合工大電磁場與電磁波第6章答案教材

1、第6章習題答案6-1在Jr =1、； r =4、； 丁 =0的媒質(zhì)中，有一個均勻平面波，電場強度是E(z,t) = E m sin( , t kz)3假設f =150 MHz,波在任意點的平均功率流密度為0.265卩w/mF，試求:(1)該電磁波的波數(shù) k=?相速Vp =?波長冬=?波阻抗 二?(2) t=0 , z=0 的電場 E (0,0) = ?(3) 時間經(jīng)過0.gs之后電場E(0,0)值在什么地方？解：-rrX(1) k=J* = 2 兀(rad/m)cVp =c/. ； r =1.5 10 8 (m/s)=1 (m)k120n =60n (Q)V£r1 2 1II 2=

2、0.265 10on, Li2 / 0Y盡務= 1.00x10 (V/m) 時間在t = 0時刻之前0.1 口 S電場E(0,0)值在什么地方?二BE(0,0)=E mSin =8.66 10 (V/m)3(3) 往右移 z = vA t =15 m(4) 在O點左邊15 m處6-2 一個在自由空間傳播的均勻平面波，電場強度的復振幅是E =10 池 # °a10*y °2)ey 伏 / 米試求：(1)電磁波的傳播方向？(2) : (2§av電磁波的相速 Vp二？波長 棗=?頻率f二？(3) 磁場強度H二？(4) 沿傳播方向單位面積流過的平均功率是多少？解：(1)電

3、磁波沿Z方向傳播。 二Em(2)自由空間電磁波的相速 Vp=c=3 108 m/sco20=20?二=0.1(m)=10c 二2n3 109Hz17 4(20 人)i2o “ HE =265 10A(e 2 exe" ey)(A/m)*1* E E112Sav Re(E H)二 2 eA 265 10" ez(W/m2)6-3證明在均勻線性無界無源的理想介質(zhì)中，不可能存在 磁波。證？?'？ £ = -jkEoe'" =0,即不滿足 Maxwell 方程?不可能存在E =Eoe'kzez的均勻平面電磁波。E = E0ezez的均勻平

4、面電6-4在微波爐外面附近的自由空間某點測得泄漏電場有效值為1V/m,試問該點的平均電磁功率密度是多少？該電磁輻射對于一個站在此處的人的健康有危險嗎？根據(jù)美國國 家標準，人暴露在微波下的限制量為10 _2W/m不超過6分鐘，我國的暫行標準規(guī)定每8小時連續(xù)照射，不超過 3.8 X 10_ 2w/m2 o 解：把微波爐泄漏的電磁輻射近似看作是正弦均勻平面電磁波，它攜帶的平均電磁功率密度為-32Sav2.65 10 W/m 2377可見，該微波爐的泄漏電場對人體的健康是平安的。6-5在自由空間中，有一波長為12cm的均勻平面波，當該波進入到某無損耗媒質(zhì)時，其波長變?yōu)?cm且此時E = 31.41V

5、/m ,=0.125A/m。求平面波的頻率以及無損耗媒質(zhì)的7和Jr解：因為二 Jr 7,所以 S； r =(12/8)2 =9/4E冋又因為一 =120兀，所以一 a =H、片4r ( E V I =0.4443牛 1120兀H丿Jr =1 , r =2.25V運動，同時一個均勻平面波也6-6假設有一個點電荷在自由空間以遠小于光速的速度 沿V的方向傳播。試求該電荷所受的磁場力與電場力的比值解：設v沿z軸方向，均勻平面波電場為E,那么磁場為1H ezE%電荷受到的電場力為Fe = qE其中q為點電荷電量，受到的磁場力為Fm= qv B =q%vez H - - E - -qv % ； °

