EH2T空m,EH/AD,5

10、m 5【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的基本定理，用基向量表示目標(biāo)向量 平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以用一對(duì)基向量（不共線的兩個(gè)向量）來線性表示 1010.在等差數(shù)列an中，首項(xiàng)印0,公差d 0,前n項(xiàng)和為Sn（n N*）.有下列命 題：若S3S15，則SI80；若S3S15，則S9是Sn中的最大項(xiàng)；若S3S15,過點(diǎn)E作EHAH22i524 5J 2mmmV552r-b. .故選 A.A.5D第7 7頁共 1818 頁則a9a100；右S9S10，則S10S|1.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）第8 8頁共 1818 頁故選 D.D.若d 0,由a10可得Sn單調(diào)遞增，不合題意，故等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二

11、次函數(shù),【答【解方法二:【詳方法一:S18Sna9B B.2方法一：由前n項(xiàng)和公式Sna1d代入各命題判斷是否正確12由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)判斷各命題是否正確S3S15，則3a18 17 , d29 2a17dai17a10a18da19d2ai17d右S9S10，則 $0$0a10所以S|1S10a11a1015 1415Qd，可得2a117d0,20，正確;819a1，則S9是Sn中的最大項(xiàng)，正確;170，正確. .0，故d 0，0，即S10S11，正確. .方法二：若S3S5，則a5a9a10La14a150,而a4*15a5a14a9a10,則a?a100，正確;Sla1a1829

12、89O|0正確;由對(duì)稱性可得當(dāng)n3 1529時(shí)，Sn取得最大值,正確 右S9S10，則 $0$0S9600，又40，故d所以S|1S10a11a10d0,即S10Sn,正確. .第9 9頁共 1818 頁故選 D.D.【點(diǎn)本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)問題. .有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的問題一般都能夠使用兩種方法求解，一是用首項(xiàng)和公差 （公比）進(jìn)行基本量運(yùn)算，二是利用有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行解題21111.已知銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若c a a b,第1010頁共 1818 頁A.y,1【答案】C C2Acos A進(jìn)行化簡，最后由A角取值范圍可求范圍.cos C A【詳解】2 ,

13、2 2a b c亠2.，因?yàn)閏 a a b,2ab即sin(C A) si nA. .又因?yàn)锳,C（o, /，所以【點(diǎn)睛】 本題主要考查正弦定理、余弦定理以及兩角和與差公式.1212 .已知數(shù)列an與bn前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且B B.【答案】【解析】先由Sn與an的關(guān)系式求an的通項(xiàng)公式，于是可得bn的通項(xiàng)公式，再由裂 項(xiàng)相消法求出Tn，于是答案易得因?yàn)? Ccos2Acos C AcosA則曲人cos C A的取值范圍是（）【解析】 先由余弦定理得到2acosC ba，再由正弦定理得到C 2A，從而對(duì)由余弦定理得cos2貝V cos b22aba2abb ab，即2a cosC b a

14、;2ab由正弦定理得2sin AcosCsinB sin A，所以2sin AcosC sin(AC)sin A，即sin CcosA sin AcosCsin A，即C 2A. .2an0,2Snanan,nN, ,bn2n1(2nan)(2n7，對(duì)任意的n1an 1）N , k Tn恒成立，則k的最小值是（第1111頁共 1818 頁【詳解】2當(dāng)n 2時(shí)，2Sn 1an 1an由anan 10，可得anan所以an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即ann. .所以12* 1與數(shù)列有關(guān)的不等式恒成立問題，綜合性較強(qiáng)二、填空題1313 .已知向量a ( 2, 1),b (1,3),c (3,2

15、)，若(a b)/c，貝V _【答案】1【解析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出a，再根據(jù)向量共線定理得到方程，解得. .【詳解】因?yàn)閍n0,2Snan, nN所以當(dāng)n 1時(shí)，2印2S|a；印，解得印1;所以2an=2Sn2Sn 1a22an 1an 12 2疋anan 1anan 10. .所以bn2n1n 2n1(2nan)(2an 1)(2nn 1)12n2nTnb2Lbn121112221222123312n 1n 1因?yàn)閷?duì)任意的n N*,k Tn1 _3 2n 11所以k丄,3【點(diǎn)睛】即k的最小值是1 故選 C.C.3本題考查數(shù)列的綜合問題，考查an與Sn的關(guān)系、等差數(shù)列的判定、裂項(xiàng)相消法求

16、和、第1212頁共 1818 頁解：由a ( 2, 1),b (1,3)，可得a b ( 2,1 3 ).又c (3,2),(：b)C，所以3(1 3 ) 2( 2)，解得1.第1313頁共 1818 頁故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題1414 .已知等比數(shù)列an滿足q 2,a4a62a1，則比 _1【答案】-2【解析】由等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)先求a5再求a9. .【詳解】,2a5又a1a9a5，所以a?-【點(diǎn)睛】特別地，若p q 2s，則apaqa：. .n n 2 2），則數(shù)列一1一的前15項(xiàng)和為_anan 1【答案】31【解析】先由an-.,

