備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學二輪復習——幾何壓軸題特訓(含詳解解答)

1、備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學二輪復習一一幾何壓軸題特訓1、(2019河南？中考 第22題？10分)在 ABC中，CA=CB, / ACB= 點P是平面內(nèi)不與點 A, C重合的任意 一點.連接AP,將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段DP,連接AD, BD , CP.(1)觀察猜想如圖1,當60。時，且L的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是|CP (2)類比探究如圖2,當a= 90。時，請寫出且L的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由.CP(3 )解決問題當a= 90°時，若點E,F分別是CA,CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C,P,D在

2、同一直線上時膽的值.CP2、(2019陜西？中考 第22題？9分)在圖1, 2, 3中，已知YABCDABC 120，點E為線段BC上的動點，連接AE,以AE為邊向上作菱形 AEFG ,且 EAG 120 .(1)如圖1,當點E與點B重合時，CEF(2)如圖2,連接AF .填空：FAD EAB (填“”)；求證：點F在 ABC的平分線上；BC(3)如圖3,連接EG , DG ,并延長DG交BA的延長線于點H ,當四邊形AEGH是平行四邊形時，求一的值.AB3、(2019上海？中考 第22題？10分)圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋 AD

3、E可以繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)角為60時，箱蓋ADE落在AD E的位置(如圖2所示).已知AD 90厘米，DE 30厘米，EC 40厘米.(1)求點D到BC的距離；(2)求E、E兩點的距離.S 1圖24、(2019河南？中考 第17題？9分)如圖，在4ABC中，BA= BC , ZABC=90° ,以AB為直徑的半圓 。交AC于點D,點E是BD上不與點B, D重合的任意一點，連接 AE交BD于點F ,連接BE并延長交AC于點G.(1)求證： ADF BDG;(2)填空:若AB=4,且點E是BU的中點，則DF的長為取AE的中點H,當/ EAB的度數(shù)為 時，四邊形OBEH為菱形.5、

4、(2019 河北？中考 第 23 題？9 分)如圖，4ABC 和 ADE 中，AB = AD = 6, BC= DE , /B = / D = 30° 與邊BC交于點P (不與點B, C重合)，點B, E在AD異側(cè)，I為APC的內(nèi)心.(1)求證：/ BAD = Z CAE;(2)設AP=x，請用含x的式子表示PD,并求PD的最大值；(3)當ABLAC時，/ AIC的取值范圍為 m° <Z AIC<n° ,分別直接寫出 m, n的值.8、(2019北京？中考第20題？ 5分)如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點E, F分別在AB , AD上，BE=

5、DF ,一點(與點A、D不重合)，射線PE與BC的延長線交于點 Q.(1)求證： PDEA QCE;(2)過點E作EF / BC交PB于點F,連結(jié)AF ,當PB= PQ時,求證：四邊形AFEP是平行四邊形；請判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由.7、(2019福建？中考 第21題？8分)在RtABC中，/ ABC =90 ° , / ACB=30° ,將 ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn) 一定的角度a得到 DEC,點A、B的對應點分別是 D、E.(1)當點E恰好在AC上時，如圖1,求/ ADE的大??；(2)若a= 60°時，點F是邊AC中點，如圖2,求證：四邊形 BED

6、F是平行四邊形.圖1鄲連接EF.(1)求證：ACXEF;(2)延長EF交CD的延長線于點 G,連接BD交AC于點O.若BD = 4, tanG=J,求AO的長.210、(2019北京？中考 第27題？7分)已知/ AOB=30° , H為射線OA上一定點，OH =6 + 1 , P為射線OB上一 點，M為線段OH上一動點，連接PM,滿足/ OMP為鈍角，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉(zhuǎn)150° ,得 到線段PN,連接ON.(1)依題意補全圖1;(2)求證：/ OMP =/ OPN;(3)點M關于點H的對稱點為Q,連接QP.寫出一個OP的值，使得對于任意的點 M總有ON =

