大一高數(shù)知識點-重難點整理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 基礎(chǔ)知識部分&1.1初等函數(shù)一、函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義 函數(shù)是從量的角度對運動變化的抽象表述，是一種刻畫運動變化中變化量相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。 設(shè)有兩個變量x與y，如果對于變量x在實數(shù)集合D內(nèi)的每一個值，變量y按照一定的法則都有唯一的值與之對應(yīng)，那么就稱x是自變量，y是x的函數(shù) ，記作y=f（x），其中自變量x取值的集合D叫函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。 2、函數(shù)的表示方法 （1）解析法 即用解析式（或稱數(shù)學(xué)式）表示函數(shù)。如y=2x+1, y=x，y=lg(x+1),y=sin3x等。 便于對函數(shù)進行精確地計算和深入分析。 （2）列表法 即

2、用表格形式給出兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法。 便于差的某一處的函數(shù)值。 （3）圖像法 即用圖像來表示函數(shù)關(guān)系的方法 非常形象直觀，能從圖像上看出函數(shù)的某些特性。 分段函數(shù)即當(dāng)自變量取不同值時，函數(shù)的表達式不一樣，如 隱函數(shù)相對于顯函數(shù)而言的一種函數(shù)形式。所謂顯函數(shù)，即直接用含自變量的式子表示的函數(shù)，如y=x²+2x+3，這是常見的函數(shù)形式。而隱函數(shù)是指變量x、y之間的函數(shù)關(guān)系式是由一個含x，y的方程F(x,y)=0給出的，如2x+y-3=0，等。而由2x+y-3=0可得y=3-2x，即該隱函數(shù)可化為顯函數(shù)。 參數(shù)式函數(shù)若變量x,y之間的函數(shù)關(guān)系是通過參數(shù)式方程給出的，這樣的函數(shù)稱為由參

3、數(shù)方程確定的函數(shù)，簡稱參數(shù)式方程，t稱為參數(shù)。 反函數(shù)如果在已給的函數(shù)y=f(x)中，把y看作自變量，x也是y的函數(shù)，則所確定的函數(shù)x=(y)叫做y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f¯¹(y)或y= f¯¹(x)(以x表示自變量).二、函數(shù)常見的性質(zhì)1、單調(diào)性（單調(diào)增加、單調(diào)減少）2、奇偶性（偶:關(guān)于原點對稱，f（-x）=f（x）；奇：關(guān)于y軸對稱，f（-x）=-f(x).）3、周期性（T為不為零的常數(shù)，f（x+T）=f（x），T為周期）4、有界性（設(shè)存在常數(shù)M0，對任意xD，有f(x)M,則稱f(x)在D上有界，如果不存在這樣的常數(shù)M，則稱f(x)在D上無

4、界。5、極大值、極小值6、最大值、最小值三、初等函數(shù) 1、基本初等函數(shù) 常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)共六大類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。（圖像、性質(zhì)詳見P10）2、復(fù)合函數(shù)如果y是u的函數(shù)y=f(u),而u又是x的函數(shù)u=(x)，且(x)的值域與f(x)的定義域的交非空，那么y也是x的函數(shù)，稱為由y=f(u)與u=(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(x)。3、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合構(gòu)成的，并且能用一個數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。四、函數(shù)關(guān)系舉例與經(jīng)濟函數(shù)關(guān)系式1、函數(shù)關(guān)系舉例2、經(jīng)濟函數(shù)關(guān)系式 （1）總成本函數(shù)總成本=固定成本+變動成本

5、 平均單位成本=總成本/產(chǎn)量 （2）總收益函數(shù)銷售總收益=銷售價格×產(chǎn)量 （3）總利潤函數(shù)總利潤=銷售總收益-總成本 （4）需求函數(shù)若其他因素不變，需求量Q=f(P)(P為產(chǎn)品銷售價格)&1.2函數(shù)的極限一、數(shù)列的極限 對于無窮數(shù)列an，當(dāng)項數(shù)n無限增大時，如果an無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱A為數(shù)列an的極限，記為，或當(dāng)n時，anA。 若數(shù)列an存在極限，也稱數(shù)列an收斂，例如，（C為常數(shù)）， 。 若數(shù)列an沒有極限，則稱數(shù)列an發(fā)散。 數(shù)列極限不存在的兩種情況： （1）數(shù)列有界，但當(dāng)n時，數(shù)列通項不與任何常數(shù)無限接近，如：； （2）數(shù)列無界，如數(shù)列n²。二、

