2019八年級(jí)數(shù)學(xué)上13.4課題學(xué)習(xí)最短路程問題軸對(duì)稱精選期中考試選用最新最好試題周末練習(xí)作業(yè)

1、2019八年級(jí)數(shù)學(xué)上13.4課題學(xué)習(xí) 最短路程問題軸對(duì)稱精選期中考試選用最新最好試題周末練習(xí)作業(yè)選擇題（共7小題）1 .如圖，在4ABC 中，AB=AC, BC= 10, SxABC= 60, ADBC 于點(diǎn) D, EF 垂直平分 AB,交AB于點(diǎn)E、AC于點(diǎn)F ,在EF上確定一點(diǎn) P,使PB+PD最小，則這個(gè)最小值為（）第1頁（共32頁）A . 10B. 11C. 12D. 132 .如圖， ABC 中，/ BAC=90° , AB=6, BC=10, BD 是/ ABC 的平分線.若 P、Q分別是BD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則 PA+PQ的最小值是（）A .一B. 4C.一D. 53 .

2、如圖，/ AOB = 20° ,點(diǎn) M、N分別是邊 OA、OB上的定點(diǎn)，點(diǎn) P、Q分別是邊 OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，記/ MPQ = a, Z PQN =應(yīng)當(dāng)MP + PQ+QN最小時(shí)，貝U r &的值為（）A . 10°B. 20°C. 40°D, 60°4 .如圖，等腰 ABC的底邊BC長為4,面積是12,腰AC的垂直平分線 EF分別交AC,當(dāng)4CDM的周長AB邊于E, F點(diǎn).若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn) M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn),最小時(shí)，EM長（）A. 1B. 3C.D.OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，則 PMN周長的最小值是（總OM 川A.B.C.

3、66.如圖，在 RtABC 中，/ACB=90° , AC=3, BC = 4,E, F分別是AD, AC上的動(dòng)點(diǎn)，則 CE+EF的最小值為（ 取）D. 3 一AD平分/ CAB交BC于D點(diǎn),【 ）5.如圖，/ AOB = 60° ,點(diǎn)P是/AOB內(nèi)的定點(diǎn)且 OP=3,若點(diǎn) M、N分別是射線 OA、7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（10, 12）,點(diǎn)B在x軸上，AO = AB,點(diǎn)C在線段OB上，且OC = 3BC,在線段AB的垂直平分線 MN上有一動(dòng)點(diǎn) D,則 BCD周長的最小值為（C BB. 13C.D. 18OA, OB上異于點(diǎn)。的動(dòng)點(diǎn)，則 PMN周長的最小值是

4、第3頁(共32頁).填空題(共12小題)8 .如圖，在 ABC中，AB = AC=10cm, BC= 8cm, AB的垂直平分線交 AB于點(diǎn)M,交AC 于點(diǎn)N,在直線 MN上存在一點(diǎn) P,使P、B、C三點(diǎn)構(gòu)成的 PBC的周長最小，則4PBC 的周長最小值為.9 .如圖，等邊 ABC中，BDLAC于D, AD = 3.5cm.點(diǎn)P、Q分別為 AB、AD上的兩個(gè)定點(diǎn)且BP = AQ = 2cm,著在 BD上有一動(dòng)點(diǎn) E使PE+QE最短，則 PE+QE的最小值為10 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有 A (- 3, 4)、B (- 1, 0)、C (5, 10)三點(diǎn)，連接CB,將線段CB沿y軸正方向平

5、移t個(gè)單位長度，得到線段 C1B1,當(dāng)CiA+ABi取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)t =11 .定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段PQ和點(diǎn)M,在 MPQ中，當(dāng)PQ邊上的高為2 一時(shí)，稱點(diǎn)M為PQ的等高點(diǎn)”，稱此時(shí)MP+MQ的值為PQ的“等高距離”.已知P (1, 2) , Q (3, 4),當(dāng)PQ的“等高距離”最小時(shí)，則點(diǎn) M的坐標(biāo)為12 .如圖，/ AOB=30° ,點(diǎn)P是/AOB內(nèi)的一定點(diǎn)，且 OP=6,若點(diǎn) M, N分別是射線。上"MA13.如圖，已知在矩形 ABCD中，AB=6, BC=9, E.、F為矩形內(nèi)部的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足 EFADSC14 .如圖，/ AOB = 40&

