矩陣分析解讀

1、偶然在網(wǎng)上看到此篇文章，很受啟發(fā)，轉(zhuǎn)載過來共勉。課程，不管你從行列式入手仍是直接從入手，從一開始就充滿著莫名其妙：比如說，在全國(guó)一樣匚科院系教學(xué)中應(yīng)用最普遍的同濟(jì)線性代數(shù)教材（此刻到r第四版），一上來就介紹逆序數(shù)那個(gè)怪僻概念，然后用逆序數(shù)給出行列式的一個(gè)極不直觀的概念，接著是一些簡(jiǎn)直犯傻的行列式性質(zhì)和習(xí)題一一把這行乘一個(gè)系數(shù)加到另一行上，再把那一列減過來，折騰得那叫一個(gè)喧鬧，可確實(shí)是壓根看不出那個(gè)東西有嘛用。大多數(shù)像我一樣資質(zhì)平麻的學(xué)生到那個(gè)地址就有點(diǎn)犯壁：連這是個(gè)什么東西都模模糊糊的，就開始鉆火圈演出r,這未免太無(wú)厘頭了吧！于是開始有人逃課，更多的人開始抄作業(yè)。這下就中招r,因?yàn)槠浜蟮倪M(jìn)展能

2、夠用一句峰回路轉(zhuǎn)來形容，緊隨著那個(gè)無(wú)皿頭的行列式的，是一個(gè)一樣無(wú)厘頭可是偉大的無(wú)以更加的家伙的出場(chǎng)一一矩陣來廣！連年以后，我才明白，當(dāng)教師犯傻似地用中括號(hào)把一堆傻r吧嘰的數(shù)括起來，而且不緊不慢地說：“那個(gè)東西叫做矩陣”的時(shí)候，我的數(shù)學(xué)生涯掀開r何等悲壯辛酸、慘無(wú)人道的一幕！自那以后，在幾乎所有跟“學(xué)問”二字略微沾點(diǎn)邊的東西里，矩陣那個(gè)家伙從不缺席。關(guān)于我那個(gè)沒能一次界定線性代數(shù)的笨蛋來講，矩陣?yán)洗蟮牟徽?qǐng)自來每每弄得我灰頭土臉,頭破血流。長(zhǎng)期以來，我在閱讀中一見矩陣，就猶如阿Q見到假洋鬼子，揉揉額角就繞道走。事實(shí)上，我并非是特例。一樣工科學(xué)生初學(xué)線性代數(shù)，通常都會(huì)感到困難c這種情形在國(guó)內(nèi)外皆然。

3、瑞典數(shù)學(xué)家LarsGarding在其名著EncounterwithMathematics中說：“若是不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，此刻看來就和文盲差不多.但是“依照現(xiàn)行的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，線性代數(shù)是通過公理化來表述的，它是第二代數(shù)學(xué)模型，這就帶來了教學(xué)上的困難?！笔聦?shí)上，當(dāng)咱們開始學(xué)習(xí)線性代數(shù)的時(shí)候，不知不覺就進(jìn)入r“第二代數(shù)學(xué)模型”的范圍當(dāng)中，這意味著數(shù)學(xué)的表述方式和抽象性有了一次全面的進(jìn)化.關(guān)于從小一直在“第一代數(shù)學(xué)模型”，即以有效為導(dǎo)向的、具體的數(shù)學(xué)模型中學(xué)習(xí)的咱們來講，在沒有并明確告知的情形下進(jìn)行如此猛烈的paradigmshift,不感到困難才是奇怪的。大部份工科學(xué)生，往往是在學(xué)習(xí)

4、了一些后繼課程，如數(shù)值分析、數(shù)學(xué)計(jì)劃、矩陣論以后，才慢慢能夠明白得和熟練運(yùn)用線性代數(shù)。即便如此，很多人即便能夠很熟練地以線性代數(shù)為：具進(jìn)行科研和應(yīng)用工作，但關(guān)于很多這門課程的初學(xué)者提出的、看上去是很基礎(chǔ)的問題卻并非清楚。比如說：一、矩陣究竟是什么東西？二、向量能夠被以為是具有n個(gè)彼此獨(dú)立的性質(zhì)（維度）的對(duì)象的表示，矩陣又是什么呢？3、咱們?nèi)羰且詾榫仃囀且唤M列（行）向量組成的新的夏合向量的展開式，那么什么緣故這種展開式具有如此普遍的應(yīng)用？專門是，什么緣故恰恰二維的展開式如此有效？4、若是矩陣中每一個(gè)元素又是一個(gè)向量，那么咱們?cè)僬归_一次，變成三維的立方陣，是不是更有效？五、矩陣的乘法規(guī)那么究竟什么

5、緣故如此規(guī)定？什么緣故如此一種怪異的乘法規(guī)那么卻能夠在實(shí)踐中發(fā)揮如此龐大的功效？很多看上去似乎是完全不相關(guān)的問題，最后竟然都?xì)w結(jié)到矩陣的乘法，這莫非不是很奇異的情形？莫非在矩陣乘法那看上去莫名其妙的規(guī)那么下面，包括著世界的某些木質(zhì)規(guī)律？若是是的話，這些木質(zhì)規(guī)律是什么？六、行列式究竟是一個(gè)什么東西？什么緣故會(huì)有如此怪異的計(jì)算規(guī)那么？行列式與其對(duì)應(yīng)方陣本質(zhì)上是什么關(guān)系？什么緣故只有方陣才有對(duì)應(yīng)的行列式，而一樣矩陣就沒有(不要感覺那個(gè)問題很注，若是必要，針對(duì)mxn矩陣概念行列式不是做不到的，之因此不做，是因?yàn)闆]有那個(gè)必要，可是什么緣故沒有那個(gè)必要)？而且，行列式的計(jì)算規(guī)那么，看上去跟矩陣的任何計(jì)算規(guī)