17、S| ,ST7取倒數(shù)判斷f.s!是等差數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列【詳解】所以丄an所以.S1 Sn 1=1. .因?yàn)閍nSn勺Si 1(n由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a4a62 2a5，于是a52a51，解得a51. .本題考查等比數(shù)列的基本性質(zhì). .在等比數(shù)列an中，若p q s t，則apaqasat. .1515已知數(shù)列an中,a a11,a1,an0 0，前n項(xiàng)和為Sn若an詁SnSi1(nan的通項(xiàng)公式, 再由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列1的前15項(xiàng)和.anan 1an第1414頁共 1818 頁所以.Sn是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，貝V. Snn. .所以4.ST nn1 2n 1(nN*,n n 2).

18、2).又a11也滿足， 所以an2n1(n N*). .111 11所以anan 12n 1 2n12 2n 12n 11所以數(shù)列-的前15項(xiàng)和為anan11 1 ,111 1 1 11,1111115LL1 -a?a2a3a15a162132 352 293123131【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合問題，考查an與Sn的關(guān)系、等差數(shù)列的判定、裂項(xiàng)相消法求和，綜合性較強(qiáng) 已知an與Sn的關(guān)系式，有兩種思路：一是由SnSn 1an消掉S得到關(guān)于通項(xiàng)的關(guān)系式；二是把a(bǔ)n代換成SnSn 1得到關(guān)于求和的關(guān)系式1616 .已知A, B是單位圓0上的兩點(diǎn)， AOBAOB 120120，點(diǎn)C是平面內(nèi)異于 代B

19、的動(dòng)點(diǎn),MN是圓0的直徑若AC BC 0，則CN的取值范圍是_ .【答案】3,0 U 0,遼2 2【解析】由MN是單位圓o的直徑，可得 CMCM1 1CJ=0CCJ=0C21 1,于是需求oc的取值范圍uuur umr由AC BC0可得點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，于是可求出定點(diǎn)O到圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離OC的取值范圍 【詳解】因?yàn)镸N是單位圓O的直徑，所以u(píng)uuuuuuu uuuuuu luuuluuuuuruur LUITLUITUUUUUUUUUUUUUU UUTUUTUJUUUJUU UULTUULTUUUUUU2UUUUUUUU2LUITLUIT2CMCM gCNgCNOMOMOCOCg g

20、ONONOCOCOMOM OCOC g gOMOMOCOCOCOCOMOMOCOC1 1 . .在VAOB中，OA=OB 1, AOBAOB 120120 ,第1515頁共 1818 頁所以/OAB/OBA 30,ABUJIT UUT因?yàn)锳C BC 0，所以點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，第1616頁共 1818 頁其圓心為AB的中點(diǎn)H，半徑為3.3.21易得OH ,又點(diǎn)C異于A,B,2所以-111 OC31且0C 1. .2 2 2 2【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的綜合問題， 考查數(shù)量積的取值范圍、 圓、 動(dòng)點(diǎn)等問題 幾何意義求取值范圍是一種常見的方法. .三、解答題1717 在等差數(shù)列an中，

21、已知a57,S624(1) 求an；(2) 若bn(1)nan，求數(shù)列bn的前10項(xiàng)和Tg【答案】(1 1)an2n 3； (2 2)T010. .【解析】(1)(1)設(shè)出公差，由a57,S624列方程解出a1,d即可. .bn( 1)nan表示bn的項(xiàng)負(fù)正相間，可把相鄰兩項(xiàng)結(jié)合起來再求和【詳解】所以22112uur20C 11且0C即-I-I2 2r r uuiruuir CMCMCNCN乜且 CMUCUlCMUCUl2 2所以 CMCM3CNJCNJ 的取值范圍是. .通0 03第1717頁共 1818 頁設(shè)等差數(shù)列2n的公差為d,Os ai4d 7,ai1,由題意得解得1S66ai 15

22、d24, d 2,所以an1 2 n 1 2n 3. .因?yàn)閎n( 1)nan,所以T10 bib2b3b4L dbioa a?a3a4L a?ad d L d5d 5 2 10. .【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本問題，數(shù)列的求和. .對(duì)于通項(xiàng)中含有可把相鄰兩項(xiàng)結(jié)合起來再求和. .1818 已知A, ,B, ,C是厶ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量irrm (cos B, sinB 2sin C), n (2cos C cosB,sin B)，且(1) 求A;(2) 若BC .,3，求AB AC的取值范圍.【答案】(1 1)An； ( 2 2)( ,3,2.3. .3【解析】(1)由m n，得mgn=0