6、#176; , M、N 分別在 OA、OB 上，且 OM =OB、OA上，貝U MP+PQ + QN的最小值是 .上1 pK15 .如圖，等邊三角形 ABC的邊長為3,過點(diǎn)B的直線lAB,2, ON = 4,點(diǎn)P、Q分別在且ABC與AA' BC'關(guān)于S四邊形befc=26,貝U BE+EF+FC的最/J、值等于直線l對(duì)稱，D為線段BC'上一動(dòng)點(diǎn)，則ICC'AAAE16.如圖，在 RtAABC 中，/ ACB = 90° ,以BD為辿在BC的右側(cè)作等邊 BDE, 小值是.AD+CD的最小值是./ ABC =60° , AB = 4,點(diǎn) D 是

7、BC 上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，連結(jié) AF, CF,則AF+CF的最第13頁（共32頁）17.如圖，在邊長為 2的等邊 ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn) E在線段AD上，連結(jié)BE,在BE的下方作等邊 BEF,連結(jié)DF .當(dāng) BDF的周長最小時(shí)，/ DBF的度數(shù)是 18.如圖，等腰 ABC中，AB=AC = 4, BC=6, 4ABD是等邊三角形，點(diǎn)P是/ BAC的角平分線上一動(dòng)點(diǎn)，連 PC、PD,則PD+PC的最小值為 19 .如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A、B均在由面積為1的相同的小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上.若P是x軸上使得PA - PB的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點(diǎn), 則 O

8、P?OQ =.三.解答題（共6小題）20 .在 ABC中，AB=AC,點(diǎn)D是直線 BC上一點(diǎn)（不與 B、C重合），以AD為一邊在AD 的右側(cè)作 ADE ,使 AD = AE, / DAE = / BAC,連接 CE.(1)如圖，若4 ADE,使AB = AC=2,點(diǎn)D在線段BC上,/ BCE和/ BAC之間是有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不必說明理由；當(dāng)四邊形ADCE的周長取最小值時(shí)，直接寫出 BD的長；(2)若/ BACW60。，當(dāng)點(diǎn) D在射線BC上移動(dòng)，如圖 ，則/ BCE和/ BAC之間有 怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.21 .如圖，在 ABC中，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是AP的中點(diǎn)，PDLAB,垂

9、足為D,PEXAC,垂足為E,連接MD , ME.(I )求證：/ DME = 2 / BAC;(II)若/ B= 45° , / C=75° , AB 連接DE,求 MDE周長的最小值.22 .已知 ABC 中，AC = 6cm, BC=8cm, AB = 10cm, CD 為 AB 邊上的高.動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A出發(fā)，沿著 ABC的三條邊逆時(shí)針走一圈回到 A點(diǎn)，速度為2cm/s,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.(1)求CD的長；(2) t為何值時(shí)， ACP為等腰三角形？(3)若M為BC上一動(dòng)點(diǎn)，N為AB上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在 M , N使得AM+MN的值最?。咳绻姓?qǐng)求出最小值，如果沒有請(qǐng)

10、說明理由.23 .如圖，在游藝室的水平地面上，沿著地面的AB邊放一行球，參賽者從起點(diǎn) C起步，跑向邊AB任取一球，再折向 D點(diǎn)跑去，將球放入 D點(diǎn)的紙箱內(nèi)便完成任務(wù)，完成任務(wù)的 時(shí)間最短者獲得勝利，如果邀請(qǐng)你參加，你將跑去選取什么位置上的球？為什么？A pooooooo-Z）c 24 . （1）如圖1,直線同側(cè)有兩點(diǎn) A、B,在直線上求一點(diǎn) C,使它到A、B之和最小.（保 留作圖痕跡不寫作法）（2）知識(shí)拓展：如圖 2,點(diǎn)P在/AOB內(nèi)部，試在 OA、OB上分別找出兩點(diǎn) E、F,使 PEF周長最短（保留作圖痕跡不寫作法）（3）解決問題： 如圖3,在五邊形 ABCDE中，在BC, DE上分別找一點(diǎn)