6、那么都沒有直觀的聯(lián)系，什么緣故又在很多方面決定矩陣的性質(zhì)？莫非這一切僅是巧合？7、矩陣什么緣故能夠分塊計(jì)算？分塊”算這件情形看上去是那么隨意，什么緣故竟是可行的？八、關(guān)于矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)弊AT.有(AB)T=BTAT,關(guān)于矩陣求逆運(yùn)算AT,有兩個(gè)看上去完全沒有什么關(guān)系的運(yùn)算，什么緣故有著類似的性質(zhì)？這僅僅是巧合嗎？九、什么緣故說PTAP取得的矩陣與A矩陣“相似”？那個(gè)地址的“相似”是什么意思？10、特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量的本質(zhì)是什么？它們概念就讓人很驚訝，因?yàn)锳x=、x,一個(gè)諾大的矩陣的效應(yīng),竟然只是相當(dāng)于一個(gè)小小的數(shù)人,確實(shí)有點(diǎn)奇異。但何至于用“特點(diǎn)”乃至“本征”來界定？它們刻劃的究竟是什么？如此的一類

7、問題，常常讓利用線性代數(shù)已經(jīng)很連年的人都感到為難。就仿傀大人而對(duì)小小孩的尋根究底，最后總會(huì)迫不得已地說“就如此吧，到此為止”一樣，面對(duì)如此的問題，很多內(nèi)行們最后也只能用：“確實(shí)是這么規(guī)定的，你同意而且記住就好”來敷衍。但是，如此的問題若是不能取得回答，線性代數(shù)關(guān)于咱們來講確實(shí)是一個(gè)粗魯?shù)?、不講道理的、莫名其妙的規(guī)那么集合，咱們會(huì)感到，自己并非是在學(xué)習(xí)一門學(xué)問，而是被不由分說地“拋到”一個(gè)強(qiáng)制的世界中，只是在考試的皮鞭揮動(dòng)之下被迫趕路,全然無(wú)法領(lǐng)略其中的美好、和諧與統(tǒng)一。直到連年以后，咱們已經(jīng)覺察這門學(xué)問如此的有效，卻仍然會(huì)超級(jí)迷惑：怎么這么恰巧？我以為這是咱們的線性代數(shù)教學(xué)中直覺性喪失的后果。

8、上述這些涉及到“如何能”、“怎么會(huì)”的問題，僅僅通過純粹的數(shù)學(xué)證明來回答，是不能令提問者中意的.比如,若是你通過一樣的證明方.XX證/矩陣分塊運(yùn)算確實(shí)可行，那么這并非能夠讓提問者的疑惑取得解決。他們真正的困惑是：矩陣分塊運(yùn)算什么緣故竟然是可行的？究竟只是恰巧，仍是說這是由矩陣這種對(duì)象的某種本質(zhì)所必然決定的？若是是后者，那么矩陣的這些本質(zhì)是什么？只要對(duì)上述那些問題略加考慮，咱們就會(huì)發(fā)覺，所有這些問題都不是唯純依托數(shù)學(xué)證明所能夠解決的。像咱們的教科書那樣，凡事用數(shù)學(xué)證明，最后培育出來的學(xué)生，只能熟練地利用工具，卻欠缺真正意義上的明白得。自從1930年代法國(guó)布爾巴基學(xué)派興起以來，數(shù)學(xué)的公理化、系統(tǒng)性

9、描述已經(jīng)取得龐大的成功，這使得咱們同意的數(shù)學(xué)教育在嚴(yán)謹(jǐn)性上大大提高。但是數(shù)學(xué)公理化的一個(gè)備受爭(zhēng)議的副作用，確實(shí)是一樣數(shù)學(xué)教育中直覺性的喪失。數(shù)學(xué)家們似乎以為直覺性與抽象性是矛盾的，因此本不猶豫地捐軀掉前者。但是包括我本人在內(nèi)的很多人都對(duì)此表示疑心，咱們不以為直覺性與抽象性必然彼此矛盾，專門是在數(shù)學(xué)教育中和數(shù)學(xué)教材中，幫忙學(xué)生成立直覺，有助于它們明白得那些抽象的概念，進(jìn)而明白得數(shù)學(xué)的木質(zhì)。反之，若是一味注重形式上的嚴(yán)格性，學(xué)生就仿佛被迫進(jìn)行鉆火劇演出的小白鼠一樣，變成枯燥的規(guī)那么的奴隸。關(guān)于線性代數(shù)的類似上述所提到的一些直覺性的問題，兩年多來我斷斷續(xù)續(xù)地反豆試探/四、五次，為此閱讀r好幾本國(guó)內(nèi)外