6、;E口 0史Ec故電荷所受磁場力與電場力比值為Fm = VFe C6-7 一個頻率為f =3GHz , ey方向極化的均勻平面波在了 = 2.5，損耗角正切值為102的非磁性媒質(zhì)中，沿正 ex方向傳播。(1 )求波的振幅衰減一半時，傳播的距離；(2 )求媒質(zhì)的波阻抗，波的相速和波長；(3)設在x =0處的E = 50sin 6兀況10、+二 ey，寫出H (x,t)的表示式。<3. 丿解：(1) tan = =10八，這是一個低損耗媒質(zhì)，平面波的傳播特性，除了有微弱的10，2 二 3 1092.5=0.49723X08損耗引起的衰減之外，和理想介質(zhì)的相同。其衰減常數(shù)為因為e ；-1/2，

7、所以|二啞=1.40mCt(2) 對低損耗媒質(zhì)，、/ ； = 120 二 I、2.5 =238.4 Q8相速 V - 1 - 3 101.90 10 8m/s卅 v;2.5波長二 v/f =0.0632(m) =6.32(cm)(3) -斗=99.33"08H (xf ° Q5xsin(6 二 109t - x)ez30 5 x=0.21e si n(6910 t _99.3x_3H)ez (A/m)6-8微波爐利用磁控管輸出的2.45GHz頻率的微波加熱食品，在該頻率上，牛排的等效求：復介電常數(shù)r=40 (1 0.3j)(1) 微波傳入牛排的穿透深度:?，在牛排內(nèi)8mm處

8、的微波場強是外表處的百分之幾?(2) 微波爐中盛牛排的盤子是發(fā)泡聚苯乙烯制成的，其等效復介電常數(shù)1.03( 1 -j0.3 10鼻)。說明為何用微波加熱時，牛排被燒熟而盤子并沒有被毀。21 1'3 )解：(1) 一丄2 a o V=0.0208m = 20.8mm82 3 10(2) 發(fā)泡聚苯乙烯的穿透深度328 102 二 2.45 10 9 0.3 10 .1.03 九可見其穿透深度很大，意味著微波在其中傳播的熱損耗極小，所以不會被燒毀。6-9海水的c -4S/m， ； r =81,=1，在其中分別傳播f 100MHz或f =10kHz的平面電磁波時，試求：，-? - ?Vp解：當

9、 f1= 100MHz 時一=8.88'cosa4當 f2 =10kHz 時，8.8 104故f2 =10kHz時，媒質(zhì)可以看成導體，可以采用近似公式a s? P s? J 1 cokaV2而fi = 1OOMHz時媒質(zhì)是半電介質(zhì)，不能采用上面的近似公式。(1)當 f1= 1OOMHz 時:- 2()2 - 仁 37.5(Nep/m).2 J( - pi0.149 108 (m/s)，1 = =0.149(m) i當f2 “OkHZ寸：2 & fc J= 0.397,2:0.397(Nep/m):0.397(rad/m)O51.58 10 (m/s)=15 . 8(m)6-10

10、 證明電磁波在良導電媒質(zhì)中傳播寸，場強每經(jīng)過一個波長衰減54.54dB證：在良導體中， 1，故 ?=P a因為 E = EoeP = E °扎所以經(jīng)過一個波長衰減-20lg 旦二-20lg(e=J =54.57(dB) E。，即即6-11 為了得到有效的電磁屏蔽，屏蔽層的厚度通常取所用屏蔽材料中電磁波的一個波 d = 2疵式中：是穿透深度。試計算(1) 收音機內(nèi)中頻變壓器的鋁屏蔽罩的厚度。(2) 電源變壓器鐵屏蔽罩的厚度。(3) 假設中頻變壓器用鐵而電源變壓器用鋁作屏蔽罩是否也可以？(鋁：二=3.72 10 7S/m , ； r=1 , Jr=1 ；鐵：；-107S/m , ； r

11、= 1 , -lr =104 , f = 465kHzo)(1) 鋁屏蔽罩厚度為(2)鐵屏蔽罩厚度為3465 10 4 107 =7.60 10*(m) =0.76(mm)3.72 10(3)d =2250 4 二 10104107=1.41 10(m) =1.41(mm)二 465 103 42 10八 104 10747 10 訕)*7(5)d 鋁=2 $7=7.33 10 (m) = 73(mm)2 50 4- 103.72 107用鋁屏蔽50Hz的電源變壓器需屏蔽層厚73mm太厚，不能用。用鐵屏蔽中周變壓器需屏蔽層厚14. 7m,故可以選用作屏蔽材料。證明，相同截6-12在要求導線的高