11、 M, N,使 得 AMN周長最小（保留作圖痕跡不寫作法）若/BAE=125° , / B = /E = 90° , AB=BC, AE = DE, /AMN+/ANM 的度數(shù) 為.25 .幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).圖1圖2圖耳問題：在直線l上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A' B交l于點(diǎn)P,則PA+PB = A' B的值最 小(不必證明).模型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2, E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連接BD , 由正方形對(duì)稱性可知， B與D關(guān)于直線AC

12、對(duì)稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最 小值是;(2)如圖 2,。的半徑為 2,點(diǎn) A、B、C 在。O 上,OAXOB, /AOC = 60° , P 是 OB上一動(dòng)點(diǎn)，求 PA+PC的最小值；(3)如圖 3, /AOB = 45° , P 是/AOB 內(nèi)一點(diǎn)，PO=10, Q、R 分別是 OA、OB 上的 動(dòng)點(diǎn)，求 PQR周長的最小值.2019八年級(jí)數(shù)學(xué)上13.4課題學(xué)習(xí) 最短路程問題軸對(duì)稱精選期中考試選用最新最好試題周末練習(xí)作業(yè)AB,)B D C一.選擇題（共7小題）1 .如圖，在4ABC 中，AB=AC, BC= 10, Smbc= 60, ADBC 于點(diǎn) D,

13、EF 垂直平分交AB于點(diǎn)E、AC于點(diǎn)F ,在EF上確定一點(diǎn) P,使PB+PD最小，則這個(gè)最小值為（A . 10B. 11C. 12D. 13解：AB=AC, BC = 10, Saabc= 60, ADBC 于點(diǎn) D,AD= 12,.EF垂直平分AB,點(diǎn)A, B關(guān)于執(zhí)行EF對(duì)稱， AD的長度=PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值為12,故選：C.P、Q2 .如圖， ABC 中，/ BAC=90° , AB=6, BC=10, BD 是/ ABC 的平分線.若分別是BD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則 PA+PQ的最小值是（）B. 4A . 一解：如圖,C. 一D. 5作點(diǎn)Q關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)

14、Q',作AMXBC于M ,. , RA+PQ= RA+PQ',，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng) A, P, Q'共線，且與 AM重合時(shí)，PA+PQ的值最小，最小值=線段AM的長. ABC 中，/ BAC=90° , AB = 6, BC= 10,AC= 8,AM3 .如圖，/ AOB = 20° ,點(diǎn) M、N分別是邊 OA、OB上的定點(diǎn)，點(diǎn) P、Q分別是邊 OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，記/ MPQ = a, Z PQN =應(yīng)當(dāng)MP + PQ+QN最小時(shí)，貝U r a的值為()A . 10°B, 20°C. 40°D, 60°解

15、：如圖，作 M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M' , N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N',連接M' N'交OA于Q,交OB于P,則MP+PQ + QN最小, ./ OPM = Z OPM' =/ NPQ, / OQP = Z AQN' =/ AQN,/QPN (180° - a) =Z AOB+Z MQP = 20°(180° - 3),.180° - a= 40° + (180° - 3),- a= 40 ,故選：C.4.如圖，等腰 ABC的底邊BC長為4,面積是12,腰AC的垂直平分線AB邊于E, F點(diǎn).若點(diǎn)

16、D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn) M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，EF分別交AC,當(dāng)CDM的周長最小時(shí)，EM長（）D.A. 1B. 3C.-解：連接AD,.ABC是等腰三角形，點(diǎn) D是BC邊的中點(diǎn)，AD± BC,SaaBC -BC?AD - 4X AD=12,解得 AD=6, EF是線段AC的垂直平分線，AD的長為CM + MD的最小值，已知 ADXBC,即 MDXBC,在RtACDM中設(shè) AM=x,貝U MC = x, MD = (6-x),- cd2+md2=mc2,22+ (6-x) 2=x2,解得x ,即,.AC,AE ,EM5.如圖，/ AOB = 60° ,點(diǎn)P是/AOB內(nèi)的定點(diǎn)且

17、OP=3,若點(diǎn) M、N分別是射線 OA、OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，則 PMN周長的最小值是（）解：作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P',點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P"，連接P'P”與OA, OB分別 交于點(diǎn)M與N則P'P”的長即為 PMN周長的最小值，連接 OP', OP”，過點(diǎn)。作 OCP'P"，由對(duì)稱性可知 OP = OP'= OP"，. OP= 3, /AOB = 60° ,p'=Z P"=30° , OP=OP''=3,P'CP'P''=3故選

