圓中最值問(wèn)題10種求法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓中最值的十種求法在圓中求最值是中考的常見(jiàn)題型，也是中考中的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題，有的學(xué)生對(duì)求最值問(wèn)題感到束手無(wú)策，主要原因就是對(duì)求最值的方法了解不多，思路不夠靈活.現(xiàn)對(duì)在圓中求最值的方法，歸納如下：一、利用對(duì)稱(chēng)求最值1如圖：O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在O上，OAOB，AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值. 分析：延長(zhǎng)AO交O于D，連接CD交O于P，即此時(shí)PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的長(zhǎng).解：延長(zhǎng)AO交O于D，連接CD交OB于P連接PA，過(guò)O作OECD，垂足為E在OCD中，因?yàn)锳OC=60° 所以D=C=30

2、6;在RtODE中 cos30°= 即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值為2.二、利用垂線(xiàn)段最短求最值2如圖：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3, 2)，A的半徑為1，P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，PQ切A于點(diǎn)Q，則PQ長(zhǎng)度的最小值為 . 分析：連接AQ、PA，可知AQPQ. 在RtPQA中，PQ=，求PQ的最小值轉(zhuǎn)化為求PA的最小值，根據(jù)垂線(xiàn)段最短易求PA的最小值為2.解：連接PA、QA 因?yàn)镻Q切A于點(diǎn)Q 所以PQAQ 在RtAPQ中，PQ2=PA2AQ2即PQ=又因?yàn)锳(3,2) ，根據(jù)垂線(xiàn)段最短。 所以PA的最小值為2所以PQ的最小值=三

3、、利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短求最值3如圖：圓錐的底面半徑為2，母線(xiàn)PB的長(zhǎng)為6，D為PB的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)D，則螞蟻爬行的最短路程為( )AB2C3D3分析：因?yàn)閳A錐的側(cè)面是曲面螞蟻從A爬行到點(diǎn)D，不好求爬行的最小值，要把立體圖形展開(kāi)為平面圖形，再利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短來(lái)解決問(wèn)題.解：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖如圖2，連接AB根據(jù)題意得：弧AC的長(zhǎng)為2r=2·2=4，PA=6因?yàn)?= 所以n=120° 即APB=60° 又因?yàn)镻A=PB所以PAB是等邊三角形 因?yàn)镈為PB中點(diǎn) 所以ADPB PD=DB=3在RtPAD中，AD=，故選C.四、利用直徑是

4、圓中最長(zhǎng)的弦求最值4如圖：半徑為2.5的O中，直徑AB的兩側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，已知BC：CA=4：3，點(diǎn)P在劣弧AB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線(xiàn)，與PB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)Q，（1）求P的正切值；（2）當(dāng)CPAB時(shí)，求CD和CQ的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取得最大值，并求出此時(shí)CQ的長(zhǎng).分析：易證明ACBPCQ，所以，即CQ=PC. 當(dāng)PC最大時(shí)，CQ最大，而PC是O的動(dòng)弦，當(dāng)PC是O的直徑時(shí)最大. 五、利用弧的中點(diǎn)到弦的距離最大求最值5如圖：已知O的半徑為2，弦BC的長(zhǎng)為2，點(diǎn)A為弦BC所對(duì)優(yōu)弧上任意一點(diǎn)，(B、C兩點(diǎn)除外)，求ABC面積的最大值.分析：設(shè)BC邊上的高為h因?yàn)镾ABC=BC h

5、=×2h=h當(dāng)h最大時(shí)SABC最大，當(dāng)點(diǎn)A在優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)h最大. 解：當(dāng)點(diǎn)A為優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，作ADBC于D連接BO 即BD=CD=在RtBDO中，OD2=OB2BD2=22()2=1所以O(shè)D=1 所以AD=2+1=3所以SABC=×BC·AD=×2×3=3即ABC面積的最大值為3六、利用周長(zhǎng)一定時(shí)，圓的面積最大求最值6用48米長(zhǎng)的籬笆材料，在空地上圍成一個(gè)綠化場(chǎng)地，現(xiàn)有兩種方案：一種是圍成正方形的場(chǎng)地，另一種是圍成圓形場(chǎng)地，試問(wèn)選用哪一種方案，圍成的場(chǎng)地面積較大？并說(shuō)明理由.分析：周長(zhǎng)一定的幾何圖形，圓的面積最大.解：圍成圓形場(chǎng)地的面積較大設(shè)S

6、1、S2分別表示圍成的正方形場(chǎng)地、圓形場(chǎng)地的面積則S1=()2=144 S2=·()2=因?yàn)? 所以所以=144 所以S2S1 所以應(yīng)選用圍成圓形場(chǎng)地的方案面積較大七、利用判別式求最值7如圖：在半徑為1的O中，AB是弦，OMAB，垂足為M，求OM+AB的最大值.分析：可設(shè)AM=x，把OM用x的代數(shù)式表示出來(lái)，構(gòu)造關(guān)于x的一元二次方程，然后利用判別式來(lái)求最值.解：設(shè)AM=x，在RtOAM中OM=所以O(shè)M+AB=+2x=a整理得：5x24ax+(a21)=0因?yàn)?(4a)24×5×(a21)0即a25 所以a所以O(shè)M+AB的最大值為八、利用一條弧所對(duì)的圓周角大于圓外角

7、求最值8如圖：海邊立有兩座燈塔A、B，暗礁分布在經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的弓形(弓形的弧是O的一部分)區(qū)域內(nèi)，AOB=80°，為避免觸礁，輪船P與A、B的張角APB的最大值為 . 分析：連接AC，易知ACB=AOB=40°，又因?yàn)锳CBP，所以P的最大值為40°.解：如圖：連接AC，根據(jù)圓周角定理可知ACB=AOB=×80°=40°又因?yàn)锳CBP 即APB40°所以APB的最大值為40°九、利用經(jīng)過(guò)O內(nèi)一定點(diǎn)P的所有弦中，與OP垂直的弦最短來(lái)求最值9如圖：O的半徑為5cm，點(diǎn)P為O內(nèi)一點(diǎn)，且OP=3cm，則過(guò)點(diǎn)P的弦AB長(zhǎng)度的最小值為 cm.分析：過(guò)P作ABOP，交O于A、B，則AB的長(zhǎng)最小. 解：在RtOAP中，AP=所以AB=2AP=2×4=8所以AB的最小值為8十、利用經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)與圓心的直線(xiàn)與O的兩個(gè)交點(diǎn)與點(diǎn)P的距離最大或最小求最值10如圖：點(diǎn)P為O外一點(diǎn)，PQ切O于點(diǎn)Q，O的半徑為3cm，切線(xiàn)PQ的長(zhǎng)為4cm，則點(diǎn)P與O上各點(diǎn)的連線(xiàn)長(zhǎng)度的最大值為 ，最小值為 .分析：過(guò)P、O兩點(diǎn)作直線(xiàn)交O于A、B，則PA的長(zhǎng)度最大