6、當(dāng)x0時，函數(shù)f（x）的極限 如果當(dāng)x的絕對值無限增大（記作x）時，函數(shù)f(x)無限地接近一個確定的常數(shù)A，那稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x時的極限，記作，或當(dāng)x時，f(x) A。 單向極限定義 如果當(dāng)或時，函數(shù)f(x)無限接近一個確定的長壽湖A，那么稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)或時得極限，記作。三、當(dāng)XXo時，函數(shù)f（x）的極限1、當(dāng)XXo時，函數(shù)f(x)的極限定義 如果當(dāng)x無限接近Xo(記作XXo)時，函數(shù)f(x)無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)XXo時的極限，記作，或當(dāng)XXo時，f(x) A。2、當(dāng)XXo時，函數(shù)f(x)的左極限和右極限 如果當(dāng)XXo¯（或）時，函數(shù)f(x)無

7、限接近一個確定的常數(shù)A，則稱函數(shù)f(x)當(dāng)XXo時的左極限（右極限）為A，記作。四、無窮大與無窮小1、無窮大與無窮小的定義 如果當(dāng)XXo時，f(x)0，就稱f(x)當(dāng)XXo時的無窮小，記作；如果當(dāng)XXo時，f(x)的絕對值無限增大，就稱函數(shù)f(x)當(dāng)XXo時為無窮大，記作。其中，如果當(dāng)XXo時，f(x)向正的方向無限增大，就稱函數(shù)f(x)當(dāng)XXo時為正無窮大，記作；如果當(dāng)XXo時，f(x)向負(fù)的方向無限增大，就稱函數(shù)f(x)當(dāng)XXo時為負(fù)無窮大，記作。2、無窮小與無窮大的關(guān)系 在自變量的同一變化中，如果f(x)為無窮大，那么為無窮?。环粗?，如果f(x)為無窮小，那么為無窮大。 根據(jù)這個性質(zhì)，無

8、窮大的問題可以轉(zhuǎn)化為無窮小的問題。3、無窮小的性質(zhì) 性質(zhì)1：有限個無窮小的代數(shù)和為無窮?。?性質(zhì)2：有限個無窮小的乘積為無窮??； 性質(zhì)3：有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小。4、無窮小的比較 設(shè)a與b是自變量同一變化中的兩個無窮小，記作a=o(b)； (1)如果lim=0，則稱a是比b低階的無窮小； (2) 如果lim=, 則稱a是比b高階的無窮小； (3) 如果lim=c(c為非零的常數(shù)),則稱a是比b同階的無窮小。 特別的，當(dāng)c=1,即lim=1時，稱a與b是等階無窮小，記作ab。&1.3極限運算法則法則一 若lim u=A，lim v=B，則 lim(u±v)=lim u&

9、#177;lim v=A±B;法則二 若lim u=A，lim v=B，則 lim(u·v)=lim u·lim v=A·B；法則三 若lim u=A，lim v=B，且B0，則 lim=推論 若lim u=A，C為常數(shù)，kN，則 (1)lim C·u=C·lim u=C·A； (2)lim = =注 運用這一法則的前提條件是u與v的極限存在（在商的情況下還要求分母的極限不為零）。&1.4兩個重要極限一、 =1二、=e&1.5函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的概念1.函數(shù)在某點的連續(xù)性 若函數(shù)f(x)在點及其左右有

10、定義，且f(x)=f()，則稱函數(shù)f(x)在點處連續(xù)，為函數(shù)f(x)的連續(xù)點。 理解這個定義要把握三個要點： （1）f(x)要在點及其左右有定義； （2） f(x)要存在 （3）f(x)= f()。 增量 x=x- y= f(x)- f() 設(shè)函數(shù)f(x)在點及其左右有定義，如果當(dāng)自變量x在點處的增量x趨近于零時，相應(yīng)的函數(shù)增量y也趨近于零，即，則稱函數(shù)f(x)在點處連續(xù)，為f(x)的連續(xù)點。2.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性、連續(xù)函數(shù) 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間（a，b）上每一點上連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間（a，b）上連續(xù)。 如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上連續(xù)，就稱f(x)是這個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。二、連續(xù)

11、函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)函數(shù)的運算 如果兩個函數(shù)在某一點連續(xù)，那么它們的和、差、積、商（分母不為零）在這一點也連續(xù)。 設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，且，函數(shù)y=f(u)點處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)在點處也連續(xù)。2.初等函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。第二章 微分與導(dǎo)數(shù)&2.1導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y=f(x)在點處及其左右兩側(cè)的小范圍內(nèi)有定義，當(dāng)x0時，若得極限存在，則稱y=f(x)在點處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)y=f(x) 點處的導(dǎo)數(shù)，記作，還可記作y 。函數(shù)f(x)在點可導(dǎo)且f()=A等價于 ()和 ()都存在且等于A，即。根據(jù)這個定理，函數(shù)在某點的左、右導(dǎo)數(shù)只要有一個不存在，或者