18、：D.6.如圖，在 RtABC 中，/ACB=90° , AC=3, BC = 4, AD 平分 /CAB 交 BC 于 D 點(diǎn),E, F分別是AD, AC上的動(dòng)點(diǎn)，則 CE+EF的最小值為（A . -B .一C. 3解：在AB上取一點(diǎn)G ,使 AG = AF. / CAD = Z BAD,AE= AE第17頁（共32頁）AEFAAEG (SAS)FE= FG . CE+EF = CE+EG則最小值時(shí)CG垂直AB時(shí)，CG的長度7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（10, 12）,點(diǎn)B在x軸上，AO = AB,點(diǎn)C在線段OB上，且OC = 3BC,在線段AB的垂直平分線 MN上有一

19、動(dòng)點(diǎn) D,則 BCD周長 的最小值為（）D. 18A .B. 13C.解：如圖，過A作AHLOB于H,連接AD,點(diǎn) A 坐標(biāo)為(10, 12), AO = AB,.OH=BH=10, AH = 12,又. OC = 3BC,，BC=5, CO=15,.CH = 15- 10=5,.MN垂直平分AB, . AD= BD, .BD+CD=AD+CD, 當(dāng)A, D, C在同一直線上時(shí)， BCD周長的最小值為 AC+BC的長,此時(shí)，RtAACH 中，AC13, . BCD周長的最小值=13+5=18,故選：D.填空題（共12小題）8.如圖，在 ABC中，AB = AC=10cm, BC= 8cm, A

20、B的垂直平分線交 AB于點(diǎn)M,交AC 于點(diǎn)N,在直線 MN上存在一點(diǎn) P,使P、B、C三點(diǎn)構(gòu)成的 PBC的周長最小，則4PBC 的周長最小值為18cm . . PBC 的周長=BC+PB+PC, BC=8cm, .PB+PC的值最小時(shí)， PBC的周長最小,.MN垂直平分線段AB,PA= PB,PB+PC= FA+PCW AC= 10cm,PB+PC的最小值為10cm, . PBC的周長的最小值為 18cm.故答案為18cm9 .如圖，等邊 ABC中，BDAC于D, AD = 3.5cm.點(diǎn)P、Q分別為 AB、AD上的兩個(gè)定點(diǎn)且BP=AQ = 2cm,著在BD上有一動(dòng)點(diǎn) E使PE+QE最短，則P

21、E+QE的最小值為 5BA= BC,BD± AC,AD= DC = 3.5cm,作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q',連接PQ'交BD于E,連接QE,此時(shí)PE + EQ的值最小.最小值 PE+PQ = PE + EQ' =PQ',AQ= 2cm, AD = DC = 3.5cm, .QD = DQ' = 1.5 (cm),.CQ' = BP=2 (cm),AP=AQ' = 5 (cm), . / A=60° , .APQ'是等邊三角形，PQ' = PA = 5 (cm), . PE+QE的最/、值為5cm.故答案

22、為5.10 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有 A (- 3, 4)、B (- 1, 0)、C (5, 10)三點(diǎn)，連接 CB,將線段CB沿y軸正方向平移t個(gè)單位長度，得到線段 C1B1,當(dāng)CiA+ABi取最小值 時(shí)，實(shí)數(shù)t= 2 .解：過A點(diǎn)做AM垂直于x軸，作B關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)N,連接CN交AM于P, AP長為所求；N (-5, 0)貝U CN 的解析式為：y=x+5,當(dāng) x= - 3 時(shí)，y = 2,所以PM = 2,因?yàn)?A (- 3, 4),所以 ap=4-2=2,所以t=2;故答案為2;11 .定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段PQ和點(diǎn)M,在 MPQ中，當(dāng)PQ邊上的高為2 一時(shí)，稱

