2018-2019學(xué)年浙江省湖州市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第1頁共 19 頁2018-2019 學(xué)年浙江省湖州市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1.設(shè)集合A x R |0 x 2,B x R|x| 1，則AI B()A .(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.( 1,2)【答案】A【解析】先由不等式|x 1得出集合B，再由交集的運算即可求出結(jié)果 【詳解】由x 1得1 x 1，即B x R| x 1 x R| 1 x 1, 所以A B x R10 x 1.故選 A【點睛】本題主要考查交集的運算，熟記定義即可，屬于基礎(chǔ)題型12i2已知復(fù)數(shù)z滿足z(i為虛數(shù)單位)，則|z|().1A . 1B. 2C. 3D .5【答案】D【解析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運算

2、法則進行化簡，然后求模即可.【詳解】缺1 2i (1 2i)i廠.2、o.解：z2(i 2i )2 i ,ii|z5,故選：D.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計算，屬于基礎(chǔ)題.3.已知曲線f x x ax? 2在點1, f 1處切線的傾斜角為，則a等于4()A .2B.-2C .3D .-1【答案】A2【解析】因為f X 3x 2ax，所以f 13 2a，由已知得3 2a 1，解得第2頁共 19 頁a 2，故選 A.是( )【答案】C中全部為正品的取法，分析可得答案.【詳解】 解：根據(jù)題意，用間接法分析:從 90 件產(chǎn)品中任取 3 件，有 c9o種取法，其中沒有次品，即全部為正品的取法有 取法

3、,則至少有一件是次品的取法有c90c；5種;故選：C.【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意用間接法分析，避免分類討論，屬于基礎(chǔ)題.【答案】【詳解】解：只有一個極大值點x2.Q當(dāng) x x X2時，f (x)0,4.若 90 件產(chǎn)品中有5 件次品，現(xiàn)從中任取3 件產(chǎn)品，則至少有一件是次品的取法種數(shù)A .C5C85B.C5C89C .C90C85D .C90C85【解析】 根據(jù)題意，用間接法分析：先計算從90 件產(chǎn)品中任取 3 件的取法，再排除其C85種C .函數(shù)f (x)有 3 個極大值,2 個極小值D .函數(shù)f (x)有 4 個極大值,3 個極小值【解利用函數(shù)取得極大值的充分條件即可得出.f

4、(x)有 2 個極大值,3 個極小值B .函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，則(【點睛】第 3 頁共 19 頁當(dāng)X2x X3時，f (x)0 當(dāng) X3X X4時，f (x)0, X4X X5時，f (x)0, X5X 時，f (x)0,且 f(xj0 , f(X2)0 , f (X3)0, f(X4) 0 , f(X5) 0,函數(shù) f (X)在XX2, xX4處取得極大值.XXi,XX3, X X5處取得極小值.故選：B.4*本題考查極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，熟練掌握函數(shù)取得極大值的充分條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6 .把函數(shù)y sinx(x R)的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，再把所得圖6【答

5、案】A【解析】先根據(jù)左加右減的性質(zhì)進行平移,1為原來的丄倍，得到答案.2【詳解】解：向左平移個單位，即以x代x，得到函數(shù)y sin(x ),666 1再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2 倍，即以一x代X，得到函數(shù):象上所2 倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的圖象所表示的函數(shù)是A .ysinX26C .ysinX26By sin 2x 3Dy sin 2x 3再根據(jù)橫坐標(biāo)伸長到原來的2 倍時w的值變【點第4頁共 19 頁21y sin x 26故選：A.【點睛】第 3 頁共 19 頁本題主要考查三角函數(shù)的變換，屬于基礎(chǔ)題.117 用數(shù)學(xué)歸納法證明-n 1 n 2邊需添加的項是()11 1A 3k

6、1 3k 2 3k 311C 3k 3 k 1【答案】Bk 1項的變化，實質(zhì)是研究式子變化的規(guī)律，起始項與終止項是什么，中間項是如何變化的8有3位男生，3位女生和1位老師站在一起照相，要求老師必須站中間，與老師相鄰的不能同時為男生或女生，則這樣的排法種數(shù)是（）11244【解析】先排與老師相鄰的：C；C3A；18，再排剩下的：A，所以共有18A；432種排法種數(shù)，選 D.點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法:（1）元素相鄰的排列問題一一捆邦法”；（2）元素相間的排列問題一一“插空法”；（3）元素“除序法”；（4）帶有 含”與不含”至多”至少”的排列組合問題一一間接法.9VABC中，C 90,M