10、線性代數(shù)、數(shù)值分析、代數(shù)和數(shù)學(xué)通論性書籍，其中像前蘇聯(lián)的名著數(shù)學(xué)：它的內(nèi)容、方式和意義、龔昇教授的線性代數(shù)五講、前面提到的EncounterwithMathematics（數(shù)學(xué)概觀）和ThomasA.Garrity的數(shù)學(xué)拾遺都給我專門大的啟發(fā)°只是即便如此，我對(duì)那個(gè)主題的熟悉也經(jīng)歷/好幾回自我否定。比如以前試探的一些結(jié)論曾經(jīng)寫在自己的blog里，可是此刻看來，這些結(jié)論大體上都是錯(cuò)誤的。因此打算把自己此刻的有關(guān)明白得比較完整地記錄下來，一方面是因?yàn)槲腋杏X此刻的明白得比較成熟廣，能夠拿出來與他人探討，向他人請(qǐng)教。另一方面，若是以后再有進(jìn)一步的熟悉，把此刻的明白得給推翻廣，那此刻寫的那個(gè)s

11、napshot也是很成心義的。今天先談?wù)剬?duì)線形空間和矩陣的幾個(gè)核心概念的明白得,這些東西大部份是憑著自己的明白得寫出來的，大體上不抄書，可能有錯(cuò)誤的地址，希望能夠被指出。但我看望做到直覺，也確實(shí)是說能把數(shù)學(xué)背后說的實(shí)質(zhì)問題說出來,第一說說空間（space）,那個(gè)概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的命根子之一，從拓?fù)淇臻g開始，一步步往上加概念，能夠形成很多空間。線形空間其實(shí)仍是比較低級(jí)的，若是在里面概念J'范數(shù)，就成J'賦范線性空間。賦范線性空間知足完備性，就成/巴那赫空間：賦范線性空間中概念角度，就有r內(nèi)積空間，內(nèi)積空間再知足完備性，就取得希爾伯特空間。總之，空間有很多種。你若是去看某種空間的數(shù)學(xué)

12、概念，大致都是：存在一個(gè)集合，在那個(gè)集合上概念某某概念，然后知足某些性質(zhì)，就能夠夠被稱為空間。這未免有點(diǎn)奇怪，什么緣故要用“空間”來稱號(hào)一些如此的集合呢？大伙兒將會(huì)看到，其實(shí)這是很有道理的C咱們一樣人最熟悉的空間，亮無(wú)疑問確實(shí)是咱們生活在其中的（依照牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀）的三維空間，從數(shù)學(xué)上說，這是一個(gè)三維的歐幾里德空間，咱們先不管那么多，先看看咱們熟悉的如此一個(gè)空間有些什么最大體的特點(diǎn)。認(rèn)真想一想咱們就會(huì)明白，那個(gè)三維的空間：L由很多（事實(shí)上是無(wú)窮多個(gè)）位置點(diǎn)組成：2 .這些點(diǎn)之間存在相對(duì)的關(guān)系：3 .能夠在空間中概念長(zhǎng)度、角度：4 .那個(gè)空間能夠容納運(yùn)動(dòng)，那個(gè)地址咱們所說的運(yùn)動(dòng)是從一個(gè)點(diǎn)到另一

13、個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)（變換），而不是微積分意義上的“持續(xù)”性的運(yùn)動(dòng)°上面的這些性質(zhì)中，最最關(guān)鍵的是第4條，第一、2條只能說是空間的基礎(chǔ)，不算是空間特有的性質(zhì)，凡是討論數(shù)學(xué)問題，都得有一個(gè)集合，大多數(shù)還得在那個(gè)集合上概念一些結(jié)構(gòu)（關(guān)系），并非是說有這些就算是空間。而第3條太特殊,其他的空間不需要具有，史不是關(guān)鍵的性質(zhì)。只有第4條是空間的本質(zhì)，也確實(shí)是說，容納運(yùn)動(dòng)是空間的本偵特點(diǎn)。熟悉到這些，咱們就能夠夠把咱們關(guān)于三維空間的熟悉擴(kuò)展到其他的空間。事實(shí)上，不管是什么空間，都必需容納和支持在其中發(fā)生的符合規(guī)那么的運(yùn)動(dòng)（變換）。你會(huì)發(fā)覺，在某種空間中往往會(huì)存在一種相對(duì)應(yīng)的變換，比如拓?fù)淇臻g中有拓?fù)渥儞Q，

14、線性空間中有線性變換.仿射空間中有仿射變換，其實(shí)這些變換都只只是是對(duì)應(yīng)空間中許諾的運(yùn)動(dòng)形式罷伙I此只要明白，“空間”是容納運(yùn)動(dòng)的一個(gè)對(duì)象集合，而變換那么規(guī)定了對(duì)應(yīng)空間的運(yùn)動(dòng)。下面咱們來看看線性空間。線性空間的概念任何一本書上都有，可是既然咱們承認(rèn)線性空間是個(gè)空間，那么有兩個(gè)最大體的問題必需第一取得解決，那確實(shí)是：L空間是一個(gè)對(duì)象集合，線性空間也是空間，因此也是一個(gè)對(duì)象集合。那么線性空間是什么樣的對(duì)象的集合？或說，線性空間中的對(duì)象有什么一起點(diǎn)嗎？2,線性空間中的運(yùn)動(dòng)如何表述的？也確實(shí)是，線性變換是如何表示的？咱們先來回答第一個(gè)問題，回答那個(gè)問題的時(shí)候?qū)嶋H上是不用拐彎抹角的，能夠直截r當(dāng)?shù)慕o出答案