12、頻電阻很小的場合通常使用多股紗包線代替單股線。面積的N股紗包線的高頻電阻只有單股線的 證：設N股紗包中每小股線的半徑為 r，單股線的半徑為 R,貝U二R2二N二r2，即R= . Nr單股線其中二為電導率，為趨膚深度。N股紗包線的高頻電阻為rnR1rN6-13群速與相速的關(guān)系是V =VP式中1是相移常數(shù)，證明下式也成立dVpd dVpVg f證：由：=得d :V)d'=2 二 d () = - 2 d6-14判斷以下各式所表示的均勻平面波的傳播方向和極化方式(1) E 二 jE ejkzex jEeJkz(2) H =H - e"ey(出十=0)(3) E =Eoekzex -

13、 JEkzey(4) E 二 ekz( e。ex AE° eJ e)(A 為常數(shù)，：，0, 一二)(5) H =(且 eyex JAe 甌 ez)nn6 E z,t二 Ems in ，7E z,t=Emcos ， t-kz解：1 z方向，直線極化。2+ x方向，直線極化。3+ z方向，右旋圓極化'4+ z方向，橢圓極化。tkz)ex Em cos (， tkz)eyn兀Emsin (， t-kz) ex)ey445+ y方向，右旋圓極化6+ z方向，左旋圓極化7+ z方向，直線極化。6-15證明一個直線極化波可以分解為兩個振幅相等旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波。證:設沿z方向傳播的直

14、線極化波的電場矢量方向與ex方向夾角為T,J -尹 EMexJ_e上2T")e那么 E = E/cosfte x +sineey)e*_ E10? JH 、=(e ex- J e e y )e2 2=e右圓+ E左圓丄 . J 日、Jfi(e exJ e ey )e6-16 證明任意一圓極化波的坡印廷矢量瞬時值是個常數(shù)。 證：設沿 z 方向傳播 的圓極化波為E z,t = Em cos t-kz氓 Emcos t-kzey那么坡印廷矢量瞬時值E ezn2 2Em cos'7T I oo2Em COst 七ez6-17有兩個頻率相同傳播方向也相同的圓極化波，試問：(1) 如果旋

15、轉(zhuǎn)方向相同振幅也相同，但初相位不同，其合成波是什么極化？(2) 如果上述三個條件中只是旋轉(zhuǎn)方向相反其他條件都相同，其合成波是什么極化?(3) 如果在所述三個條件中只是振幅不相等，其合成波是什么極化波？解：(1)設巳二E°ex_ey)ej匕恥E2 二 Eo(ejey)ej2e$z貝 U E = E.j E2=Eo(eAjey)( ejq +ej<°)e4kz故合成波仍是圓極化波，且旋轉(zhuǎn)方向不變，但振幅變了。(2) 設 巳=E °ex jey)ej 1e4kzE2 二 E© - jey)e1e-kz那么 E 二 E E2 =2E°sxe 訓

16、e4kz故合成波是線極化波。(3) 設巳=E!o( ex jey)ej 1eAkzE2 =E2o(eey)ejiAAkz那么E洛E2珂巳。Ezo )? _je y)ej匕朮故合成波是圓極化波，且旋轉(zhuǎn)方向不變，但振幅變了。6-18 一個圓極化的均勻平面波，電場E 二 E (ex jey)垂直入射到z = 0處的理想導體平面。試求：(1) 反射波電場、磁場表達式；(2) 合成波電場、磁場表達式；(3) 合成波沿z方向傳播的平均功率流密度。解：(1)根據(jù)邊界條件(Ei Ej “0故反射電場為Er 二-E°ex jey)eJ zHr = : (-e z)%E= lAe 用(j ex-e y)