7、是BC的中點，若sin BAM1，則sin BAC3( ).15時，從n k到n k 1，不等式左3n 61 1 2B 3k 1 3k 2 3k 31D 3k 3k,n k 1時，左邊起始項與終止項，比較差距，得結(jié)果詳解：n k時，左邊為111k1 k 23k,1n k 1時，左邊為k11 11 12k 33k3k 13k 2 3k 3,所以左邊需添加的項是111 11 13k 1 3k 23k 3 k 13k 1 3k 223k 3， 選點睛：研究n k到nA 144【答案】DB. 216C 288D 432有順序限制的排列問題【解析】分析：分析nB.第6頁共 19 頁1A -2B CD .

8、衛(wèi)3333【答案】D第7頁共 19 頁2c【解析】 作出圖象，設(shè)出未知量，在ABM中，由正弦定理可得sin AMB，進a而可得 cos2c，在 RT ACM 中，還可得cos3a【詳解】，建立等式后可得a ,2b，再由勾股定理可得c 3b，即可得出結(jié)論.解：如圖，設(shè)AC b,ABc,CMMB在ABM中,由正弦定理可得sin BAMsin AMB代入數(shù)據(jù)解得sinAMB2c3I故 coscos(2AMC)sinsin AMB 冬3a 而在 RT ACM 中，cosACAMb2cQ2b2AMB)化簡可得 a42 24a b422 24b (a 2b )0,解之可得a .2b，再由勾股定理可得a2b

9、2c2，聯(lián)立可得c .3b,bX。第8頁共 19 頁本題考查正弦定理的應(yīng)用， 涉及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及勾股定理的應(yīng)用，屬于中檔題.第9頁共 19 頁y 4eln x1生xXi，整理得y%x 4e 4eln x1,%4x0所以4e2x。22，整理得x0214e 4elnx1e2ex022eln x012x 2el nx1，則g x2x02ex2 x.exX0在0e上單調(diào)遞減，在10 .若存在實數(shù)a,b，使不等式4elnx ax b 2x22對一切正數(shù)x都成立(其 中 e 為自然對數(shù)的底數(shù))，則實數(shù)a的最小值是().A .2eB. 4C.eD . 2【答案】B_2【解析】分別畫出 f(x) 4e

10、lnx 和 g(x) 2x 2 的圖象，依題意存在實數(shù)a,b，使不等式4eIn xaxb 2x22對一切正數(shù)x都成立，要求參數(shù)a的最小值，臨界條件 即為直線2 2I:y ax b恰為函數(shù) f(x) 4elnx 和 g(x) 2x 2 的公切線， 設(shè)函數(shù) g(x) 2x 2 上 的切點A x0,y0， 則a 4xo，即轉(zhuǎn)化為求 人，設(shè)函數(shù) f (x) 4el nx 的切點為B為， , 表示出切線方程，即可得到方程組，整理得到X。22elnxo1 0，令2g xoxo2elnx。1，求出令x即可得解；【詳解】解：分別畫出 f (x) 4elnx 和 g(x) 2x22 的圖象，依題意存在實數(shù)a,b

11、，使不等式4el nx ax b 2x22對一切正數(shù)x都成立，要求參數(shù)a的最小值，臨界條件即為 直線l:y ax b恰為函數(shù) f(x) 4elnx 和 g(x) 2x 2 的公切線，設(shè)函數(shù) g(x) 2x 2 上 的切點A x0,y0,Xo0,g (x) 4x，所以a 4x。,22所以切線方程為y2x)24xxx,整理得y4xx2x2,同時直線I也是函數(shù) f (x) 4elnx 的切線，設(shè)切點為B Xi,yi，所以切線方程為X。第10頁共 19 頁e,上單調(diào)遞增，故gX0 ming P10, 顯然g 1 0,故當(dāng) X)1 時a 4xo4取得最小值，即實數(shù)a的最小值為 4,【點睛】 本題考查利用

12、導(dǎo)數(shù)分析恒成立問題，兩曲線的公切線問題，屬于中檔題.二、填空題6 2 611.已知多項式(1 2x) a。aiX a?x . aeX，則a。 _ ,a3 _ .【答案】11601 /第11頁共 19 頁【解析】由二項式定理及用賦值法求展開式項的系數(shù)得：令X 0得：a。(1 2 0)61 ,(1 2x)6展開式含 x3的項為 C；( 2x)3160，即 a3160，得解.【詳解】解：因為(1 2x)6aa1X a?x2. a6X6,令x 0得:第12頁共 19 頁ao (12 0)61 ,多項式(1 2x)6展開式含 x3的項為 C6( 2x)3160 ,即 a3160 ,故答案為：1;160.

