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1、有理數(shù)及其運(yùn)算(二)【課標(biāo)要求】1經(jīng)歷探索有理數(shù)法則和運(yùn)算率的過程,掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方的運(yùn)算及簡單的混合運(yùn)算(以三步為主)。2. 理解有理數(shù)的運(yùn)算律,并能運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算。3. 能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡單的實(shí)際問題。【重難點(diǎn)知識(shí)歸納及講解】 本章的重點(diǎn)是有理數(shù)的運(yùn)算。加法與乘法都是在介紹運(yùn)算法則著重是符號(hào)法則的基礎(chǔ)上,進(jìn)行基本運(yùn)算,然后結(jié)合具體例子引入運(yùn)算律,并運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算。減法與除法,則是著重介紹如何由加法與乘法轉(zhuǎn)化,從而利用加法與乘法的運(yùn)算法則、運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算。乘方是幾個(gè)相同因數(shù)的乘積,也就可以利用乘法運(yùn)算。(1)有理數(shù)加法的法則:同號(hào)兩數(shù)相加,取相同的符號(hào),并把絕對
2、值相加;絕對值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加,取絕對值較大的加數(shù)的符號(hào),并用較大的絕對值減去較小的絕對值而互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得零;任何數(shù)同零相加,仍得這個(gè)數(shù)(2)有理數(shù)加法的運(yùn)算順序:第一步,確定和的符號(hào);第二步,求和的絕對值其中最關(guān)鍵的一步是搞清符號(hào)問題,符號(hào)一經(jīng)確定,問題就比較簡單了(3)有理數(shù)加法的運(yùn)算律:加法交換律,即abba;加法結(jié)合律,即abca(bc).巧妙地運(yùn)用加法的運(yùn)算律,可以簡化有理數(shù)的加法運(yùn)算(4)有理數(shù)減法法則:減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即a-b=a+(-b)。對大家而言,做題時(shí)一定要注意兩變:一是減號(hào)變?yōu)榧犹?hào);二是減數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)。(5)利用減法比較大?。篴,b是兩
3、個(gè)有理數(shù),若ab0,則ab;若ab0,則ab即大的小的0,小的大的0(6)加減混合運(yùn)算的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:在交換加數(shù)的位置時(shí),要連同前面的符號(hào)一起交換盡量使用運(yùn)算率簡便計(jì)算。(7)在有理數(shù)加減運(yùn)算中,正確理解運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算符號(hào)與性質(zhì)符號(hào)既有區(qū)別,又有聯(lián)系,有時(shí)可以相互轉(zhuǎn)化(8)有理數(shù)的乘法法則:兩數(shù)相乘,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),并把絕對值相乘,任何數(shù)同零相乘,都得零。(9)多個(gè)有理數(shù)乘積的確定:幾個(gè)不等于零的有理數(shù)相乘,積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)確定:當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí),積為負(fù);當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí),積為正。符號(hào)確定后,再分別把絕對值相乘。只要有一個(gè)因數(shù)為0,則積為0。(10)乘法的運(yùn)算律:乘法交換律