17、=Ei Er =2jEosin '-z ( e* jey)1-Re( E H21=2Re-2jE-01 12E)Sav-2E0COSzsin( -z)( ex jey)0(jexe)6-19當均勻平面波由空氣向理想介質(zhì)(S =1 ,二=0)垂直入射時，有84%勺入射功率輸入此介質(zhì)，試求介質(zhì)的相對介電常數(shù)岡為R 3 -“1 /-A一+3 -T V £r所以RJ% A+i2U -同丿又因為R =1 84% =0.16ez Ei (-ez) ErR = 0.4CQS-ZGj。乂 ey)21+0.4=5.44n 0.4 丿6-20當平面波從第一種理想介質(zhì)向第二種理想介質(zhì)垂直入射時，假

18、設媒質(zhì)波阻抗n2 >1，證明分界面處為電場波腹點；假設2：1，那么分界面處為電場波節(jié)點。證：在分界面處的總電場為E= Ei0 Er0二Ei0 ( 1 R ) , R = Er °/E i0, R的幅角即為分界面處入射電場與反射電場的相位差，假設相位差為零，那么形成電場波腹點，假設相位差180°,那么形成電場波節(jié)點。n _n解:R = 1,對于理想介質(zhì)，R為-1,1 :之間的實數(shù)。2 1假設2 .1,那么R 0 , R的幅角為零，表示分界面處入射電場與反射電場同相，形成電場波腹點；假設2 ： 1,那么R <0 , R的幅角為18O0,表示分界面處入射電場與反射電場

19、反相， 電場波節(jié)點。形成6-21均勻平面波從空氣垂直入射于一非磁性介質(zhì)墻上。解：(1) R 二 口2 二上丫2 +ni 1 +1,7如下圖，求:(1 )介質(zhì)墻的；r ； ( 2)電磁波頻率f；r=9(2)因為兩相鄰波節(jié)點距離為半波長所以，=22 4m在此墻前方測得的電場振幅分布3 10= 二 75(MHz)46-22假設在；=4的玻璃外表鍍上一層透明的介質(zhì)以消除紅外線的反射，紅外線的波長 為0.75 Am ,試求：(1)該介質(zhì)膜的介電常數(shù)及厚度；(2)當波長為0.42 Am的紫外線照射該鍍膜玻璃時，反射功率與入射功率之比。r2解:(1)九 0.754r2 40.13 Am2 tan vdn f

20、 qef 1-1n fef 131j 1 3ta n/ditanH3-0.99j0.1。0.1，即反射功率與入射功率之比為衣=2 2 j 3t 6-23證明在無源區(qū)中向k方向傳播的均勻平面波滿足的麥克斯韋方程可簡化為以下方k HEk E = JHk E = 0k H =0證：在無源區(qū)中向k方向傳播的均勻平面波可表示為因為E = E ° ekrH = H ° e代入無源區(qū)麥克斯韋第可得同理可得又因為代入無源區(qū)麥克斯韋第 可得同理可得H °ekr八ekr Ho-je"k" k r Ho 一 je$rk H。二-jk H1方程：I H = j;Ek

21、H = 一 . ； Ek E = BTHE=Eoekrkr Eo二-jeTkr k r E。一 je*k Eo=-j k E4方程：'好0k E =0 k H =06-24平面波的電場強度E = (2 + j3 ) ex +4ey +3ezo?“)v/m試確定其傳播方向和極化狀態(tài)，是否橫電磁波？解：( 1) k - -1.8ey2.4ez傳播方向位于yz平面內(nèi)，與y軸夾角2 4 -180 -arctan 126.9 °1.8屮3(2) 由于電場分量存在相位差二arcta n ,故為右旋橢圓極化2(3) 因為E k=0 ,所以是橫電磁波。6-25證明兩種介質(zhì)(/二二)的交界面對

