chap4對(duì)稱(chēng)要素組合定理及對(duì)稱(chēng)型

1、第三節(jié)第三節(jié) 對(duì)稱(chēng)要素的組合對(duì)稱(chēng)要素的組合定理定理對(duì)稱(chēng)要素的組合問(wèn)題提出對(duì)稱(chēng)要素的組合問(wèn)題提出例如例如：立方體：立方體3L44L36L29PC 定理定理1 如果有一個(gè)如果有一個(gè)L2垂直于垂直于Ln，則，則 必有必有n個(gè)個(gè)L2垂直于垂直于Ln； 任意任意相鄰兩個(gè)相鄰兩個(gè)L L2 2的夾角為的夾角為L(zhǎng)n的的基轉(zhuǎn)角的一半?；D(zhuǎn)角的一半。Ln L2 LnnL2p 逆定理逆定理 若兩若兩L2相交，在交點(diǎn)并垂直兩相交，在交點(diǎn)并垂直兩L2必產(chǎn)生必產(chǎn)生Ln，其基，其基轉(zhuǎn)角是兩轉(zhuǎn)角是兩L L2 2夾角的兩倍，并在垂直于夾角的兩倍，并在垂直于L Ln n平面內(nèi)導(dǎo)出平面內(nèi)導(dǎo)出n n個(gè)個(gè)L2。思考思考: 兩個(gè)兩個(gè)L2

2、相交相交30, 交點(diǎn)處并垂直交點(diǎn)處并垂直L2所在平面會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱(chēng)軸所在平面會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱(chēng)軸?p定理定理2 2 若一對(duì)稱(chēng)面若一對(duì)稱(chēng)面P P垂直于偶次軸垂直于偶次軸L Ln(n(偶偶) )，其交點(diǎn)，其交點(diǎn)處必然存在處必然存在對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)中心C C。Ln P LnP C (n為偶數(shù)為偶數(shù))石膏p逆定理逆定理 若有一偶次對(duì)稱(chēng)軸若有一偶次對(duì)稱(chēng)軸L Ln(n(偶偶) )與對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)中心C C共存，則過(guò)共存，則過(guò)C C且且垂直該對(duì)稱(chēng)軸必有一對(duì)稱(chēng)面垂直該對(duì)稱(chēng)軸必有一對(duì)稱(chēng)面P P；或若有一對(duì)稱(chēng)面或若有一對(duì)稱(chēng)面P P與對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)中心C C共存，則過(guò)共存，則過(guò)C C且垂直于且垂直于P P必有一必有一個(gè)個(gè)偶

3、偶次對(duì)稱(chēng)軸。次對(duì)稱(chēng)軸。該定理說(shuō)明：該定理說(shuō)明：L L2 2、P P、C C三者中任意兩者可三者中任意兩者可產(chǎn)生第三者。產(chǎn)生第三者。 P C L2P CLn C LnP C (n為偶數(shù)為偶數(shù))p定理定理3 3 若有一對(duì)稱(chēng)面若有一對(duì)稱(chēng)面P P包含對(duì)稱(chēng)軸包含對(duì)稱(chēng)軸L Ln n，則，則必有必有n n個(gè)個(gè)P P包含包含L Ln n；相鄰兩個(gè)相鄰兩個(gè)P P的夾角為的夾角為L(zhǎng) Ln n的基轉(zhuǎn)角的一半。的基轉(zhuǎn)角的一半。 例如：例如：L6 P/ L66P/（定理（定理3與定理與定理1對(duì)應(yīng)）對(duì)應(yīng)）紅鋅礦p逆定理逆定理若有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)面相交，則對(duì)稱(chēng)面的交線(xiàn)必為一對(duì)若有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)面相交，則對(duì)稱(chēng)面的交線(xiàn)必為一對(duì)稱(chēng)軸，其基轉(zhuǎn)角

4、為相鄰兩對(duì)稱(chēng)面夾角的兩倍，并導(dǎo)出其他稱(chēng)軸，其基轉(zhuǎn)角為相鄰兩對(duì)稱(chēng)面夾角的兩倍，并導(dǎo)出其他n n個(gè)個(gè)包含包含L Ln n的的P P。思考思考: :兩個(gè)對(duì)稱(chēng)面相交兩個(gè)對(duì)稱(chēng)面相交6060, ,交線(xiàn)處會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱(chēng)軸交線(xiàn)處會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱(chēng)軸? ?p 定理定理4 若有一若有一L2垂直于垂直于Lin，或有一，或有一P包含包含Lin n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)必有必有n個(gè)個(gè)L2垂直于垂直于Lin和和n個(gè)個(gè)P包含包含Lin； n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí)必有必有n2個(gè)個(gè)L2垂直于垂直于Lin和和n2個(gè)個(gè)P包含包含Lin。Lin P/ =Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P/ （n為偶數(shù)）為偶數(shù)） Linn L2 nP/（n