15、:線性空間中的任何一個(gè)對(duì)象，通過選取基和坐標(biāo)的方法，都能夠表達(dá)為向量的形式。通常的向量空間我就不說r,舉兩個(gè)不、那么一般的例子：一、L1是最高次項(xiàng)不大于n次的多項(xiàng)式的全部組成一個(gè)線性空間，也確實(shí)是說，那個(gè)線性空間中的每一個(gè)對(duì)象是一個(gè)多式°若是咱們以xO,xl,.,xn為基，那么任何一個(gè)如此的多項(xiàng)式都能夠表達(dá)為一組n+1維向量，其中的每一個(gè)分量ai其實(shí)確實(shí)是多項(xiàng)式中工（i-D項(xiàng)的系數(shù)。值得說明的是，基的選取有多種方法，只要所選取的那一組基線性無(wú)關(guān)就能夠夠。這耍用到后面提到的概念廣，因此那個(gè)地址先不說,提一下罷九L2是閉區(qū)間a,b上的n階持續(xù)可微函數(shù)的全部，組成一個(gè)線性空間。也確實(shí)是說，

16、那個(gè)線性空間的每一個(gè)對(duì)象是一個(gè)持續(xù)函數(shù)。關(guān)于其中任何一個(gè)持續(xù)函數(shù),依照趣爾斯特拉斯定理，必然能夠找到最高次項(xiàng)不大于n的多項(xiàng)式函數(shù)，使之與該持續(xù)函數(shù)的差為0,也確實(shí)是說，完全相等。如此就把問題歸結(jié)為L(zhǎng)1r。后面就不用再重且r。因此說，向量是很厲害的，只要你找到適合的基，川向生能夠表示線性空間里任何一個(gè)對(duì)象,那個(gè)地頷首大有文章，因?yàn)橄蛄勘砻嫔现皇且涣袛?shù),可是其實(shí)由于它的有序性，因此除這些數(shù)木身攜帶的信息之外，還能夠在每一個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)位置上攜帶信息。什么緣故在程序設(shè)計(jì)中數(shù)組最簡(jiǎn)單，卻又威力無(wú)窮呢？全然緣故就在于此。這是另一個(gè)問題r,那個(gè)地址就不說下面來回答第二個(gè)問題，那個(gè)問題的回答會(huì)涉及到線性代數(shù)的一

17、個(gè)最全然的問題c線性空間中的運(yùn)動(dòng)，被稱為線性變換也確實(shí)是說，你從線性空間中的一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到任意的另外一個(gè)點(diǎn)，都能夠通過一個(gè)線性轉(zhuǎn)變來完成。那么，線性變換如何表示呢？很成心思，在線性空間中，當(dāng)你選定一組基以后，不僅能夠用一個(gè)向量來描述空間中的任何一個(gè)對(duì)象，而且能夠用矩陣來描述該空間中的任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)（變換）。而使某個(gè)對(duì)象發(fā)生對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)的方式，確實(shí)是用代表那個(gè)運(yùn)動(dòng)的矩陣，乘以代表那個(gè)對(duì)象的向量。簡(jiǎn)而言之，在線性空間當(dāng)選定基以后，向量刻畫對(duì)象，矩陣刻畫對(duì)象的運(yùn)動(dòng)，用矩陣與向量的乘法施加運(yùn)動(dòng)是的，矩陣的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的描述若是以后有人問你矩陣是什么，那么你就能夠夠響亮地告知他，矩陣的木質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的描述C可是何等成

18、心思啊,向量木身不是也能夠看成是n工1矩陣嗎？這實(shí)在是很奇異，一個(gè)空間中的對(duì)象和運(yùn)動(dòng)竟然能夠用相類同的方式表示。能說這是巧合嗎？若是是巧合的話，那可真是幸運(yùn)的巧合！能夠說.線性代數(shù)中大多數(shù)奇異的性質(zhì)，均與那個(gè)巧合有直接的關(guān)系。接著明白得矩陣，上面說“矩陣是運(yùn)動(dòng)的描述”，到此刻為止，仿佛大伙兒都還沒什么意見。可是我相信早晚會(huì)有數(shù)學(xué)系身世的網(wǎng)友來拍板轉(zhuǎn)。因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)那個(gè)概念，在數(shù)學(xué)和物理里是跟微積分聯(lián)系在一路的C咱們學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候，總會(huì)有人照本宣科地告知你，初等數(shù)學(xué)是研究常量的數(shù)學(xué),是研究靜態(tài)的數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)是變量的數(shù)學(xué)，是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)。大伙兒口口相傳，差不多人人都明白這句話。可是真明白這句話說的

19、是什么意思的人，仿佛也不多。簡(jiǎn)而言之，在咱們?nèi)祟惖捏w會(huì)里，運(yùn)動(dòng)是一個(gè)持續(xù)進(jìn)程，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，就算走得最快的光，也是需要一個(gè)時(shí)刻來逐點(diǎn)地通過AB之間的途徑，這就帶來/持續(xù)性的概念。而持續(xù)那個(gè)情形，若是不概念極限的概念，全然就說明不廣。占希臍人的數(shù)學(xué)超級(jí)強(qiáng)，但確實(shí)是缺乏極限觀念，因此說明不r運(yùn)動(dòng)，被芝諾的那些聞名悖論（飛箭不動(dòng)、飛毛腿阿喀琉斯跑只是烏龜?shù)人膫€(gè)悖論）弄得死去活來。因?yàn)檫@篇文章不是講微積分的，因此我就不多說有愛好的讀者能夠去看看齊民友教授寫的重溫微枳分。我確實(shí)是讀/這本書開頭的部份，才明白“高等數(shù)學(xué)是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)”這句話的道理。只是在我那個(gè)明白得矩陣的文豪里，“運(yùn)動(dòng)”的概念不是微積分

