(完整版)坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識點(diǎn)

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識點(diǎn)1 .平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變才奐:x gx (0)的作用y gy (0)下，點(diǎn)P(x,y)對應(yīng)到點(diǎn)P (x , y ),稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡稱伸縮變 換.2 .極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系,在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)。引一條射線Ox,叫做極軸；再選定一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆 時針方向),這樣就建立了一個極坐標(biāo)系注：極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景，而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)的關(guān)系，而極坐

2、標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為.有序數(shù)對(，)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(,).一般地，不作特殊說明時，我們認(rèn)為 0,可取任意實(shí)數(shù).特別地，當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時，它的極坐標(biāo)為(0,)(£ R).和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.如果規(guī)定0,02 ，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo) (，)表示;同時，極坐標(biāo)(，)表示的點(diǎn)也是唯一確定的.3.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸

3、的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，如圖所示：(2)互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)是(,)(0),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x, y)極坐標(biāo)(,)222xcosxy互化公式y(tǒng) tanysin(x 0)x在一般，f#況下，由tan確定角時，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限最小正角4.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓r(02 )圓心為(r,0),半徑為r的圓2r cos (一一)22圓心為(r, ),半2徑為r的圓O*2r sin (0)過極點(diǎn)，傾斜角為的直線(1) (R)或(R)(2) (0)和(0)過

4、點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線Lcos a( )22過點(diǎn)(a,)，與極 2軸平行的直線1, ().為|>*sin a(0)注：由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一，即(,),(,2),(,),(,，都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)，這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式，只要求至少有一個能滿足極坐標(biāo)方程即可.例如對于極坐標(biāo)方程 ，點(diǎn)M(,)可以表示為4 45(一, 2 )或(一, 2 )或(,)等多種形式，其中，只有(一,一)的極坐標(biāo)滿足方 4 44 44 44 4程 二、參數(shù)方程1 .參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x, y都是某

5、個變數(shù)t的函數(shù)x f (t)，并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M (x, y)都在這條曲線上y g(t)那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x, y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.2 .參數(shù)方程和普通方程的互化般地可以通過消去參數(shù)而從(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式參數(shù)方程得到普通方程(2)如果知道變數(shù) x, y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x f (t),把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y g(t),那么 x f(t)就是曲線的參數(shù)方程，在參數(shù)方程與y g(t)普通方程的互化中，必須使x

6、, y的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3 .圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓 。的半徑為r ,點(diǎn)M從初始位置M0出發(fā)，按逆時針方向在圓 O上作x r cos勻速圓周運(yùn)動，設(shè) M(x,y),則(為參數(shù))。y r sin這就是圓心在原點(diǎn) O,半徑為r的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是 OM0轉(zhuǎn)過的角度。圓心為(a,b),半徑為r的圓的普通方程是(x a)2 (y b)2 r2,x a r cos .它的參數(shù)方程為：(為參數(shù))。y b r sin4 .橢圓的參數(shù)方程2

7、2以坐標(biāo)原點(diǎn)。為中心，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為與4 1(a b 0),其參 a2 b2x a cos 數(shù)方程為(為參數(shù))，其中參數(shù) 稱為離心角；焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方y(tǒng) bsinv2 x2x bcos 程正-2 f 1(a b 0),其參數(shù)方程為(為參數(shù)),其中參數(shù)仍為曷心aby asin角，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為 0,2 )。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來，除了在四個頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外(即在 0到2的范圍內(nèi))，在其他任何一點(diǎn)，兩個角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)一時，相應(yīng)地也有2,在其他象限內(nèi)類似。25 .雙曲線的參數(shù)

8、方程以坐標(biāo)原點(diǎn)。為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為2 y b21(a 0,b 0),2 X-21(a 0,b 0),其參數(shù)方程為bbcotacsc（為參數(shù)，其中(0,2)eax asec其參數(shù)萬程為（為參數(shù)），其中 0,2 ）且一,y btan22焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是當(dāng)a以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角。6 .拋物線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線y2 2px（p 0）的參數(shù)方程為x 2嗔為參數(shù)）.y 2pt7 .直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)M0（x0,y。），傾斜角為 （ 萬）的直線l的普通方程是y y tan （x x°）,x x tcos而過M 0（x0, y）,傾斜角為 的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）。y V。 t sin注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義:過定點(diǎn)M 0（x0,y0）,傾斜角為的直線l的參數(shù)、 x x0 t cos萬程為（t為參數(shù)），其中t表示直線l上以定點(diǎn) M0為起點(diǎn)，任一點(diǎn)y V0 t sinuuuunrM（x, y）為終