圓冪定理講義(帶問題詳解)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)圓哥定理STEP 1:進(jìn)門考理念：1.檢測垂徑定理的基本知識(shí)點(diǎn)與題型2. 垂徑定理典型例題的回顧檢測。3. 分析學(xué)生圓部分的薄弱環(huán)節(jié)。(1)例題復(fù)習(xí)。1. (2015?夏津縣一模)一副量角器與一塊含 30。銳角的三角板如圖所示放置，三角板的直角頂點(diǎn)C落在量角器的直徑MNk,頂點(diǎn)A, B恰好都落在量角器的圓弧上，且 AB/ MN若AB=8cm則量角器的直徑 MN=cm文案大全【考點(diǎn)】【分析】OE的長,【解答】在直角.CD=BC sinB=4 xcm) ,.1.OE=CD=23,M3垂徑定理的應(yīng)用； KQ勾股定理；T7:解直角三角形.作CD! AB于點(diǎn)D,取圓心 O,連接 OA彳O已AB于

2、點(diǎn)E,首先求得 CD的長，即 在直角 AOE中，利用勾股定理求得半徑 OA的長，則MN即可求解.解：作CDLAB于點(diǎn)D,取圓心 O,連接OA彳OELAB于點(diǎn)E.ABC中，/ A=30 ,則 BC=AB=4cm 在直角 BCD中，/ B=90 - Z A=60 ,在4AOE中，AE，AB=4cm貝OA=Ae?+OE112 =21 (cm)，貝MN=2OA訴(cm).故答案是：4fj.【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，在半徑或直徑、弦長以及弦心距之間的計(jì)算中，常用的方法是轉(zhuǎn)化為解直角三角形.2. （2017?阿壩州）如圖將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過A. 2cm B.3cm C. 2

3、d iCmD. 2 _；cm【考點(diǎn)】M2垂徑定理；PB:翻折變換（折疊問題）.【分析】通過作輔助線，過點(diǎn)。作ODL AB交AB于點(diǎn)D,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知 OA=2OD根據(jù) 勾股定理可將 AD的長求出，通過垂徑定理可求出AB的長.【解答】解：過點(diǎn)。作ODL AB交AB于點(diǎn)D,連接OA; OA=2OD=2cm，AD=J0人2_qd 2可產(chǎn) _（cm）,. ODL AB, . AB=2AD=2巧 cm.故選：D.【點(diǎn)評】 本題考查了垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵.3. （2014?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O P的圓心坐標(biāo)是（3, a）（a3）,半徑為3,函數(shù)y=x的圖象

4、被。P截得的弦AB的長為4m,則a的值是（）MiZpXA. 4 B , 3m C .班 D . 3+V3【考點(diǎn)】M2垂徑定理；F8: 一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；KQ勾股定理.【專題】11 :計(jì)算題；16 :壓軸題.【分析】Pd x軸于C,交AB于D,彳P已AB于E,連結(jié)PB,由于OC=3 PC=a易得D點(diǎn) 坐標(biāo)為（3, 3）,則4 OCM等腰直角三角形， PED也為等腰直角三角形.由 PEAB,根據(jù)垂徑定理得 AE=BE=Lab=2/2,在RtPBE中，利用勾股定理可計(jì)算出 PE=1,則PD=PE= 衣，所以a=3+J2.【解答】解：作Pdx軸于C,交AB于D,彳PE! AB于E,連結(jié)PB,

5、如圖， 0P的圓心坐標(biāo)是(3, a) , OC=3 PC=a,把 x=3 代入 y=x 得 y=3,. D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3),. CD=3 . OCM等腰直角三角形，. PED&為等腰直角三角形， . PE AB,. . AE=BE=LaBX4J=2&, 在 Rt PBE中，PB=3iLuPE=v32T2&2二,PdV2PE=/ + m2,ID解得所以，-二QA 嘲3一1故選D.【點(diǎn)評】本題考查了相交弦定理，即 “圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)所分得的兩線段的長的乘積相等”.熟記并靈活應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵.需要做輔助線的綜合題【例4】（2008秋？蘇州期末）如圖，O。過M點(diǎn)，OM交。于A,

6、延長。O 的直徑AB交。M于C,若AB=8 BC=1,則AM=.【考點(diǎn)】M7相交弦定理；KQ勾股定理；M6圓周角定理.【分析】 根據(jù)相交弦定理可證 AB? BC=E? BF= （EM+MB （ML MB =AM- MEB=8,又由直徑對的圓周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6【解答】解：作過點(diǎn) M B的直徑EF,交圓于點(diǎn)E、F, 則 EM=MA=MF由相交弦定理知， AB? BC=EB BF= （ EM+M B （MF- MB =aM- mB=8,.AB是圓。的直徑，/ AMB=90 ,由勾股定理得， aM+mB=aB=64 , .AM=6Ex、【點(diǎn)評】 本題利用了相交弦定理，直徑對的圓周角