20、中的持續(xù)性的運(yùn)動(dòng)，而是剎時(shí)發(fā)生的轉(zhuǎn)變.比如那個(gè)時(shí)刻在A點(diǎn)，通過一個(gè)“運(yùn)動(dòng)”，一下子就“躍遷”到/B點(diǎn)，其中不需要通過A點(diǎn)與B點(diǎn)之間的任何一個(gè)點(diǎn)。如此的“運(yùn)動(dòng)”，或說“躍遷”，是違背咱們?nèi)粘５捏w會(huì)的。只是解一點(diǎn)量子物理常識(shí)的人，就會(huì)立刻指出，量子(例如電子)在不同的能量級(jí)軌道上跳躍，確實(shí)是剎時(shí)發(fā)生的，具有如此一種躍遷行為。因此說，自然界中并非是沒有這種運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，只只是宏觀上咱們觀看不到?？墒遣还茉趺凑f，“運(yùn)動(dòng)”那個(gè)詞用在那個(gè)地址，仍是容易產(chǎn)生歧義的，說得更確切些，應(yīng)該是“躍遷”。因此這句話能夠改成：.矩陣是線性空間里躍遷的描述”?？墒侨绱苏f又太物理，也確實(shí)是說太具體，而不足數(shù)學(xué)，也確實(shí)是說不夠抽

21、象。因此咱們最后換用一個(gè)正牌的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)變換，來描述那個(gè)情形。如此一說，大伙兒就應(yīng)該明白/，所謂變換，其實(shí)確實(shí)是空間里從一個(gè)點(diǎn)(元素/對(duì)象)到另一個(gè)點(diǎn)(元素/對(duì)象)的躍遷。比如說，拓?fù)渥儞Q,確實(shí)是在拓?fù)淇臻g里從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的躍遷。再比如說，仿射變換，確實(shí)是在仿射空間里從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的躍遷。附帶說一下，那個(gè)仿射空間跟向量空間是親兄弟。做運(yùn)算機(jī)圖形學(xué)的朋友都明白，盡管描述一個(gè)三維對(duì)象只需要三維向量，但所有的運(yùn)算機(jī)圖形學(xué)變換矩陣都是依4的。說其緣故，很多書上都寫著“為了利用中方便”，這在我眼里簡(jiǎn)直確實(shí)是企圖蒙混過關(guān)。真正的緣故，是因?yàn)樵谶\(yùn)算機(jī)圖形學(xué)里應(yīng)用的圖形變換,事實(shí)上是在仿射空間而不是向量

22、空間中進(jìn)行的：想一想看，在向量空間里相一個(gè)向量平行移動(dòng)以后仍是相同的那個(gè)向量，而現(xiàn)實(shí)世界等長(zhǎng)的兩個(gè)平行線段固然不能被以為同一個(gè)東西，因此運(yùn)算機(jī)圖形學(xué)的生存空間事實(shí)上是仿射空間:而仿射變換的矩陣表示全然確實(shí)是4x1的。有愛好的讀者能夠去看運(yùn)算機(jī)圖形學(xué)一一幾何1：具算法詳解譏一旦咱們明白得“變換”那個(gè)概念，矩陣的概念就變成：矩陣是線性空間里的變換的描述到那個(gè)地址為止，咱們終于取得r一個(gè)看上去比較數(shù)學(xué)的概念。只是還要多說幾句。教材上一樣是這么說的，在一個(gè)線性空間V里的一個(gè)線性變換T,被選定一組基以后，就能夠夠表示為矩陣。因此咱們還要說清楚到底什么是線性變換,什么是基，什么叫選定一組基。線性變換的概念

23、是很簡(jiǎn)單的，設(shè)有一種變換T，使得關(guān)于線性空間V中間任何兩個(gè)不相同的對(duì)象x和y,和任意實(shí)數(shù)a和中有：T(ax+by)=aT(x)+bT(y),那么就稱T為線性變換。概念都是這么寫的，可是光看概念還得不到直覺的明白得。線性變換究竟是一種什么樣的變換？咱們適才說心變換是從空間的一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)點(diǎn)，而線性變換，確實(shí)是從一個(gè)線性空間V的某一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)線性空間需的另一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。這句話里包括著一層意思，確實(shí)是說一個(gè)點(diǎn)不僅能夠變換到同一個(gè)線性空間中的另一個(gè)點(diǎn)，而且能夠變換到另一個(gè)線性空間中的另一個(gè)點(diǎn)去。不管你怎么變，只要變換前后都是線性空間中的對(duì)象，那個(gè)變換就必然是線性變換，也就必然能夠用一個(gè)非奇異