23、點(diǎn)M為PQ的等高點(diǎn)”，稱此時(shí)MP+MQ的值為PQ的“等高距離”.已知P （1 , 2）, Q （3, 4）,當(dāng)PQ的“等高距離”最小時(shí)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4, 1）或（0,5） .解：如圖，由題意：點(diǎn) M在直線EF或直線E' F'上運(yùn)動(dòng).作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P',連接QP'交直線EF于點(diǎn)M （4, 1）,此時(shí)PM+MQ 的值最小，作點(diǎn)P關(guān)于直線E' F'的對(duì)稱點(diǎn)P，連接QP交直線E' F'于點(diǎn)M' （0, 5）.此 時(shí)PM + MQ的值最小，綜上所述.滿足條件的點(diǎn) M坐標(biāo)為（4, 1）或（0, 5）.故答案為（4, 1

24、）或（0, 5）.12 .如圖，/ AOB=30° ,點(diǎn)P是/AOB內(nèi)的一定點(diǎn)，且 OP=6,若點(diǎn) M, N分別是射線OA, OB上異于點(diǎn)。的動(dòng)點(diǎn)，則 PMN周長的最小值是 6 .解作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P',作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P“，連接P'P”, 則P'P”的長就是 PMN周長的最小值；在OP'P"中，OP'=OP"， /AOB=30° ,. P'OP"=60° ,.OP=6,P'P”=6;故答案為6;13 .如圖，已知在矩形 ABCD中，AB=6, BC=9, E、F為矩

25、形內(nèi)部的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足 EF/ BC, EF=4, S 四邊形 befc=26,貝 U BE+EF+FC 的最小值等于 4 一 .解：作EGLBC于G,作FH / BE交BC于H,如圖所示: EF / BC, FH / BE,四邊形BEFH是平行四邊形，F(xiàn)H= BE, BH = EF = 4,.CH = BC-BH = 5, BE+FC=FH+FC,EF II BC, EF = 4, S四邊形 befc = 26,(4+9) X EG=26,解得：EG = 4,若 BE+EF+FC 最小，則 BE+FC= FH + FC 最小,作點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)C',連接HC交直線EF于F&#

26、39;,連接F'C,則FH+FC的最小值為 F'H + F'C=HC',在 RtAHCC'43, CC'=4+4=8,由勾股定理得：HC'一,. BE+EF+FC 的最/、值=4 一;故答案為：4 一.第21頁（共32頁）14 .如圖，/ AOB = 40° , M、N 分別在 OA、OB 上，且 OM = 2, ON = 4,點(diǎn) P、Q 分別在OB、OA上，貝U MP+PQ + QN的最小值是" .解：作點(diǎn)N關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)E,作點(diǎn)M關(guān)于OB的對(duì)稱F,連接EF, EF的長即為MP + PQ+QN的最小值. . / A

27、OB=40° ./ EOF= 120°作 FH ± EO . OF=OM=2, OE = ON = 4 ./ HOF = 60°HO = 1EF MP+PQ+QN 的最小值一.15 .如圖，等邊三角形 ABC的邊長為3,過點(diǎn)B的直線lAB,且4ABC與AA' BC'關(guān)于 直線l，AB,且 ABC與 A' BC'關(guān)于直線l對(duì)稱，.A, B, A 共線， . / ABC=Z A BC' =60° , ./ CBC' = 60° ,. C' BA' =Z C' BC,

28、BA = BC, .BDCA' , CD = DA',. .C, A'關(guān)于直線BC'對(duì)稱，當(dāng)點(diǎn)D與B重合時(shí)，AD+BC的值最小，最小值為線段 AA'的長=6, 故答案為6.CC16.如圖，在 RtAABC 中，/ ACB = 90° , / ABC =60° , AB = 4,點(diǎn) D 是 BC 上一動(dòng)點(diǎn)， 以BD為邊在BC的右側(cè)作等邊 BDE, F是DE的中點(diǎn)，連結(jié) AF , CF,則AF+CF的最 小值是 2 .解：以BC為邊作等邊三角形 BCG,連接FG, AG,作GH，AC交AC的延長線于 H ,第23頁（共32頁）. BDE和