22、斜入射的均勻平面波的反射、折射系數(shù)可寫成sin 耳 -4 t _ 2sinSo 曲 i 只丄sin佝+q '丄sin 日i +勺tan(n -X ) 2sin81 cosq tan(門即)式中"是4入射角，證：(1)因為3是折射角R2COSp -JCOSVt2COSpVi si n刀所以sin & co 曲 i _ sinQcosT tR =-sin 入 cosj sin n cosr -sin(占 _ 入) sin(33)QOS 3 - 2coA tR/ QOSK - - 2COSRsin pcos = -sin xcosv tsin hcoshin rcosnsi

23、n2R -sin2 3 si n2y si n2 3 sin(二 _ m)cos(3 入)sin(y t )cos(K _ 3) tan ( 3 7)(3)因為所以T =1 R_( 3)T =1Jsin但+q)2sin 耳 cos 呂sin (弓亠 t) nT 二-(1 R )si n 4 1 . sin(m QcosCJsin 弓 sin ( q +q ) cos ? _q )sin4 .sin (弓 7)(弓 弓)sin -i sin (弓 vjcosR -1) sinq sin2 3sin£invjcosG - 4)2sin ScosEsin(p 7)cos(K -耳)sin(

24、 vi n )cos(vi - t )6-26布當儒斯面波向理想介質(zhì)邊界斜入射時，試證布儒斯特角與相應的折射角之和為J門2% =arctan Jn =arcs沖 ； -2 rrccos + nJ 1(1 十 n2折射角sinOt = 門灶n礙rCOSAB所以布儒斯特角與折射角互余，即TT出？千=56-27當頻率f =0.3GHz的均勻平面波由媒質(zhì)界面時，試求(1)臨界角日c=?；r =4,J =1斜入射到與自由空間的交當垂直極化波以=60。入射時，在自由空間中的折射波傳播方向如何?=9相速(3)當圓極化波以 弓=60。入射時，反射波是什么極化的？1解：(",才 30 °(2

25、)因為 哥？入發(fā)生全反射所以折射波沿分界面?zhèn)鞑?，形成外表波。Vp = V2 =M(3)因為eAec發(fā)生全反射，310 =73 江 108 = 1.7A 10 8 ( m/s) nd反射系數(shù)的模電=R =1，但反射系數(shù)的幅角_ - :. /。將圓極化波分解成相位差7/2的等幅垂直極化波與平行極化波，但相位差發(fā)生了改變，所以反射波是橢圓極化波。反射后振幅不變,6-28 一個線極化平面波由自由空間投射到 電場與入射面的夾角是 45°試問：；r =4、叫=1的介質(zhì)分界面，如果入射波的(1 )當入射角耳二？時反射波只有垂直極化波。(2)這時反射波的平均功率流密度是入射波的百分之幾?解：(

26、9;布儒斯特角 Vb =arctann = arctan. ； r =63.4 °故當q二乙=63.4。平行極化波全折射，反射波只有垂直極化波。1_n2,2心二 一 0.6(2、cosp _ . n 2 sin 2n(八 R“2)- 2 2 ?cosQ 十時 n sin q，故垂直極化波的入射功率流密度只有總?cè)肷涔β柿髅芏鹊?P r1(Jr -1、才 PR_ p ? 66-29證明當垂直極化波由空氣斜入射到一塊絕緣的磁性物質(zhì)上時，其布儒斯特角應滿足以下關(guān)系tan2 vb而對于平行極化波那么滿足關(guān)系； ； r 、Q ；r 'r -1證：1n2cosd -UcosQR =2COS

27、J QOSKcos2 咼 2COS1 仝 1COSAt由折射定律可求出代入方程1Rsin jb 二 k2sin t=si門加)2r - r(1)cos2Ab =1si n 2Jb；ri r r1?2t(1 -sin ab) =1%sn仏3 ； r亠1;rsin2< 1?。?r 3 ； r2cos2 -"r("r - ； r)tan2 vb州一 1R -0 cosq -ScosB L 1 cos 2 cost rC0SAB 2COSV t(2)(3)式聯(lián)立?sin 出=rsin mCOSCOSH% .rtan2與垂直極化相比擬，Jr與；互換6-30設z : 0區(qū)域中理想