24、矩陣來描述。而你用一個(gè)非奇異矩陣去描述的一個(gè)變換，必然是一個(gè)線性變換。有的人可能要問，那個(gè)地址什么緣故要強(qiáng)調(diào)非奇異矩陣？所謂非奇異，只對(duì)方陣成心義，那么非方陣的情形怎么樣？那個(gè)提及來就會(huì)比較冗長(zhǎng)了,最后要把線性變換作為一種映射，而且討論其映射性質(zhì)，和線性變換的核與像等概念才能完全講清楚。以下咱們只探討最經(jīng)常使用、最有效的一種變換，確實(shí)是在同一個(gè)線性空間之內(nèi)的線性變換C也確實(shí)是說，下面所說的矩陣，不作說明的話，確實(shí)是方陣，而且是非奇異方陣。學(xué)習(xí)一門學(xué)問，最重要的是把握骨干內(nèi)容，迅速成立關(guān)于這門學(xué)問的整體概念，沒必要一開始就考慮所有的細(xì)枝末節(jié)和特殊情形，自亂陣腳。什么是基呢？那個(gè)問題在后面還要大講

25、一番，那個(gè)地址只要把基看成是線性空間里的坐標(biāo)系就能夠夠r。注意是坐標(biāo)系,不是坐標(biāo)值，這二者可是一個(gè)“對(duì)立矛盾統(tǒng)一體”。如此一來，“選定一組基”確實(shí)是說在線性空間里選定一個(gè)坐標(biāo)系,好，最后咱們把矩陣的概念完善如下：“矩陣是線性空間中的線性變換的一個(gè)描述。在一個(gè)線性空間中，只要咱們選定一組基，那么關(guān)于任何一個(gè)線性變換，都能夠用一個(gè)確信的矩陣來加以描述?！泵靼椎眠@句話的關(guān)鍵,在于把“線性變換”與“線性變換的一個(gè)描述”區(qū)別開C一個(gè)是那個(gè)對(duì)象，一個(gè)是對(duì)那個(gè)對(duì)象的表述。就仿佛咱們熟悉的面向?qū)ο缶幊讨?，一個(gè)對(duì)象能夠有多個(gè)引用，每一個(gè)引用能夠叫不同的名字，但都是指的同一個(gè)對(duì)象。若是還不形象，那就干脆來個(gè)很俗的

26、類比。比如有一頭豬,你打算給它拍照片，只要你給照相機(jī)選定r一個(gè)鏡頭位置,那么就能夠夠給這頭豬拍一張照片。那個(gè)照片能夠看成是這頭豬的一個(gè)描述，但只是一個(gè)片面的的描述,因?yàn)閾Q一個(gè)鏡頭位置給這頭豬拍照，能取得一張不同的照片，也是這頭豬的另一個(gè)片面的描述。所有如此照出來的照片都是這同一頭豬的描述，可是又都不是這頭豬本身。一樣的，關(guān)于一個(gè)線性變換,只要你選定一組基，那么就能夠夠找到一個(gè)矩陣來描述那個(gè)線性變換。換一組基，就取得一個(gè)不同的矩陣°所有這些矩陣都是這同一個(gè)線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。可是如此的話，問題就來r若是你給我兩張豬的照片,我怎么明白這兩張照片上的是同一頭豬呢？一樣的

27、，你給我兩個(gè)矩陣，我怎么明白這兩個(gè)矩陣是描述的同一個(gè)線性變換呢？若是是同一個(gè)線性變換的不同的矩陣描述，那確實(shí)是木家兄弟r,見面不熟悉，豈不成r笑話°好在，咱們能夠找到同一個(gè)線性變換的矩陣兄弟們的一個(gè)性質(zhì)，那確實(shí)是：假設(shè)矩陣A與B是同一個(gè)線性變換的兩個(gè)不同的描述（之因此會(huì)不同，是因?yàn)檫x定r不同的基，也確實(shí)是選定不同的坐標(biāo)系），那么必然能找到一個(gè)非奇異矩陣p,使得a、B之間知足如此的關(guān)系：A=P-1BP：線性代數(shù)略微物一點(diǎn)的讀者一下就看出來，這確實(shí)是相似矩陣的概念。沒錯(cuò)，所謂相似矩陣，確實(shí)是同一個(gè)線性變換的不同的描述矩陣，依照那個(gè)概念，同一頭豬的不同角度的照片也能夠成為相似照片。俗r一點(diǎn)

28、，只是能讓人明白。而在上面式子里那個(gè)矩陣p,其實(shí)確實(shí)是a矩陣所基于的基與B矩陣所基于的基這兩組基之間的一個(gè)變換關(guān)系。關(guān)于那個(gè)結(jié)論，能夠用一種超級(jí)直覺的方式來證明（而不是一樣教科書上那種形式上的證明），若是有時(shí)刻的話，我以后在biog里補(bǔ)充那個(gè)證明。那個(gè)發(fā)覺過重要r。原先一族相似矩陣都是同一個(gè)線性變換的描述??！難怪這么重要！I：科研究生課程中有矩陣論、矩陣分析等課程，其中講各類各樣的相似變換.比如什么相似標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)角化之類的內(nèi)容，都要求變換以后取得的那個(gè)矩陣與先前的那個(gè)矩陣式相似的，什么緣故這么要求？因?yàn)橹挥腥绱艘?，才能保證變換前后的兩個(gè)矩陣是描述同一個(gè)線性變換的：固然，同一個(gè)線性變換的不同矩