4、,即ab=ba;乘法結(jié)合律,即(ab)c=a(bc);乘法分配律,即a(b+c)=ab+ac。在做乘法時(shí),要靈活運(yùn)用上述運(yùn)算律,以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的。乘法和加法的運(yùn)算律,都可以推廣到多個(gè)數(shù)的情況。(11)倒數(shù)的概念:乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。由于任何一個(gè)有理數(shù)與0的積為0,不可能是1,所以0沒有倒數(shù)。(12)除法的運(yùn)算法則:法則一:除以一個(gè)數(shù)等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù),即:a÷b=a (b0)法則一表明了有理數(shù)的除法和乘法可以互相轉(zhuǎn)化,由于0沒有倒數(shù),所以除數(shù)不能為0.法則二:兩數(shù)相除,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),并把絕對值相除.0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù),得0.(13)關(guān)于運(yùn)算律因?yàn)槌梢?/p>
5、轉(zhuǎn)化成乘法,所以乘法的運(yùn)算律有的在除法中適用,但是乘法的交換律和結(jié)合律在除法中是不適用的,如6÷55÷6,(6÷2)÷36÷(2÷3)(14)乘方的有關(guān)概念求n個(gè)相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫乘方,乘方的結(jié)果叫冪a叫底數(shù),n叫指數(shù),an讀作:a的n次冪(a的n次方)乘方的意義:an表示n個(gè)a相乘如:(3)3(3)×(3)×(3),表示3個(gè)(3)相乘(15)寫法的注意:當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí),底數(shù)一定要打括號(hào),不然意義就全變了如:()2×,表示兩個(gè)相乘而,表示2個(gè)1相乘的積除以3(2)2(2)×(2),表示
6、兩個(gè)(2)相乘22(2×2),表示2個(gè)2的乘積的相反數(shù)(16)乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)0的奇數(shù)次冪,偶次冪都是0所以,任何數(shù)的偶次冪都是正數(shù)或0(17)有理數(shù)的混合運(yùn)算有理數(shù)的運(yùn)算中,加減為一級(jí)運(yùn)算,乘除為二級(jí)運(yùn)算,乘方(及開方乘方的逆運(yùn)算,以后將講到)為三級(jí)運(yùn)算。對于有理數(shù)的混合運(yùn)算,要特別注意運(yùn)算順序及正確使用符號(hào)法則確定各步運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)。有理數(shù)的運(yùn)算順序是:先算乘方,再算乘除,最后算加減,對于同級(jí)運(yùn)算,一般從左到右依次進(jìn)行。如果有括號(hào),就先算括號(hào)內(nèi)的,且一般先算小括號(hào)內(nèi)的,再算中括號(hào)內(nèi)的,最后算大括號(hào)內(nèi)的。如果能利用運(yùn)算律簡
7、化計(jì)算,可變更上面的運(yùn)算順序,靈活處理。(18)為了加強(qiáng)與相關(guān)運(yùn)算的聯(lián)系,利用計(jì)算器計(jì)算分散安排在相關(guān)內(nèi)容中。例如,教科書用計(jì)算器計(jì)算一些負(fù)數(shù)的乘方,進(jìn)而探求負(fù)數(shù)的乘方的符號(hào)規(guī)律。學(xué)會(huì)了使用計(jì)算器進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算,較復(fù)雜的計(jì)算就可以用計(jì)算器完成。簡單的有理數(shù)運(yùn)算仍需要學(xué)生熟練地用筆算完成?!緮?shù)學(xué)史料】數(shù)學(xué)符號(hào)的起源數(shù)學(xué)除了記數(shù)以外,還需要一套數(shù)學(xué)符號(hào)來表示數(shù)和數(shù)、數(shù)和形的相互關(guān)系。數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)明和使用比數(shù)字晚,但是數(shù)量多得多?,F(xiàn)在常用的有200多個(gè),初中數(shù)學(xué)書里就不下20多種。它們都有一段有趣的經(jīng)歷。例如加號(hào)曾經(jīng)有好幾種,現(xiàn)在通用"+"號(hào)。"+"號(hào)是由拉丁
8、文"et"("和"的意思)演變而來的。十六世紀(jì),意大利科學(xué)家塔塔里亞用意大利文"più"(加的意思)的第一個(gè)字母表示加,草為""最后都變成了"+"號(hào)。"-"號(hào)是從拉丁文"minus"("減"的意思)演變來的,簡寫m,再省略掉字母,就成了"-"了。也有人說,賣酒的商人用"-"表示酒桶里的酒賣了多少。以后,當(dāng)把新酒灌入大桶的時(shí)候,就在"-"上加一豎,意思是把原線條勾銷,這