7、是直角，勾股定理求解.二、割線定理割線定理割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積 相等.幾何語言： PBA, PDC是。的割線PD?PC=PA?PB （害U線定理）由上可知：PT2=PA?PB=PC?PD基本題型【例5】（1998?紹興）如圖，過點(diǎn)P作。的兩條割線分別交。于點(diǎn)A、B 和點(diǎn)G D,已知PA=3 AB=PC=2則PD的長是（）A. 3 B. 7.5 C . 5D. 5.5【考點(diǎn)】MH切割線定理.【分析】由已知可得PB的長，再根據(jù)割線定理得 PA? PB=PC PD即可求得PD的長.【解答】解： PA=3, AB=PC=2PB=5, PA? P

8、B=PG PD, .PD=7.5,故選B.【點(diǎn)評】主要是考查了割線定理的運(yùn)用.【考點(diǎn)】MH切割線定理；KQ勾股定理.【分析】RtABC中，由勾股定理可直接求得【練習(xí)2】（2003?天津）如圖，RtzXABC中，/ C=9（J , AC=3 BC=4以點(diǎn) C 為圓心、CA為半徑的圓與AB BC分別交于點(diǎn)D E.求AR AD的長.AB的長;延長BC交。C于點(diǎn)F,根據(jù)割線定理，得 BE? BF=BD? BA,由此可求出 BD的長，進(jìn)而可求 得AD的長.【解答】 解：法1:在RtABC中，AC=3 BC=4;根據(jù)勾股定理，得 AB=5.延長BC交。C于點(diǎn)F,則有：EC=CF=AC=3。C 的半徑），B

9、E=B。EC=1, BF=BC+CF=7由割線定理得，BE? BF=BD? BA,于是BD=-=-所以1 Q AD=AB- BD= 5法2:過C作CML AB,交AB于點(diǎn)M,如圖所示,SiA ABC=AC? BC=AB? CM 且 AC=3 BC=4, AB=5,2.CM在RtAACM,根據(jù)勾股定理得:AC2=AM+cM,即 9=AM (叫) 5解得:【考點(diǎn)】【分析】C 4 D. 4 7t【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對勾股定理及割線定理的理解及運(yùn)用.綜合題型【例6】（2015?武漢校級(jí)模擬）如圖，兩同心圓間的圓環(huán)的面積為16九，過P作大圓的弦AB,則PA? PB的值是（）MH切割線定理.過P點(diǎn)作大

10、圓的直徑 CD如圖，設(shè)大圓半徑為 R,小圓半徑為r,根據(jù)相交弦定理得到 PA? PB= (OC- OB ?(OP+OD=R2-r2,再利用兀R2兀r2=16 兀得到R2-r2=16,所以PA? PB=16【解答】 解：過P點(diǎn)作大圓的直徑 CD如圖，設(shè)大圓半徑為 R,小圓半徑為r, . PA? PB=PG PD,PA? PB= ( OC- OP ? ( OP+OD=(R r) ( R+r)=R2 - r2,兩同心圓間的圓環(huán)(即圖中陰影部分)的面積為 16兀，R R - Tt 2 = 16 兀,.R2- r2=16, .PA? PB=16.故選A.【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理： 平分弦的直徑平分這條

11、弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了相交弦定理.【思考】觀察講義課后練習(xí)最后一道題，是否有思路?三、切割線定理切割線定理切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的 積相等.幾何語言： PBA, PDC是。的割線 PD?PC=PA?PB （害U線定理）由上可知：pt2=pa?pb=pc?pd.出【例7】（2013?長清區(qū)二模）如圖，PA為。的切線，A為切點(diǎn)，。O的割線PBC點(diǎn)。與。分別交于B、C, PA=8cm PB=4cm求。的半徑.【考點(diǎn)】MH切割線定理.【專題】11 ：計(jì)算題.【分析】 連接OA設(shè)。的半徑為rcm,由勾股定理，列式計(jì)算即可.【解答】解：連

12、接OA設(shè)。的半徑為rcm, （ 2分）則 r2+82= （r+4） 2, （ 4 分）解得r=6 , .-.O。的半徑為6cmi ( 2分)【點(diǎn)評】 本題考查的是切割線定理，勾股定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.【練習(xí)3】(2013秋？東臺(tái)市期中)如圖，點(diǎn)P是。直徑AB的延長線上一點(diǎn),PC切。于點(diǎn)C,已知OB=3 PB=2則PC等于()D. 5【考點(diǎn)】MH切割線定理.【專題】11 :計(jì)算題.【分析】根據(jù)題意可得出PC2=PB?PA,再由OB=3,PB=2,則PA=8,代入可求出PC.【解答】 解：: PC PB分別為。的切線和割線，PC2=PB? PA,. OB=3, PB=2PA=&PC2=PB?