29、陣描述，從實(shí)際運(yùn)算性質(zhì)來看并非是不分好壞的。有些描述矩陣就比其他的矩陣性質(zhì)好得多。這很容易明白得，同一頭豬的照片也有美丑之分嘛，因此矩陣的相似變換能夠把一個(gè)比較丑的矩陣變成一個(gè)比較美的矩陣，而保證這兩個(gè)矩陣都是描述門司一個(gè)線性變換。如此一來，矩陣作為線性變換描述的一面，大體上說清楚可是，情形沒有那么荷服，或說，線性代數(shù)還有比這更奇異的性質(zhì)，那確實(shí)是，矩陣不僅能夠作為線性變換的描述，而且能夠作為一組基的描述而作為變換的矩陣，不但能夠把線性空間中的一個(gè)點(diǎn)給變換到另一個(gè)點(diǎn)去，而且也能夠把線性空間中的一個(gè)坐標(biāo)系（基）表?yè)Q到另一個(gè)坐標(biāo)系（基）去。而且，變換點(diǎn)與變換坐標(biāo)系，具有異曲同1：的成效C線性代數(shù)里

30、最有趣的微妙，就包括在其中c明白得r這些內(nèi)容，線性代數(shù)里很多定理和規(guī)那么會(huì)變得加倍清楚、直覺。第一來總結(jié)一下前臉部份的一些要緊結(jié)論：L第一有空間，空間能夠容納對(duì)象運(yùn)動(dòng)的。一種空間對(duì)應(yīng)一類對(duì)象。2 .有一種空間叫線性空間，線性空間是容納向量對(duì)象運(yùn)動(dòng)的。3 .運(yùn)動(dòng)是瞬時(shí)的，因此也被稱為變換c4 .矩陣是線性空間中運(yùn)動(dòng)（變換）的描述。5 .矩陣與向殳相乘，確實(shí)是實(shí)施運(yùn)動(dòng)（變換）的進(jìn)程。6,同一個(gè)變換，在不同的坐標(biāo)系下表現(xiàn)為不同的矩陣，可是它們的木質(zhì)是一樣的，因此本征值相同。下面讓咱們把視力集中到一點(diǎn)以改變?cè)蹅円酝创仃嚨姆绞健Ｔ蹅兠靼?，線性空間里的大體對(duì)象是向量。向量是這么表示的：al,a2,向,

31、.,an矩陣是這么表示的：all,a12,al3,.,aln,a21,a22,a23,.,a2n,.,anl,an2,an3,ann不用太伶俐，咱們就能夠看出來，矩陣是一組向量組成的。專門的，n維線性空間里的方陣是由n個(gè)n維向型組成的。咱們?cè)谀莻€(gè)地址只討論那個(gè)n階的、非奇異的方陣，因?yàn)槊靼椎盟_實(shí)是明白得矩陣的關(guān)鍵，它才是一樣情形，而其他矩陣都是意外，都是不能不對(duì)付的討厭狀況，大能夠放在一邊。那個(gè)地址多一句嘴，學(xué)習(xí)東西要抓住主流，不要糾纏于旁支末節(jié)。很可借咱們的教材講義大多數(shù)都是把主線埋沒在細(xì)節(jié)中的，弄得大伙兒還沒明白怎么回事就先被灌虻了。比如數(shù)學(xué)分析，明明最要緊的觀念是說，一個(gè)對(duì)象能夠表達(dá)為

32、無(wú)窮多個(gè)合理選擇的對(duì)象的線性和，那個(gè)概念是貫穿始終的，也是數(shù)學(xué)分析的精華。可是講義里自始至終不講這句話，終歸確實(shí)是讓你做吉米多維奇，把握一大堆解偏題的技術(shù)，記住各類特殊情形，兩類中斷點(diǎn)，怪異的可微和可積條件（誰(shuí)還記得柯西條件、迪里赫萊條件.？），最后考試一過，一切忘光光。要我說，還不如反更強(qiáng)調(diào)這一個(gè)情形，把它深深刻在頭腦里，別的東西忘就忘J，真碰者問題了,再查數(shù)學(xué)手冊(cè)嘛，何須因小失大呢？言歸正傳，若是一組向量是彼此線性無(wú)關(guān)的話，那么它們就能夠夠成為氣宇那個(gè)線性空間的一組基，從而事實(shí)上成為一個(gè)坐標(biāo)系體系，其中每一個(gè)向量都躺在一根坐標(biāo)軸上，而且成為那根坐標(biāo)軸上的大體氣宇玳位（長(zhǎng)度1）。此刻到r關(guān)鍵

33、的一步?？瓷先ゾ仃嚧_實(shí)是由一組向量組成的，而且若是矩陣非奇異的話（我說r,只考慮這種情形），那么組成那個(gè)矩陣的那一組向量也確實(shí)是線性無(wú)關(guān)的心也就能夠夠成為氣宇線性空間的一個(gè)坐標(biāo)系。結(jié)論：矩陣描述了一個(gè)坐標(biāo)系,“慢著！”，你嚷嚷起來r,“你那個(gè)躺子！你不是說過，矩陣確實(shí)是運(yùn)動(dòng)嗎？怎么這會(huì)矩陣又是坐標(biāo)系r?”嗯，因此我說到了關(guān)鍵的一步。我并無(wú)騙人，之伙此矩陣又是運(yùn)動(dòng)，又是坐標(biāo)系，那是因?yàn)橐弧斑\(yùn)動(dòng)等價(jià)于坐標(biāo)系變換”，對(duì)不起，這話其實(shí)不準(zhǔn)確，我只是想讓你印象深刻。準(zhǔn)確的說法是：“對(duì)象的變換等價(jià)于坐標(biāo)系的變換”?；颍骸肮潭ㄗ鴺?biāo)系下一個(gè)對(duì)象的變換等價(jià)于固定對(duì)象所處的坐標(biāo)系變換.”說白r確實(shí)是：“運(yùn)動(dòng)是相對(duì)