9、樣就成了個(gè)"+"號(hào)。到了十五世紀(jì),德國數(shù)學(xué)家魏德美正式確定:"+"用作加號(hào),"-"用作減號(hào)。乘號(hào)曾經(jīng)用過十幾種,現(xiàn)在通用兩種。一個(gè)是"×",最早是英國數(shù)學(xué)家奧屈特1631年提出的;一個(gè)是" ",最早是英國數(shù)學(xué)家赫銳奧特首創(chuàng)的。德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨認(rèn)為:"×"號(hào)象拉丁字母"X",加以反對,而贊成用" "號(hào)。他自己還提出用""表示相乘??墒沁@個(gè)符號(hào)現(xiàn)在應(yīng)用到集合論中去了。到了十八世紀(jì),美國數(shù)學(xué)家歐德萊確
10、定,把"×"作為乘號(hào)。他認(rèn)為"×"是"+"斜起來寫,是另一種表示增加的符號(hào)。"÷"最初作為減號(hào),在歐洲大陸長期流行。直到1631年英國數(shù)學(xué)家奧屈特用":"表示除或比,另外有人用"-"(除線)表示除。后來瑞士數(shù)學(xué)家拉哈在他所著的代數(shù)學(xué)里,才根據(jù)群眾創(chuàng)造,正式將"÷"作為除號(hào)。平方根號(hào)曾經(jīng)用拉丁文"Radix"(根)的首尾兩個(gè)字母合并起來表示,十七世紀(jì)初葉,法國數(shù)學(xué)家笛卡兒在他的幾何學(xué)中,第一次用&q
11、uot;"表示根號(hào)。"r"是由拉丁字線"r"變,"-"是括線。十六世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家維葉特用"="表示兩個(gè)量的差別??墒怯=虼髮W(xué)數(shù)學(xué)、修辭學(xué)教授列考爾德覺得:用兩條平行而又相等的直線來表示兩數(shù)相等是最合適不過的了,于是等于符號(hào)"="就從1540年開始使用起來。1591年,法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)在菱中大量使用這個(gè)符號(hào),才逐漸為人們接受。十七世紀(jì)德國萊布尼茨廣泛使用了"="號(hào),他還在幾何學(xué)中用""表示相似,用""表示全等。大于號(hào)"
12、;"和小于號(hào)"",是1631年英國著名代數(shù)學(xué)家赫銳奧特創(chuàng)用。至于"""、""這三個(gè)符號(hào)的出現(xiàn),是很晚很晚的事了。大括號(hào)" "和中括號(hào)" "是代數(shù)創(chuàng)始人之一魏治德創(chuàng)造的?!局腔哿熊嚒?.有一種“二十四點(diǎn)”的游戲,其游戲規(guī)則是這樣的:任取四個(gè)1至13之間的自然數(shù),將這四個(gè)數(shù)(每個(gè)數(shù)用且只能用一次)進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算,使其結(jié)果等于24。例如對1,2,3,4,可作如下運(yùn)算:(1+2+3)×424(上述運(yùn)算與4×(123)視為相同方法的運(yùn)算)現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)3,4,
13、6,10,運(yùn)用上述規(guī)則寫出三種不同方法的運(yùn)算式,可以使用括號(hào),使其結(jié)果等于24。運(yùn)算式如下:(1) ,(2) ,(3) 。另有四個(gè)有理數(shù)3,5,7,13,可通過運(yùn)算式(4) 使其結(jié)果等于24。2小亮的爸爸在一家合資企業(yè)工作,月工資2500元,按規(guī)定:其中800元是免稅的,其余部分要繳納個(gè)人所得稅,應(yīng)納稅部分又要分為兩部分,并按不同稅率納稅,即不超過500元的部分按5%的稅率;超過500元不超過2000元的部分則按10%的稅率,你能算出小亮的爸爸每月要繳納個(gè)人所得稅多少元?解:500×5%+(2500800500)×10%=145(元)因此,小亮的爸爸每月要繳納個(gè)人所得稅14
14、5元【中考欣賞】1.下表列出了國外幾個(gè)城市與北京的時(shí)差(帶正號(hào)的數(shù)表示同一時(shí)刻比北京的時(shí)間早的時(shí)數(shù))?,F(xiàn)在的北京時(shí)間是上午800(1)求現(xiàn)在紐約時(shí)間是多少?(2)斌斌現(xiàn)在想給遠(yuǎn)在巴黎的姑媽打電話,你認(rèn)為合適嗎? 城 市時(shí)差/ 時(shí)紐 約13巴 黎7東 京1芝 加 哥14解:(1)上午8:00往前推13小時(shí)時(shí)前一天晚上19點(diǎn)。 (2)8+(-7)=1巴黎現(xiàn)在是凌晨1點(diǎn),所以不合適。2.M國股民吉姆上星期六買進(jìn)某公司股票1000股,每股27元,下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況(單位:元)星期一二三四五六每股漲跌+4+4.512.56+2(1)星期三收盤時(shí),每股是多少元?(2)本周內(nèi)最高價(jià)是每股多少元?最低價(jià)是每股多少元?(3)已知吉姆買進(jìn)股票時(shí)付了0.15%的手續(xù)費(fèi),賣出時(shí)需付成交額 0.15的手續(xù)費(fèi)
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