13、 PA=2X 8=16, . . PC=4.故選C.【點(diǎn)評】 本題考查了切割線定理，熟記切割線定理的公式pC=pb? pa四、切線長定理切割線定理(1)圓的切線長定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.(2)切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角.(3)注意：切線和切線長是兩個(gè)不同的概念,切線是直線，不能度量；切線長是線段的CM長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.(4)切線長定理包含著一些隱含結(jié)論:垂直關(guān)系三處;全等關(guān)系三對;弧相等關(guān)系兩對，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到.IV【例8】

14、（2015?秦皇島校級(jí)模擬）如圖，一圓內(nèi)切四邊形ABCD且BC=10AD=7則四邊形的周長為（）A. 32 B. 34 C. 36 D. 38【考點(diǎn)】MG切線長定理.【分析】根據(jù)切線長定理，可以證明圓外切四邊形的性質(zhì)：圓外切四邊形的兩組對邊和相等，從而可求得四邊形的周長.【解答】 解：由題意可得圓外切四邊形的兩組對邊和相等，所以四邊形的周長 =2X （7+10） =34.故選：B.【點(diǎn)評】此題主要考查了切線長定理，熟悉圓外切四邊形的性質(zhì)：圓外切四邊形的兩組對邊和相等是解題關(guān)鍵.【練習(xí)4】（2015?岳池縣模擬）如圖，PA, PB切。于A, B兩點(diǎn)，CD切。O 于點(diǎn)E交PA, PB于C, D,若

15、。的半徑為r, PCD勺周長為3r,連接OA OP則反內(nèi)的值是（）PAA會(huì)后BV C t D噌【考點(diǎn)】MG切線長定理；MC切線的性質(zhì).【分析】利用切線長定理得出 CA=CF DF=DB PA=PB進(jìn)而得出PA里r,求出即可.【解答】解：.PA, PB切。于A, B兩點(diǎn)，CDW。于點(diǎn)E交PA PB于C, D,.CA=CF DF=DB PA=PBPC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3rPA=r ,2則?今的值是：3 0 ,r2 故選：D.【點(diǎn)評】此題主要考查了切線長定理，得出PA的長是解題關(guān)鍵.【例9】（2014秋？夏津縣校級(jí)期末）如圖，P為。外一點(diǎn)，PA, PB分別切。O于A, B, C

16、D切。O于點(diǎn)E,分別交PA PB于點(diǎn)C, D.若PA=5則 PCD 的周長和/ COS別為（）A. 5, (90 +/P)B. 7, 90。e C. 10, 90。-1/PD.g9。方【考點(diǎn)】MG切線長定理.【分析】根據(jù)切線長定理，即可得到連接OA OE OB根據(jù)切線性質(zhì)，/PA=PBED=AD CE=BC從而求得三角形的周長 =2PA;P+/ AOB=180 ,再根據(jù) CD為切線可知/ COD= Z AOB2【解答】 解：PA、PB切。于A、B, CD切。于E, .PA=PB=10 ED=AD CE=BC . PCD的周長=PD+DE+PC+CE=2PAPA PCD的周長=2PA=10,;

17、如圖，連接OA OE OB由切線性質(zhì)得， OA! PA, OBL PB, OEL CD DB=DE AC=CE .AO=OE=Q B易證 AO二 EOC (SAS , EO陰 BOD (SAS , / AOCh EOC / EODW BOD ./ AOB=180 - / P,/ COD=90 - ZP.2【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題，是基礎(chǔ)題型.五、圓哥定理請嘗試解出下列例題：【例10】（2005?廣州）如圖，在直徑為6的半圓窟上有兩動(dòng)點(diǎn)M N,弓玄AM BN相交于點(diǎn)P,則AP? AM+BP BN

18、的值為.【考點(diǎn)】M7相交弦定理；KQ勾股定理；M6圓周角定理.【專題】16 :壓軸題；25 :動(dòng)點(diǎn)型.【分析】 連接AN BM根據(jù)圓周角定理，由 AB是直徑，可證/ AMB=90 ,由勾股定理知，BP2=MP+BM,由相交弦定理知，AP?PM=BPPN 原式=APAP+PM+BP( BP+PN =AP2+AP? PM+B2+BP ? PN=Ap+BP2+2AP? PM=AP+MP+BM+2AP? PM=aP+ (AP+PM 2=Ap+AM=AB2=36.【解答】解：連接AN BM.AB是直徑,/ AMB=90 .bpmP+bM. AP? PM=BP PN原式=AP (AP+PM +BP (BP

