2020年全國(guó)卷Ⅱ理數(shù)高考試題(含答案)

1、高考真題絕密啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。本試卷滿分150分。2 .作答時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目 要求的.1 .已知集合 U=-2 , -1 , 0, 1, 2, 3, A=-1 , 0, 1, B=1 , 2,則（a|Jb）A. -2 , 3B. -2 , 2,3 C. -2 ,-1,0, 3 D. -2 ,-1,0,2, 32 .若a為第

2、四象限角，則A . cos2 o>0B. cos2 a<0C. sin2 o>0D. sin2 K03 .在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開(kāi)通網(wǎng)上銷(xiāo)售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過(guò) 1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者A. 10 名B. 18 名C. 24 名D. 32 名4 .北京天壇的 圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層

3、，上層中心有一塊圓形石板（稱(chēng)為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加 9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）A. 3699 塊B. 3474 塊C, 3402 塊D, 3339 塊5 .若過(guò)點(diǎn)(2, 1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x y 3 0的距離為A.三B.壁C士D. 41155556 .數(shù)列an中，ai2,amnaman.若 akiak2 ak1021525,則 kM ,在俯視圖中對(duì)A. 2B. 3C. 4D. 57 .下圖是一個(gè)多面體的三視圖，

4、這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為應(yīng)的點(diǎn)為N ,則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.7E F6 HA. EB. FC. GD. H22x y8 .設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 x a與雙曲線C : -y 看 1(a 0,b 0)的兩條漸近線分別交于 D ,E兩點(diǎn), a b若AODE的面積為8,則C的焦距的最小值為A. 4B. 8C. 16D. 329 .設(shè)函數(shù) f(x) ln|2x 1| ln|2x 1| ,則 f(x) 1 ，一，一， 一， 11 ,A.是偶函數(shù)，且在(1,)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在()單調(diào)遞減22 2C.是偶函數(shù)，且在(,1)單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(,二)單調(diào)遞減221

5、0,已知 ABC是面積為 唾 的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球面上.若球 。的表面積為16幾，則O4到平面ABC的距離為A.點(diǎn)B, 3C. 1D.2211 .若 2x-2y<3-x- 3-y,則A. ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0C. In I x-y I >0 D. In I x-y I <012.0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列aa2MBiII滿足a 0,1(i1,2,|),且存在正整數(shù)m,使得ai m a(i 1,2,川)成立，則稱(chēng)其為0-1周期序列，并稱(chēng)滿足a5ai(i1,2,山)的最小正整數(shù)m為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周

6、期為m的0-1序列a1a2 M| an |叫C(k)1 maiai km i 1(k 1,2,|,m 1)是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足C(k) 1(k 1 2 3 4)的序列是5a. ii0io|b. 11011Mlc. io00i|d. iio0i|、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。13 .已知單位向量a, b的夾角為45° , ka-b與a垂直，則k=.14 . 4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類(lèi)宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排 1名同學(xué)，則不同的安排方法共有 種.15 .設(shè)復(fù)數(shù)Zi,Z2滿足|乙|=憶2尸2,Ziz2吏i ,

7、則|4Z2|=.16 .設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).P2：過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.P4：若直線l 平面%直線m，平面 %則m,l.則下述命題中所有真命題的序號(hào)是 . P1P4PlP2P2P3 P3P4三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第 1721題為必考題，每個(gè)試題考 生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答 。(一)必考題：共 60分。17. (12 分) ABC 中，sin2A sin2B sin2C= sinBsinC.(1)求 A；(2)若BC=

8、3,求ABC周長(zhǎng)的最大值.18. (12 分)某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(Xi, yi)(i=1, 2,，20),其中Xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公20頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得Xi 60 ,i 120yi i 11200 ,20(Xi X)280 ，夢(mèng)想不會(huì)辜負(fù)每一個(gè)努力的人1220(yii 1202y) 9000, (Xi X)(yi y) 800 . i 1(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估

9、計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的 平均數(shù)乘以地塊數(shù))； 求樣本(Xi, yi) (i= 1 , 2,，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到 0.01);(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野 生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由.n(x X)(y y)附：相關(guān)系數(shù)r -=2J姓 1.414.nn( (X X)2(yi y)2.i 1i 119. (12 分)x2 y2 .、.一. .一 ,一.已知橢圓Ci：=與 1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合

10、.過(guò) a b 一 一，、 一 一，一一 4F且與x軸垂直的直線交 Ci于A, B兩點(diǎn)，交 C2于C, D兩點(diǎn)，且 CD - AB .3(1)求Ci的離心率；(2)設(shè)M是Ci與C2的公共點(diǎn)，若|MF |=5,求Ci與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.20. (12 分)如圖，已知三棱柱 ABC-AiBiCi的底面是正三角形，側(cè)面 BB1C1C是矩形，M, N分別為BC, BiCi的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)BiCi和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明：AAi/MN,且平面 AiAMN，平面 EBiCiF;(2)設(shè)。為 AiBiCi的中心，若 AO/平面EBiCiF,且AO=AB ,求直線BiE與平面AiAM

11、N所成角的正弦值.21. （i2 分）已知函數(shù) f（x） sin2xsin2x.(i)討論f(x)在區(qū)間(0, nt的單調(diào)性；(2)證明：1 f(x)孽；(3)設(shè) n N ,證明：sin2xsin22xsin24x(二)選考題：共i0分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題彳答。并用 2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22. 選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(i0分)i t i t(t為參數(shù)).已知曲線Ci, C2的參數(shù)方程分別為x 4COS2 ,八4cCi ：2（。為參數(shù)），C2 :y 4sin(i)將Ci, C2的參數(shù)方程化為普通方程;(2)以坐標(biāo)原