5、為奇數(shù)）為奇數(shù)）第四節(jié)第四節(jié) 對(duì)稱(chēng)型（點(diǎn)群）對(duì)稱(chēng)型（點(diǎn)群） 1 1、對(duì)稱(chēng)型的概念、對(duì)稱(chēng)型的概念 晶體形態(tài)中，晶體形態(tài)中，全部對(duì)稱(chēng)要素的組合全部對(duì)稱(chēng)要素的組合，稱(chēng)為該晶體形態(tài)的，稱(chēng)為該晶體形態(tài)的對(duì)稱(chēng)型對(duì)稱(chēng)型 或或點(diǎn)群點(diǎn)群。 一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)強(qiáng)調(diào)一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)強(qiáng)調(diào)對(duì)稱(chēng)要素對(duì)稱(chēng)要素時(shí)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)型，強(qiáng)調(diào)時(shí)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)型，強(qiáng)調(diào)對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)操作時(shí)稱(chēng)點(diǎn)時(shí)稱(chēng)點(diǎn)群。群。 根據(jù)晶體中可能存在的對(duì)稱(chēng)要素及其組合規(guī)律，推導(dǎo)出晶體中根據(jù)晶體中可能存在的對(duì)稱(chēng)要素及其組合規(guī)律，推導(dǎo)出晶體中可能出現(xiàn)的對(duì)稱(chēng)型（點(diǎn)群）是非常有限的，僅有可能出現(xiàn)的對(duì)稱(chēng)型（點(diǎn)群）是非常有限的，僅有3232個(gè)。那么，這個(gè)。那么，這3232個(gè)對(duì)稱(chēng)型怎么推導(dǎo)出來(lái)？個(gè)對(duì)稱(chēng)

6、型怎么推導(dǎo)出來(lái)？ 2 2、對(duì)稱(chēng)型的推導(dǎo)、對(duì)稱(chēng)型的推導(dǎo)依據(jù)：對(duì)稱(chēng)型中高次軸數(shù)量多少：依據(jù)：對(duì)稱(chēng)型中高次軸數(shù)量多少：A A類(lèi)對(duì)稱(chēng)型（高次軸不多于一個(gè)）類(lèi)對(duì)稱(chēng)型（高次軸不多于一個(gè)）B B類(lèi)對(duì)稱(chēng)型（高次軸多于一個(gè)）類(lèi)對(duì)稱(chēng)型（高次軸多于一個(gè)）（1 1）A A類(lèi)對(duì)稱(chēng)型類(lèi)對(duì)稱(chēng)型的推導(dǎo)的推導(dǎo) 1 1）對(duì)稱(chēng)軸）對(duì)稱(chēng)軸L Ln n單獨(dú)存在單獨(dú)存在（原始式）：（原始式）： 可能的對(duì)稱(chēng)型為可能的對(duì)稱(chēng)型為L(zhǎng) L1 1；L L2 2；L L3 3；L L4 4；L L6 6 。（1 1）A A類(lèi)對(duì)稱(chēng)型的推導(dǎo)：類(lèi)對(duì)稱(chēng)型的推導(dǎo)：2 2）對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)軸的組合）對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)軸的組合（軸式）：（軸式）： 在這里我們只考慮在這里我們

7、只考慮L Ln n與垂直它的與垂直它的L L2 2的組合。根據(jù)上節(jié)所述對(duì)的組合。根據(jù)上節(jié)所述對(duì)稱(chēng)要素組合規(guī)律稱(chēng)要素組合規(guī)律L Ln n L L2 2L Ln nnLnL2 2，可能的對(duì)稱(chēng)型為：，可能的對(duì)稱(chēng)型為：（L L1 1L L2 2= =L L2 2）；）；L L2 22 2L L2 2=3=3L L2 2；L L3 33 3L L2 2；L L4 44 4L L2 2；L L6 66 6L L2 2 如果如果L L2 2與與L Ln n斜交有可能斜交有可能出現(xiàn)多于一個(gè)的高次軸，出現(xiàn)多于一個(gè)的高次軸，這時(shí)就不屬于這時(shí)就不屬于A類(lèi)對(duì)稱(chēng)型了類(lèi)對(duì)稱(chēng)型了（1 1）A A類(lèi)對(duì)稱(chēng)型的推導(dǎo)：類(lèi)對(duì)稱(chēng)型的推