28、介質(zhì)參數(shù)為；ri =4、Ji=1 ； z - 0區(qū)域中理想介質(zhì)參數(shù)為；r2 = 9、丄r2 = 1。假設入射波的電場強度為E = eg ex + e 廠屁 z試求：1 平面波的頻率；2反射角和折射角；3反射波和折射波。解：1 入射面為xz面，入射波可分解為垂直極化波和平行極化波兩局部之和，即j6 .Ax zE 川=e j6 .73x z ex - Ei_= eeez=12 ki=287kiMHz k,(xsin 弓 zcos 弓)=6 3 z 得sin 巧二由沁=邑二可得si n 齊 ki2ki3 =60 °sin 齊 =1:t= 35.3 °, k2= 18cos? -

29、J% / 嗎一sin2 qR = !210.420(3)cosQ +勺 / 務一 sin2?0.5802 costcos0 +"2/sin 日 i名 2 / cosH j -xi'名 2 / S sin 日 i R| =2i= 0.0425名 / 色cosq+ S2 / 八-sin2 q2 ;2 / v cosyT| =-f. 2=0.638；2 / m COSR亠、匕2 / m - sin2刁因此，反射波的電場強度為Er = Er- E 川，其中E=0.420e$ 矽 eyEr|-0.0425e ex-ez、3折射波的電場強度為Et = Et_ ? E十| ,其中x 丄:&

30、quot;2E0.580e8_r 代 yEt|【j2fl、0.6383 3 n2'1 1h.276Aiex ,J-ez bJ 336-31當一個f二300 MHz的均勻平面波在電子密度N =10141/米3并有恒定磁場 Bq =5 10 *ez特斯拉的等離子體內(nèi)傳播，試求(1)該等離子體的張量介電常數(shù);=?(3)如果這個波是往z方向傳播的左旋圓極化波，其相速 VVp 二?解:1如果這個均勻平面波是往z方向傳播的右旋圓極化波，其相速0 %一Ne2m °e rB ° m-192141.6 10 103.177 10_31-129.1 108.854 101.6 10-4

31、99.1 10貢5 1038=8.79 10 8Op2 2 =0.8662-'g0.053(0g -國)2Wp 0.9-3 = 1 -；o 1-j 0.0530.866二嶄=j 0.0530.913 108、Vp=3.33 10 8 (m/s)-3.13 108 (m/s)0.866-0.866 0.053?g6-32在一種對于同一頻率的左、右旋圓極化波有不同傳播速度的媒質(zhì)中，兩個等幅圓極化波同時向Z方向傳播，一個右旋圓極化Er Eme=記(e jey)另一個是左旋圓極化E 2 二 Eme"z(exjey)式中：2: 1，試求(1) z = 0處合成電場的方向和極化形式。(2

32、) z=l處合成電成的方向和極化形式。解：(1) E= E1+ E2= 2Emex合成場指向ex方向，是線極化波。(2) E = E1+ E2二 Em(e_； z e_ 】z)exj(e"z-e 八)e鼻 2z1z d 1z吐1z二 Eme 2 (e 2 e 2 G j(e 2-e 2 )ejAZ打一為丄打一為=2Eme2 cos(-z)exsin(-2 2-z)ey電場兩分量相位差等于零合成場是線極化波遼 - -1sin( 2 21 z)廠? 丁 - tan -cos(1 z) 22故當 Z =丨時合成電場與 x 軸夾角為6-33設在z _ 0的半空間是電子密度/泳3的等離子體，并有恒定磁場B o =5 10- e z特斯拉，在Z ： 0半空間為真空。有一頻率為 300MHz的正圓極化波沿正 z方向垂直入射到等離子體上，問在等離子體內(nèi)傳輸波的場量為入射波的百分之幾？解：對于正圓極化波，等離子體等效為相對介電常數(shù)為訂? ；2的介質(zhì)，其中 ；1、2與 6-31題相同，故2；