12、雖然都存在但不相等，該點的導(dǎo)數(shù)就不存在。&2.2導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和基本公式一、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則設(shè)函數(shù)u=u(x)，v=v(x)都可導(dǎo)，則 （1）； （2），特別的，(k·u)=k·u,其中k為常數(shù)。 （3）若，則，特別的，其中k是常數(shù)。 推論 若函數(shù)，.，都可導(dǎo)，則 (1) ； (2) .若函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且f(x)0，則反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，或。二、導(dǎo)數(shù)的基本公式(1)，c為任意常數(shù)； (2) ,為任意非零實數(shù)；(3) ,a0且a1； (4) ；(5) ，a0且a1； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ； (10) ；(11

13、) ； (12) ；(13) ； (14) 。&2.3復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)求導(dǎo)法則一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)y=f(u)在u處可導(dǎo)，u=(x)在x處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(u(x)在x處可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為或?？梢?，復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。具體求導(dǎo)步驟如下：（1）引進中間變量u，將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=u(x)。（2）計算在將u=u(x)代入，表示成關(guān)于x的表達式。（3）計算u(x),若u(x)是基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)，直接求出u(x)。若u=u(x)仍然是復(fù)合函數(shù)，則繼續(xù)分解，重復(fù)上述步驟，直至求出u(x)。最后作

14、乘積即求得y。二、隱函數(shù)求導(dǎo)法則若需求因隱函數(shù)y在點處的導(dǎo)數(shù)值，具體求法是： （1）先由方程F（x，y）=0求出對應(yīng)于的函數(shù)值y=； （2）再求出，然后將，y=代入，所得數(shù)值即為。&2.4高階導(dǎo)數(shù) 函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記作或，。 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)地，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)稱為一階導(dǎo)數(shù)。求高階導(dǎo)數(shù)只需反復(fù)進行一階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)運算即可。&2.5函數(shù)的微分設(shè)函數(shù)y=f(x)在點處及其左右兩側(cè)的小范圍內(nèi)有定義，自變量x在點處有改變量，相應(yīng)的函數(shù)該變量為。若存在常數(shù)A，使得當(dāng)時，是比高階的無窮小，即，則稱函數(shù)y=f(x

15、)在點處可微，并稱為函數(shù)y=f(x)在點處的微分，記作dy。函數(shù)y=f(x)在點處可微與在點處可導(dǎo)等階，且dy。若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上沒一點都可微，則稱函數(shù) y=f(x)在區(qū)間I上可微。函數(shù)的微分可以寫成。根據(jù)函數(shù)y=f(x)的微分表達式、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運算法則，可得以下微分運算公式及法則：（1）d(c)=0（c為常數(shù)）（2）d(u(x)+c)=d(u(x)(c為常數(shù))（3）d(ku(x)=kd(u(x)(k為常數(shù))（4）d(u(x)±v(x)=d(u(x) ±d(v(x)（5）d(u(x)· v(x)=v(x)d(u（x）)+u（x）d(v(x)

16、（6）（7）如果函數(shù)y=f(u)對u可微，u=u(x)對x可微，則。我們把這個定理稱為微分形式不變性。&2.6函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值一、函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)： （1）如果，那么函數(shù)f(x)在I內(nèi)單調(diào)增加； （2）如果，那么函數(shù)f(x)在I內(nèi)單調(diào)減少。如果函數(shù)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)恒非負(fù)（恒非正），且使得=0的點只是一些孤立的點，那開區(qū)間I為函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間（單調(diào)減少區(qū)間）。二、函數(shù)的極值若函數(shù)f(x)在點處的一階導(dǎo)數(shù)值，則稱點為函數(shù)f(x)的駐點。若函數(shù)f(x)在點處可導(dǎo)，且是f(x)的極值點，則必是函數(shù)f(x)的駐點。極值存在的第一充分條件：

17、設(shè)函數(shù)f(x)只可能在有限的幾個點處不可導(dǎo)，點為f(x)的駐點或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點，當(dāng)x從點的左側(cè)變化到右側(cè)時：（1）如果一階導(dǎo)數(shù)變號，且從正號（負(fù)號）變化到負(fù)號（正號），則點為函數(shù)f(x)的極大值點（極小值點）；（2）如果一階導(dǎo)數(shù)不變號，則點不是函數(shù)f(x)的極值點。極值存在的第二充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在其駐點處二階可導(dǎo)。（1）若，則是函數(shù)f(x)的極大值點；（2）若，則是函數(shù)f(x)的極小值點。三、函數(shù)的最值閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值。最值可在區(qū)間內(nèi)部取得，也可在區(qū)間端點取得。結(jié)合最值與極值的關(guān)系，求函數(shù)f(x)在a，b上的最值的步驟如下：（1）求出函數(shù)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)所有可能的極值點的函數(shù)值（包括駐點、間斷點及導(dǎo)數(shù)不存在的點的函數(shù)值）；（2）求出區(qū)間點的函數(shù)值f(a)和f(b)；（3）將這些函數(shù)值進行比較其中最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲?。&