12、點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)Ci, C2的交點(diǎn)為P,求圓心在極軸上,且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)和 P的圓的極坐標(biāo)方程.23. 選彳4-5:不等式選講(i0分)已知函數(shù) f(x)= |x-a2|+|x-2a+i|.(i)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)>4的解集;若f(x)>4,求a的取值范圍.參考答案1 . A 2. D 3. B 4. C5. B 6. C7. A 8. B 9. D 10. C 11. A 12. C13.14. 3615. 2V316.17.解：（1）由正弦定理和已知條件得BC2 AC2 AB2 AC AB ,由余弦定理得BC2 AC2 AB22AC AB cosA

13、 ,1由，得cos A.2-A-2 冗因?yàn)? A 冗，所以A . 3(2)由正弦定理及(1)得JAC- 四_ -BC- 2，3,sin B sin C sin A從而 AC 273sinB, AB 2萬(wàn)sin(/ A B) 3cos B #sinB.故 BC AC AB 3. 3 sin B一冗冗又0 B 一,所以當(dāng)B 時(shí)，363cos B 3 2.3sin(B -). 3ABC周長(zhǎng)取得最大值3 2省.2018.解：（1）由已知得樣本平均數(shù) y Vi 60 ,從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為60X 200=12000.20 i 1（2）樣本（為?。╥ 1,2,|,20）的相關(guān)系數(shù)2080

14、080 9000(x x)(yi y)i 12020(x x)2(Vi y)2i 1i 1（3）分層抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣.理由如下：由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).19.解：（1）由已知可設(shè)C2的方程為y2 4cx ,其中c 7a2b2 .2. 2不妨設(shè)A,C在第一象限，由題設(shè)得A,B的縱坐標(biāo)分別為b-, b_ ； c

15、,D的縱坐標(biāo)分別為2c, 2c, a a故 | AB|至，|CD| a4c由 |CD |4| AB| 得 4c 38b，即 33a_ c 2. c 一 八.2 2(-)2,解得一2 (舍去)所以Ci的離心率為20.(2)由(1)知 a設(shè) M (xo, yo),則2c2xo4c2由于C2的準(zhǔn)線為x，一 、2 ，一 、(5 c)4(5 c)4c23c所以Ci的標(biāo)準(zhǔn)方程為顯,故C1 :2x4c22 y 3c22 y。 3c2c,所以|MF |2c 3362y27解：(i)因?yàn)镸, N分別為BC,因?yàn)?AiBiCi是正三角形,所以4cx0,故2xo4c2xoc ,而 | MF |1 , C2的標(biāo)準(zhǔn)方程

16、為BiCi的中點(diǎn)，所以MN代入得(舍去)，c12x .3./ CCi ,又由已知得 AAi / CCi,故 AAi / MN .BiCiXAiN,又 BiCiMN,故 BiCi，平面 AiAMN .所以平面AiAMN,平面EBiCiF .(2)由已知得AMXBC.以M為坐標(biāo)原點(diǎn),mA的方向?yàn)閤軸正方向，iMB'為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 M-xyz,則AB=2, AM=石.連接NP,則四邊形AONP為平行四邊形，故pm 型!,e(03,1,0).由(i)知平面AiAMN，平面ABC,333作NQXAM,垂足為Q,則NQ,平面ABC.設(shè) Q(a,o,o),則 NQ j4 (竽

17、 a)2 ,Bi(a,1,4 (竽 a)2),士6-2.32-12.32 12 io故 BE( a, -, -4 ( a)2),|BE| 33133一 一一.，兀/又n (0, i,0)是平面 AiAMN的法向量，故 sin(2 (n,cos. n,n|n|BiE|i0所以直線BiE與平面AiAMN所成角的正弦值為 叵.1021.解：(1) f (x) cosx(sin xsin2x) sin x(sin xsin2x)22sin xcosxsin 2x 2sin xcos2x2sin xsin3x .當(dāng) x (0,-) ( 3 " 3，)時(shí)，f (x) 0Jx 1刁時(shí)，f(x) 0

18、.所以f(x)在區(qū)間(0,-),( ,)單調(diào)遞增，在區(qū)間(，一)單調(diào)遞減.333 3(2)因?yàn)?f (0)f( ) 0,由(1)知，f (x)在區(qū)間0,的最大值為f1) 平，最小值為f (一) 3述,而f(x)是周期為 的周期函數(shù)，故.83(3)由于(sin2 xsin22x|“sin22nx)2| sin3 xsin3 2x|sin3 2nx |233 n 1n2 n|sinx|sin xsin 2x sin 2 xsin 2 x|sin 2 x|n 12 n|sinx| f(x)f(2x)f(2 x)|sin 2 x| f(x)f (2x)|f(2n 1x)| ,一 一 一Q Q 2nQn所以 sin xsin 2x sin 2nx ()3.8422 .解：(1) C1的普通方程為x y 4(0 x 4). _22122122由C2的參數(shù)方程得x t y2,y t 02,所以x y 4 .故C2的普通方程為x2 y2 4.(2)由x y 4,2.5 29(x0,0),由題意得 X2 (Xo 2)217cos 5(2)因?yàn)?f (x) |x222.2a |