8、導(dǎo)： 3）對(duì)稱(chēng)軸）對(duì)稱(chēng)軸Ln與垂直它的對(duì)稱(chēng)面與垂直它的對(duì)稱(chēng)面P的組合的組合（中心式）：（中心式）： 根據(jù)組合規(guī)律根據(jù)組合規(guī)律Ln(偶次偶次)PLn(偶次偶次)PC，則可能的對(duì)稱(chēng)型為：，則可能的對(duì)稱(chēng)型為：L2PC；（；（L3P=Li6）；）；L4PC；L6PC。 （1 1）A A類(lèi)對(duì)稱(chēng)型的推導(dǎo)：類(lèi)對(duì)稱(chēng)型的推導(dǎo)： 4）對(duì)稱(chēng)軸）對(duì)稱(chēng)軸Ln與包含它的對(duì)稱(chēng)面的組合與包含它的對(duì)稱(chēng)面的組合（面式）：（面式）： 根據(jù)組合規(guī)律根據(jù)組合規(guī)律Ln PLnnP，可能的對(duì)稱(chēng)型為：，可能的對(duì)稱(chēng)型為：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。 （1 1）A A類(lèi)對(duì)稱(chēng)型的推導(dǎo)：類(lèi)對(duì)稱(chēng)型的推導(dǎo)： 5）對(duì)稱(chēng)軸）對(duì)稱(chēng)軸

9、Ln與垂直它的對(duì)稱(chēng)面與垂直它的對(duì)稱(chēng)面，以及包含它的對(duì)稱(chēng)面的組合以及包含它的對(duì)稱(chēng)面的組合（軸面（軸面式）：式）： 垂直垂直Ln的的P與包含與包含Ln的的P的交線(xiàn)的交線(xiàn)，必為垂直必為垂直Ln的的L2， 即即Ln P P=Ln P P=LnnL2(n + 1)PC（偶數(shù)）（偶數(shù)） Ln P P=Ln P P=LnnL2nP（奇數(shù)）（奇數(shù)） 可能的對(duì)稱(chēng)型為：可能的對(duì)稱(chēng)型為：(L1L22P=L22P ）；）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；）；L44L25PC；L66L27PC。 （1 1）A A類(lèi)對(duì)稱(chēng)型的推導(dǎo)：類(lèi)對(duì)稱(chēng)型的推導(dǎo)：6 6）旋轉(zhuǎn)反伸軸單獨(dú)存在）旋轉(zhuǎn)反伸軸

10、單獨(dú)存在（倒轉(zhuǎn)式）：（倒轉(zhuǎn)式）：可能的對(duì)稱(chēng)型為：可能的對(duì)稱(chēng)型為：L Li i1 1= =C C；L Li i2 2= =P P；L Li i3 3= =L L3 3C C；L Li i4 4；L Li i6 6= =L L3 3P P。7）旋轉(zhuǎn)反伸軸）旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin與垂直它的與垂直它的L2（或包含它的（或包含它的P）的組合）的組合（反伸（反伸面式）：面式）：根據(jù)組合規(guī)律根據(jù)組合規(guī)律：當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)LinnL2nP，可能的對(duì)稱(chēng)型為：，可能的對(duì)稱(chēng)型為：（Li1L2P=L2PC）；）；Li33L23P=L33L23PC；當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí) Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的對(duì)稱(chēng)型為：，可能的對(duì)稱(chēng)型為：（Li2L2P=L22P）；）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。 這樣推導(dǎo)出來(lái)的對(duì)稱(chēng)型共有這樣推導(dǎo)出來(lái)的對(duì)稱(chēng)型共有27個(gè)，見(jiàn)表個(gè)，見(jiàn)表42。 還有還有5個(gè)是個(gè)是B類(lèi)（高次軸多于一個(gè)）對(duì)稱(chēng)型，不要求推導(dǎo)。類(lèi)（高次軸多于一個(gè)）對(duì)稱(chēng)型，不要求推導(dǎo)。32晶類(lèi)晶類(lèi)低低、中、中、高高級(jí)晶族級(jí)晶族7大晶系大晶系屬于同一對(duì)屬于同一