29、 BCG是等邊三角形,，DC = EG,FDC = Z FEG= 120° , DF= EF, . DFCA EFG (SAS),FC= FG,，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中， AF+FC = AF + FG,而 AF+FG>AG,，當(dāng)F點(diǎn)移動(dòng)到AG上時(shí)，即A, F, G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+FC的最小值=AG, , BC= CG -AB=2, AC=2 一，在 RtACGH 中，/ GCH = 30° , CG=2,.GH = 1, CH ,AG.AF+CF的最小值是2 一.17.如圖，在邊長為 2的等邊 ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn) E在線段AD上，連結(jié)BE, 在BE的下方作等

30、邊 BEF,連結(jié)DF .當(dāng) BDF的周長最小時(shí)，/ DBF的度數(shù)是 30°解：如圖，連接CF,ABC、 BEF都是等邊三角形,.AB=BC=AC, BE=EF=BF, Z BAC=Z ABC =Z ACB = Z EBF = Z BEF = Z BFE = / ABC - / EBD = / EBF - / EBD ,第21頁(共32頁)ABE=Z CBF ,在 8人£和4 BCF中,BAEA BCF (SAS), ./ BCF=Z BAD = 30° ,如圖，作點(diǎn) D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn) G,連接CG, DG,則FD = FG , 當(dāng)B, F, G在同一直線上時(shí)，

31、DF + BF的最小值等于線段 BG長，此時(shí) BDF的周長最小，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得/ DCG =2/BCF = 60° , CD = CG, . DCG是等邊三角形，dg = dc=db,，/DBG = /DGB -Z CDG= 30° ,故答案為：30 °第29頁（共32頁）P是/ BAC的18 .如圖，等腰 ABC中，AB=AC = 4, BC=6, 4ABD是等邊三角形，點(diǎn)角平分線上一動(dòng)點(diǎn)，連 PC、PD,則PD+PC的最小值為 4點(diǎn)P是/ BAC的角平分線上一動(dòng)點(diǎn)，AB=AC,AP垂直平分BC,，CP= BP,PD+PC= PD+PB,當(dāng)B, P, D在

32、在同一直線上時(shí)，BP + PD的最小值為線段 BD長,又ABD是等邊三角形， AB=BD = 4,.PD+PC的最小值為4,故答案為：4.19 .如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A、B均在由面積為1的相同的小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上.若P是x軸上使得PA - PB的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點(diǎn), 則 OP?OQ = 5.解：連接AB并延長交x軸于點(diǎn)P,由三角形的三邊關(guān)系可知，點(diǎn)P即為x軸上使得|PA-PB|的值最大的點(diǎn)， 點(diǎn)B是矩形ACPD的中心， 點(diǎn)P即為AB延長線上的點(diǎn)，此時(shí) P (3, 0)即OP=3;作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn) A連接A' B交y軸于點(diǎn)Q,則A'

33、; B即為QA+QB的最小值, . A' (- 1, 2), B (2, 1),設(shè)過A' B的直線為：y= kx+b,則,解得，.Q (0,-),即 OQ .OP?OQ = 3 5.故答案為：5. 0.在 ABC中，AB=AC,點(diǎn)D是直線 BC上一點(diǎn)(不與 B、C重合)，以AD為一邊在AD 的右側(cè)作 ADE,使 AD = AE, / DAE = / BAC,連接 CE.(1)如圖，若 ADE,使AB = AC=2,點(diǎn)D在線段BC上，/ BCE和/ BAC之間是有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不必說明理由；當(dāng)四邊形ADCE的周長取最小值時(shí)，直接寫出BD的長；(2)若/ BACW60。，當(dāng)點(diǎn) D

34、在射線BC上移動(dòng)，如圖 ，則/ BCE和/ BAC之間有 怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.解：(1) /BCE+/BAC=180° ;如圖1 ABDA ACE,BD= EC,.四邊形 ADCE 的周長=AD+DC + CE+AE= AD+DC+ BD +AE = BC+2AD ,當(dāng)AD最短時(shí)，四邊形 ADCE的周長最小，即 ADLBC時(shí)，周長最小； AB= AC,BD BC=1;(2) / BCE+Z BAC= 180° ;理由如下：如圖 2,AD與CE交于F點(diǎn)， . / BAC=Z DAE, ./ BAD = Z CAE, AB= AC, AD = AE,ABDA ACE,