19、+PN =AP2+AP? PM+BP+BP? PN=AP+BP2+2AP? PM=AP+MP+BM+2AP? PM=bM+ (AP+PM 2=BM+AM=AE2=36.【點(diǎn)評】 本題利用了圓周角定理和相交弦定理，勾股定理求解.以上四條定理統(tǒng)稱為圓幕定理。（部分參考書以前三條為圓幕定理）圓幕定理：過平面內(nèi)任一點(diǎn)P （P與圓心。不重合）做。的（切）割線,交。與點(diǎn)A、B,則恒有PA PB = OP2 -r2。（ “ OP2 -r2 ”被稱為點(diǎn)P到。O的幕。）STEP 3:落實(shí)鞏固一一查漏補(bǔ)缺理念：找到自己本節(jié)課的薄弱環(huán)節(jié)。STEP 4:總結(jié)理念：本結(jié)課復(fù)習(xí)了什么？學(xué)到了什么?方法：學(xué)生口述+筆記記錄

20、。STEP 5:課后練習(xí)一.選擇題（共5小題）1.如圖所示，已知。中，弦AB, CD相交于點(diǎn)P, AP=6 BP=2 CP=4則PD 的長是（）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【分析】可運(yùn)用相交弦定理求解，圓內(nèi)的弦AB, CD相交于巳因此AP? PB=C? PD,代入已知數(shù)值計(jì)算即可.【解答】 解：由相交弦定理得 AP? PB=C? PD,. AP=6, BP=2 CP=4,PD=AP? PB+ CP=6X 2 + 4=3.故選D.【點(diǎn)評】本題主要考查的是相交弦定理“圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)所分得的兩線段的長的乘積相等”.2 .。的兩條弦 AB與 CD相交于點(diǎn) P, PA=3c

21、m PB=4cm PC=2cm 貝U CD=（:A. 12cm B. 6cm C. 8cm D. 7cm【分析】根據(jù)相交弦定理進(jìn)行計(jì)算.【解答】 解：由相交弦定理得：PA? PB=PG PD,. DP= - =.-J_=6cm, CD=PC+PD=2+6=8c啪選 C.PC 2【點(diǎn)評】本題主要是根據(jù)相交弦定理“圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)所分得的兩線段的長的乘積相等”進(jìn)行計(jì)算.3 .如圖，O。中，弦 AB與直徑CD相交于點(diǎn)P,且PA=4 PB=6 PD=2則。O的半徑為（）A. 9 B. 8C. 7 D. 6【分析】 根據(jù)相交弦定理得出 APX BP=CP DP,求出CP,求出CD即可.

22、【解答】 解：由相交弦定理得：APX BP=CP DP, . PA=4, PB=6, PD=2.CP=12, .DC=12+2=14,CD是。O直徑， 。0半徑是7.故選C.【點(diǎn)評】本題考查了相交弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)定理得出APX BP=CP OP .CP=DPab=8,制總，_ _ _ 3 _AP=AB=2, PB=AB=6.4 a AB、CD。的兩條相交弦，交點(diǎn)為 巳 .PC? PD=A? PB, PC2=2X6, .PC=2. ；.【點(diǎn)評】本題考查了相交弦定理： 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.同時(shí)考查了垂徑定理，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.7.如圖，AB, BC

23、 CM另I與。O相切于 E, F, G,且 AB/ CD BO=6cm CO=8cm求BC的長.A E S【分析】根據(jù)切線長定理和平行線的性質(zhì)定理得到BOB直角三角形.再根據(jù)勾股定理求出BC的長.【解答】解：: AB, BC, CD分別與。O相切于E, F, G;/ ABC / BCO上 21. AB/ CD/ABC4Z DCB=180 , / CBO它 BCO=L / abc+- / DCB=-222（/ ABC吆 DCB =90-I；一；.-所【點(diǎn)評】解答此題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用切線長定理和平行線的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)RtABOCC再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算.8.如圖，PA切。于點(diǎn)A,制J線PBCfc。于點(diǎn)B、C.(1)求證：pA=pb? pc；(2)割線PD段。于點(diǎn)D E,且PB=BC=4 PE=6求DE的長.【分析】（1）連接 AR AG BO AQ 可證得 PAB PCA 則PA _PBPC -PA即 PA2=PB? PC(2)由pA=PB?PC,同理得，pA=PD? PE,可證得PD?PE=P?PC,根據(jù)題意可