13、【點睛】本題考查了二項式定理及用賦值法求展開式項的系數(shù)，屬于中檔題.12 已知an是等差數(shù)列，公差d不為零.若a2,a3,a?成等比數(shù)列，且2印a?1,貝 H a1 _, d _ 2【答案】-,13【解析】根據(jù)題意列出關(guān)于 印、d的方程組，即可解出這兩個量的值【詳解】2由題可得，(印2d)d)(a16d)，故有3q2d0,2又因為2厲a?1，即3a1d 1,所以d 1,a1.3【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，解題的關(guān)鍵就是根據(jù)題意列出關(guān)于首項和公差的方程組進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題13 在厶 ABC 中，內(nèi)角 A , B, C 所對的邊分別為 a, b, c,已知A,b4的面

14、積為13，則 c=2【答案】1、3cosB即可【詳解】由題,Sbc si nA22，則c 1-52貝V a2b2c22bc cos A.63223乎4,即a 2,6 , ABC【解析】 先利用三角形面積公式可得1, 3 ,再利用余弦定理求得a2，進而求得第13頁共 19 頁實數(shù) a _ , b _.21【答案】丄33【解析】 分別令x 0，令 x b 解方程組可得解.【詳解】解：因為函數(shù)f(x)3x2x又 fx f a(xb)(xa)2,令x0得：f 0f aba22a3a又a0,所以b a 1,令 xb 得：f bf a0,所以32a a32b b0, 聯(lián)立得：23a 5a 20,2a -3

15、a 1解得：3或1b 0b3經(jīng)檢驗得 a 1,b 0不合題意,21即a,b33所以cos B2 2 , 2a c b2ac2 2221,3花2 213因為B0,，所以B3，故答案為:(1)1邁(2)3【點睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查利用余弦定理求角14 設(shè)函數(shù)f(X)x3x2.已知a 0,且f (x)f(a) (x b)(x a)2(x R)，則第14頁共 19 頁2 1故答案為：-,丄.33【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的綜合運用及解方程組，屬于中檔題.15 已知 4 張卡片上分別寫有數(shù)字1, 2, 3, 4,從這 4 張卡片中隨機抽取 2 張，則取出的 2 張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)

16、的概率為 _ 【答案】3【解析】 解：從 4 張卡片中任意抽取兩張，則所有的情況有得cos取得最小值，即可求得的最大值，得到結(jié)果【詳解】r rr r因為兩非零向量a, b滿足V2,a b 1,設(shè)向量a,b夾角為， 由于非零向量a,b以及；b 構(gòu)成一個三角形，設(shè)b x,x 3，當(dāng)且僅當(dāng)x 3時，cos取得最小值E,F T2所以的最大值是-，故答案是.【點睛】該題考查的是有關(guān)向量夾角的大小問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有余弦定理,基本不等式，注意當(dāng)什么情況下取得最值， 再者就是需要明確角取最大值的時候其余弦 值最小.4 =石種，那么取出的 2 張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)，說明奇數(shù)=奇數(shù)+偶數(shù)，

17、故有，因此利用古典概型可2知概率為316 已知兩不共線的非零向量a，v滿足a 2,1,則向量a與v夾角的最大值是【答案】【解析】設(shè)向量a, b夾角為,由余弦定理求得cosx234x再利用基本不等式求則由余弦定理可得1x24x cos,解得x23cos -4x第15頁共 19 頁17 .若函數(shù)f(x) x(l nx 1) ax b(a,b R)在1,e存在零點(其中 e 為自然對數(shù)的底數(shù))，則a22b的最小值是 _【答案】e2b【解析】依題意可得方程lnx - a 1，在1,e上存在解，要使a22b取得最小值，xb則 bo,令g x lnx，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對b分類討論，分別求出xa2