34、的?！弊屧蹅兿胍幌?，達(dá)到同一個(gè)變換的結(jié)果，比如把點(diǎn)（1,1）變到點(diǎn)（2,3）去，你能夠有兩種做法。第一，坐標(biāo)系不動(dòng)，點(diǎn)動(dòng)，把（1,1）點(diǎn)挪到（2,3）去。第二，點(diǎn)不動(dòng)，變坐標(biāo)系，讓x軸的氣宇（單位向量）變成原先的1/2,讓y軸的氣宇（單位向量）變成原先的1/3,如此點(diǎn)仍是那個(gè)點(diǎn)，可是點(diǎn)的坐標(biāo)就變成（2,3）方式不同，結(jié)果一樣。從第一個(gè)方式來看，那確實(shí)是把矩陣看成是運(yùn)動(dòng)描述，矩陣與向量相乘確實(shí)是使向量（點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)的進(jìn)程.在那個(gè)方式下，Ma=b的意思姥：“向量a通過矩陣M所描述的變換，變成了向最b”而從第二個(gè)方式來看，矩陣M描述了一個(gè)坐標(biāo)系，姑且也稱之為M.那么：Ma=b的意思是：“有一個(gè)向量，它在

35、座標(biāo)系M的氣宇下取得的氣宇結(jié)果向量為a,那么它在座標(biāo)系I的氣宇下，那個(gè)向量的氣字結(jié)果是b.”那個(gè)地址的I是指單位矩陣，確實(shí)是主對(duì)角線是1,其他為零的矩陣.而這兩個(gè)方式本偵上是等價(jià)的,我看望你務(wù)必明白得這一點(diǎn)，因?yàn)檫@是本篇的關(guān)鍵。正因?yàn)槭顷P(guān)健，因此我得再說明一下。在M為坐標(biāo)系的意義下,若是把X放在一個(gè)向量a的前面,形成Ma的樣式，咱們能夠以為這是對(duì)向量a的一個(gè)環(huán)境聲明。它相當(dāng)于是說：“注意廣！那個(gè)地址有一個(gè)向:S，它在座標(biāo)系M中氣宇，取得的氣宇結(jié)果能夠表達(dá)為a,可是它在別的坐標(biāo)系里氣宇的話，就會(huì)取得不同的結(jié)果。為明確，我把M放在前面，讓你明白，這是該向量在座標(biāo)系M中氣宇的結(jié)果c”那么咱們?cè)倏垂铝?/p>

36、零的向量b：b多看幾遍，你沒看出來嗎？它其實(shí)不是b,它是：lb也確實(shí)是說：,在單位坐標(biāo)系，也確實(shí)是咱們通常說的直角坐標(biāo)系I中，有一個(gè)向量，氣宇的結(jié)果是b"而Ma=Ib的意思確實(shí)是說：“在M坐標(biāo)系里量出來的向量a,跟在I坐標(biāo)系里生出來的向量b,其實(shí)全然確實(shí)是一個(gè)向地??！"這哪里是什么乘法計(jì)算，全然確實(shí)是身份識(shí)別嘛。從那個(gè)意義上咱們從頭明白得一下向量。向量那個(gè)東西客觀存在，可是要把它表示出來，就要把它放在一個(gè)坐標(biāo)系中去氣宇它，然后把氣宇的結(jié)果（向量在各個(gè)坐標(biāo)軸上的投影值）按必然順序列在一路，就成門啟們平常所見的向量表示形式。你選擇的坐標(biāo)系（基）不同，得出來的向量的表示就不同。向

37、量仍是那個(gè)向量，選擇的坐標(biāo)系不同，其表示方式就不同c因此，按道理來講，每寫出一個(gè)向量的表示，都應(yīng)該聲明一下那個(gè)表示是在哪個(gè)坐標(biāo)系中氣宇出來的。表示的方式，確實(shí)是Ma，也確實(shí)是說，有一個(gè)向量，在M矩陣表示的坐標(biāo)系中氣宇出來的結(jié)果為a。咱們平常說一個(gè)向量是2357T,隱含著是說,那個(gè)向量在I坐標(biāo)系中的氣宇結(jié)果是2357T,因此，那個(gè)形式反而是一種簡(jiǎn)化r的特殊情形。注意到，m矩陣表示出來的那個(gè)坐標(biāo)系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，一樣存在這組向量是在哪個(gè)坐標(biāo)系下氣宇而成的問題。也確實(shí)是說，表述一個(gè)矩陣的一樣方式，也應(yīng)該要指明其所處的基準(zhǔn)坐標(biāo)系。所謂M.實(shí)際上是I'L也確實(shí)是說，M中那組基的氣宇是在I坐標(biāo)系中得H；的°從那個(gè)視角來看，XXN也不是什么矩陣乘法了，而是聲明了一個(gè)在M坐