23、，逐步化簡可得cos B C(2)(2)由正弦定理、三角形內(nèi)角和把AB AC表示為一個(gè)角的函數(shù),【詳解】(1)(1)由mn，得ir rmgi=0，貝ycosB2cosCcosBsin B2si nCsin B0,則2 cosBcosC2sin BsinCcos Bsin2B0,即2cos B C10,故cos BC -12. .又B C0,n，所以BC-2n. .3所以A冗/ n1， 即正負(fù)相間的數(shù)列,_ 1=-，可得答案再求其取值范圍第1818頁共 1818 頁=2*3si nC cosC2=2、.3sin【點(diǎn)睛】 本題考查三角形中的綜合問題，考查向量垂直的條件、正弦定理、三角恒等變換、三角

24、函數(shù)的性質(zhì)等 三角函數(shù)、平面向量、解三角形的知識(shí)聯(lián)系緊密，解題時(shí)也經(jīng)常綜合在 一起應(yīng)用 1919 .在ABC中，B 45, AC .10，且 cosCcosC. .5 5（1 1）求BC邊長;（2）求AB邊上中線CD的長 【答案】（1 1）3&；（2 2）.13. .【解析】（1 1）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系， 可以求出sinC的值，利用三角形內(nèi)角和定理， 二角和的正弦公式可以求出si nA，最后利用正弦定理求出BC長；（2 2）利用余弦定理可以求出AB的長，進(jìn)而可以求出BD的長，然后在BCD中，再 利用余弦定理求出AB邊上中線CD的長 【詳解】(1)QC (0, ) sinC . 1

25、cos2C5,5sin A sin(B C)sin B cosC cosB sinC，由正弦定理可知中10n（2 2）因?yàn)锳 -,BC3AB所以由正弦定理得 ZBZB.3 ,AC所以AB所以AB=2sin C=3sin Csi nC2sin C, ACAC 2sin C2 2osC2、3cosCsin B2sin B匹2. .sinA2sin2sin 3 C31 sin C2其中，則Cnn 5 n66,6所以sin12,1,2、3sin C7t.32、3. .所以ABAC的取值范圍是 、32、3. .第1919頁共 1818 頁BCAC“BCACsinA3 J;sin A sin Bsin B

26、(2 2)由余弦定理可知：ABVAC2_BC22AC BC cosCjlO18 2尿3“52，D是AB的中點(diǎn)，故BD 1,在CBD中，由余弦定理可知：CD BC2BD22BC BD cosB. 1812 3.2 1二：53.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函數(shù)關(guān)系、以及三角形內(nèi)角和定理，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力 a an2020.已知數(shù)列an滿足nan12an(n 1), a 2，設(shè) b bn .n n(1) 證明數(shù)列bn為等比數(shù)列；(2) 求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.【答案】(1 1)證明見詳解；(2 2)Sn(n 1)2n 12. .【解析】 由 b bn 1qbqbn( (q為非

27、零常數(shù)) )且b10可證得bn為等比數(shù)列. .n(2)(2)可得anng2，則可由錯(cuò)位相減法求和. .【詳解】(1)(1)證明：由nan 12an(n 1),可得 也2旦1. .n+1 n而 b bna a，所以bn 12bn. .n n又b魚2，所以數(shù)列bn為等比數(shù)列. .1由(1)(1)得bn為首項(xiàng)是2，公比是2的等比數(shù)列，所以bn2g2n 12n. .2第2020頁共 1818 頁由 b bn丄可得annbnng2n. .n n所以Sn13212g223c23Lng2n,2則2Sn1g22g233g24Lnc2n 1. .以上兩式相減得Sn2 2223L2nnc2n12112請(qǐng)1212啤

28、所以Sn2n 12ng2n1n1 2n 12.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的證明和錯(cuò)位相減法求和. .若數(shù)列cn滿足cnanbn，其中an, bn【詳解】an分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，則可由錯(cuò)位相減法求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和. .2121 數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，已知a12, 3& a. 12n 22.(1(1)求數(shù)列a an的通項(xiàng)公式;(2(2)證明丄丄 L L4a2an1118【答案】(1 1)an4n(2(2)證明見詳解. .【解析】(1)(1)由已知結(jié)合anSiSi1可得an 14ann 12，變形得an 1anT7站n 11一，利用疊加法可求an. .2由an4n2n可得丄，用放縮法證明不等式4 anan 1(1)(1)由3Snnan 1222, ,得3Snan2n12，以上兩式相減得3an3Sn3Sn 1ann 2 n 11an22，則an 14an2n1兩邊同4n2第2121頁共 1818 頁4a2a1一4242第2222頁共 1818 頁334a242an4an 1以上n 1個(gè)式子相加得ana44na.112131n1又a12,則肆L1 -4n22222所以an4n2n(2)(2)證明：因?yàn)閍n4n2n,所以an 14n12* 14 4n2n2* 14an. .11 1所以an 1厲111記LTn,a2an111111111則T1,T2印4 2218a1a24 2