18、2b的最小值，即可得解，【詳解】解：依題意f(x) x(l nx 1) ax b(a,b R)在1,e存在零點，即方程bx(l nx 1) ax b 0在1,e存在解，即lnx - a 1，在1,e存在解，要使a22bx取得最小值，則 b0，令g x lnxb，貝U g x -，xx x x1 b x bb當(dāng)b 1時，g x220在1,e上恒成立，即g x ln x在xxa 1xg e，即b a1 1- ex1,e上單調(diào)遞增，所以g 11 bba-,e所以a22b2b2;當(dāng)1be即e b 1時，當(dāng)1xb時，gx 0,當(dāng)b xe時，g x0,即g x在1,b上單調(diào)遞減，在b, e上單調(diào)遞增，所以

19、gxmingbInb 1，g 1b,g e1 - e所以lnb1a 1 maxb,1- eln b amaxb,1- e12所以a2bln2b 2b,令tlnb，則bet,t2t2et所以t 2 tte0,第16頁共 19 頁所以t在0,1上單調(diào)遞減, 所以2a 2btmax02當(dāng)be時，貝91 g x -x_b2xx2xb0在1,e上恒成立， 即gxib *ln x在x第17頁共 19 頁1,e上單調(diào)遞減,題.三、解答題3218 .已知函數(shù)f(x) x 3ax x在x 1處取到極值(1)求實數(shù)a的值，并求出函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù) f(x)在1,2上的最大值與最小值及相應(yīng)的x的

20、值.111【答案】(1) a ,函數(shù) f (x)在,1單調(diào)遞減，在，和(1,333增(2)f (x)max2，此時x 2;f (x)min1，此時X 1【解析】(1)先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系即可求出,(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出.【詳解】解: (1 )由條件得f (x)3x26ax 1,又 f (x)在x1處取到極值，故f (1) 2 6a 0,解得1 a.a22bb2-2e2b丄b2e2be2e4e2$b e2 2e2綜上可得2b的最小值為故答案為:【點本題考查函數(shù)考查分析問題解決問題的能力及數(shù)形結(jié)合思想,屬于難)上單調(diào)遞第18頁共 19 頁3此時f (x)3x22x

21、 1(3x 1)(x1)10，12第19頁共 19 頁11由f (x)0，解得 x -或x 1，由f(X)0，解得x 1,311因此，函數(shù) f(x)在-，1單調(diào)遞減，在，和(1,)上單調(diào)遞增-(2)由(1)可知函數(shù) f (x)在1,1單調(diào)遞增，在-遞增此時x 2;f (x)minmin f( 1), f (1)1此時x 1.【點睛】 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19 .一個盒子里裝有m個均勻的紅球和n個均勻的白球，每個球被取到的概率相等,已知從盒子里一次隨機取出11 個球，取到的球是紅球的概率為，從盒子里一次隨機取3出 2 個球，取到的球至少有101

22、個是白球的概率為一.11(1)求m,n的值；(2)若一次從盒子里隨機取出個球，求取到的白球個數(shù)不小于紅球個數(shù)的概率42【答案】(1)m 4, n 8 (2)55【解析】(1)設(shè)該盒子里有紅球m個，白球n個，利用古典概型、對立事件概率計算公式列出方程組，能求出m,n.(2) 一次從盒子里任取 個球，取到的白球個數(shù)不少于紅球個數(shù) ”分為一次從盒子 里任取個球，取到的白球個數(shù)為 個”和一次從盒子里任取 個球，取到的白球個數(shù) 為 2 個，紅球數(shù)為 1 個”，由此能求出取到的白球個數(shù)不小于紅球個數(shù)的概率.【詳解】(1)設(shè)該盒子里有紅球m個，白球n個根據(jù)題意得11解方程組得m 4, n 8, 故紅球有 4

23、 個，白球有 8 個.1,1單調(diào)遞減，在(1,2)單調(diào)-故f (x)maxmax1-,f(2) 2,解:第20頁共 19 頁(2)設(shè) 一次從盒子里任取 3 個球，取到的白球個數(shù)不少于紅球個數(shù)”為事件A.設(shè)一次從盒子里任取 3 個球，取到的白球個數(shù)為2 個，紅球個數(shù)為 1 個”為事件C，則故P(A) P(B) P(C)55因此，從盒子里任取 3 個球，取到的白球個數(shù)不少于紅球個數(shù)的概率為【點睛】 本題考查實數(shù)值、概率的求法，考查古典概型、對立事件概率計算公式、互斥事件概率 加法公式等基礎(chǔ)知識，考查理解能力、運算求解能力，屬于中檔題.20 .如圖，在矩形 ABC 中，AB 3,AD 6, E 在線