35、./ ADB = Z AEC, . / AFE = Z CFD , ./ EAF = Z ECD , . Z BAC=Z FAE, Z BCE+Z ECD = 180 ./ BCE+ Z BAC = 180° ;21.如圖，在 ABC中，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是AP的中點(diǎn)，PDLAB,垂足為D,PEXAC,垂足為E,連接MD , ME .(I )求證：/ DME = 2 / BAC;(n)若/ B= 45° , / 0=75° , AB 一，連接DE,求 MDE周長的最小值.解：（I）解法一：: PDXAB, PEXA0, M 為 AP 中點(diǎn),DM = EM

36、AP=AM,.Z 1 = Z 2, / 3=/ 4, / 5=/ 1 + /2=2/1, / 6=/ 3+/4= 2/3, ./ DME =/ 5+/ 6 = 2/ 1+2/ 3= 2 / BAC;解法二：: PDXAB, PEXAC, M 為 AP 中點(diǎn), 1 DM = EM -AP=AM = PM , 點(diǎn)A, D, P, E在以M為圓心，MA為半徑的圓上, ./ DME =2/ BAC;(II)過點(diǎn)M作MNLDE于N,Bp C由(I )知 DM = EM ,，/DMN=/EMN -Z DME , DN=EN, . / B=45° , / 0=75° , ./ BA0=6

37、0° .由（I）知，/ DME =2/BAC= 120° ./ DMN =60° ,DN = DM?sinZ DMN DM ,DE= 2DNDM, MDE 周長=DM+DE+DE= DM+DM DM=（2-）DM=（2 一）-AP,當(dāng)AP最短時(shí)， MDE周長最小.此時(shí)APXB0;當(dāng)APBC時(shí)，/ B=45° , AP AB 一 一 6. MDE周長最小值為(26=6+3第31頁(共32頁)22.已知 ABC 中，AC = 6cm, BC=8cm, AB = 10cm, CD 為 AB 邊上的高.動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A出發(fā)，沿著 ABC的三條邊逆時(shí)針走一圈回到

38、A點(diǎn)，速度為2cm/s,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.(1)求CD的長；(2) t為何值時(shí)， ACP為等腰三角形？(3)若M為BC上一動(dòng)點(diǎn)，N為AB上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在 M , N使得AM+MN的值最小?如果有請(qǐng)求出最小值，如果沒有請(qǐng)說明理由.解：（1）AC=6cm, BC=8cm, AB=10cm,-AC2+BC2= AB2,ACB=90° ,.CD為AB邊上的高， .AC?BC= AB?CD,1. CD = 4.8cm；(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)， . / ACB=90° ,若AACP為等腰三角形，只有 AC=PC=6, ' t 6s,當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，. ACP為等腰三角形，分

39、三種情況：當(dāng) AC = AP時(shí)，即10 (2t68) = 6,解得：t=9,當(dāng) AC=CP=6 時(shí)，即一10 (2t68) ,解得：t=8.4,當(dāng) AP=CP=10 (2t68)時(shí)，即 10- (2t6 8) =5,解得：t=9.5,綜上所述：t為6, 8.4, 9, 9.5時(shí)，4ACP為等腰三角形；(3)如圖作點(diǎn) A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn) A',過A'作A' NLAB于N,交BC于M,則A' N就是AM + MN的最小值， .CDXAB, .CD/A' N,. AC=CA',AD= DN, .A' N = 2CD = 9.6,即AM + MN

40、的最小值=9.6.23.如圖，在游藝室的水平地面上，沿著地面的AB邊放一行球，參賽者從起點(diǎn) C起步，跑向邊AB任取一球，再折向 D點(diǎn)跑去，將球放入 D點(diǎn)的紙箱內(nèi)便完成任務(wù)，完成任務(wù)的 時(shí)間最短者獲得勝利，如果邀請(qǐng)你參加，你將跑去選取什么位置上的球？為什么？A poooooooC 解：如圖，參賽者應(yīng)向 E點(diǎn)跑，因?yàn)锳B所在直線是DD'的垂直平分線，所以ED = ED' , C, D'兩點(diǎn)之間CE+ED'是最短的（兩點(diǎn)之間線段最短） ，所以CE+ED 是最短的.第33頁（共32頁）24. （1）如圖1,直線同側(cè)有兩點(diǎn)A、B,在直線上求一點(diǎn) C,使它到A、B之和最小.（保留作