24、段 AD 上，DE 2，現(xiàn)沿 BE(2)若A在平面 BCDE 上的射影 0 在直線 BC 上，求直線AC與平面ABE所成角的正弦值【答案】(1)見解析(2)色衛(wèi)16【解析】(1)取CM 2BM，再根據(jù)平幾知識證FM /A B, DM /BE，最后根據(jù)線面平行判定定理以及面面平行判定定理及其性質(zhì)得結(jié)果；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求出平面ABE法向量，根據(jù)向量夾角公式求夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角關(guān)系得結(jié)果【詳解】設(shè)一次從盒子里任取 3 個球，取到的白球個數(shù)為3 個”為事件B，則P(B)C121455P(C)CsC3122855，4255第21頁共 19 頁D(1)平面ABE，AB

25、FM /A B, Q FM因為BMBC32 DE, BM /DEDM /BE,Q DM平面ABE，BEFM平面(2)取CM 2BM,因為CF 2FA，所以平面ABE，所以FM /平面ABE，四邊形BMDE為平行四邊形，即平面A BE，所以DM /平面ABE，因為I DM M , FM , DM平面FDM，所以平面FDM /平面ABE，因為DFFDM，所以FD平面A BE以 O 為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)t,3,0), A(0,0, m)(m0），因為|AB| 3,| AE| 4 t2m29,(4設(shè)平面ABE法向量為 n(x,y,z),r uur則nBEr uuur0,n BA0

26、,即n (4,3,0)0,n0,tt)299,m43.74即4x 3y0,3x 7z 0,令x 14313,z?,n(1,uuu因為AC，所以COS15門G。,r uuun, A C15 9443 2163丁73、1416因此直線AC與平面ABE所成角的正弦值為【點睛】33不16本題考查線面平行判定定理以及利用空間向量求線面角，考查綜合分析論證與求解能第22頁共 19 頁第23頁共 19 頁力，屬中檔題221.已知A X1,1,B X2,y2為拋物線y 16x上的相異兩點，且 捲x?8.(1) 若直線AB過M (2,0)，求AB的值；(2) 若直線AB的垂直平分線交x軸與點p，求PAB面積的最

27、大值.【答案】(1)4.15( 2)256 69【解析】(1)設(shè)直線AB的方程為ty x m，聯(lián)立拋物線方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，以及弦長公式，計算可得所求值；(2)設(shè)線段AB的中點為 M(x。，yo)，運用中點坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，以及直 線方程，可得p的坐標(biāo)，設(shè)出直線AB的方程代入拋物線方程，運用韋達定理，以及弦長公式和點到直線的距離 公式，化簡整理，結(jié)合基本不等式可得所求最大值.【詳解】解：(1 )當(dāng)垂直于x軸或斜率為零時，顯然不符合題意，所以可設(shè)直線AB的方程為ty x m,2 2代入方程y 16x，得y 16ty 16m0(16t)24 16m0故y1y216tyiy21

28、6m2 2 2x x%y2y w 2*%8X28?16 1621結(jié)合m 2解得t.4因此，|AB|助t2|y y2J1 t2J(16t)24 16m 45.(2)設(shè)線段AB的中點為 M (Xo, yo),第24頁共 19 頁由題意知x 12,y o是的一個解,且點P坐標(biāo)為(12,0).即 x 卷(y yo) 4 ,84(64 yo2)(64 yo2),點P(12,o)到線段AB的距離h |PM I . (12一4)L(。一yo)2,64一yo2,g 1 1，- -1 1 一 64 %264 yo2128 2y2、3256 rSABP二 hgAB|：#(64yo)(64yo)Jg(- -v628M239當(dāng)且僅當(dāng)64 y 128 2yo，即 yo-3時，上式取得等號.3所以ABP面積的最大值為-46.9【點睛】本題考查直線的垂直平分線經(jīng)過定點的證明，考查三角形面積的表達式的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運用，屬于中檔題.222 .已知函數(shù)f (x) In x 2x mx(m R).(1) 若函數(shù) f (x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)m的最大值；則X