7、 QP,并證明.11、(2019北京？中考 第28題？7分)在 ABC中，D, E分別是 ABC兩邊的中點，如果DE上的所有點都在 ABC的內(nèi)部或邊上，則稱 口月為ABC的中內(nèi)弧.例如，圖 1中DE是ABC的一條中內(nèi)弧.(1)如圖 2,在 RtABC 中，AB = AC=2泥,D, E分別是AB, AC的中點，畫出 ABC的最長的中內(nèi)弧DE ,并直接寫出此時I的長;(2)在平面直角坐標系中，已知點 A (0, 2),B (0, 0), C (4t, 0) (t>0),在 ABC 中，D, E 分別是 AB ,AC的中點.1若t=,求 ABC的中內(nèi)弧DE所在圓的圓心P的縱坐標的取值范圍;若

8、在 ABC中存在一條中內(nèi)弧DE,使得DE所在圓的圓心P在 ABC的內(nèi)部或邊上，直接寫出 t的取值范圍.12、(2019安徽？中考第20題？10分)如圖，點 E在YABCD內(nèi)部，AF /BE , DF/CE.(1)求證： BCE ADF ;(2)設YABCD的面積為S ,四邊形AEDF的面積為T ,求§的值.T上的點F處，過點F作FG /CD13、如圖，矩形ABCD中，點E在邊CD上，將 BCE沿BE折疊，點C落在AD邊 交BE于點G ,連接CG .(1)求證：四邊形 CEFG是菱形；(2)若AB 6, AD 10,求四邊形 CEFG的面積.3士，點D為BC邊上的動點(點 4R A作A

9、F AD交射線DE于點14、(2019成都？中考 第27題？ 10分)如圖1,在 ABC中，AB AC 20, tanBD不與點B , C重合).以D為頂點作 ADE B ,射線DE交AC邊于點E ,以 F ,連接CF .(1)求證：ABDs DCE ；(2)當DE/AB時(如圖2),求AE的長；求出此時 BD的長；若不存在,(3)點D在BC邊上運動的過程中，是否存在某個位置，使得 DF CF ?若存在,請說明理由.參考答案1、(2019河南？中考 第22題？10分)在 ABC中，CA=CB, / ACB= 點P是平面內(nèi)不與點 A, C重合的任意 一點.連接AP,將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)a得

10、到線段DP,連接AD, BD , CP.(1)觀察猜想如圖1,當a= 60°時，且L的值是 1 ,直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60°.CP (2)類比探究如圖2,當a= 90。時，請寫出且L的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)， 并就圖2的情形說明理由. CP(3 )解決問題當a= 90°時，若點E, F分別是CA, CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點 C, P, D在同一直線上時黑的值.CP【考點】相似形綜合題.【分析】(1)如圖1中，延長 CP交BD的延長線于 E,設AB交EC于點O.證明 CAPBAD (SAS),即可解決問題.

11、(2)如圖2中，設BD交AC于點O, BD交PC于點E.證明 DABsfac,即可解決問題.(3)分兩種情形：如圖3- 1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于 H.證明AD=DC即可 解決問題.如圖3- 2中，當點P在線段CD上時，同法可證：DA = DC解決問題.【解答】解：(1)如圖1中，延長CP交BD的延長線于E,設AB交EC于點O. . / PAD = Z CAB = 60 ° , ./ CAP=Z BAD, . CA=BA, PA= DA,CAPA BAD (SAS), .PC=BD, /ACP = /ABD, . / AOC=Z BOE, ./ BEO=Z

12、CAO = 60 ° ,.迪=1 ,線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是PC故答案為1, 60° .(2)如圖2中，設BD交AC于點O, BD交PC于點E . / PAD = Z CAB = 45 ./ PAC=Z DAB . DABA RAC, ./ RCA=Z DBA,BDABPC AC= V2,. / EOC=Z AOB, ./ CEO=Z OABB = 45直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為45(3)如圖3- 1中，當點D在線段PC上時，延長 AD交BC的延長線于 H.H . CE=EA, CF = FB,EF / AB, ./ EFC=/ ABC = 4

13、5° , / RAO=45° , ./ PAO=Z OFH , . / POA=Z FOH , ./ H = Z APO, . / APC=90° , EA=EC,PE= EA=ECEPA=Z EAP = / BAHH = Z BAH ,BH = BA, . / ADP=Z BDC = 45° , ./ ADB= 90° , BDXAH, ./ DBA=Z DBC=22.5° , . / ADB=Z ACB = 90° , .A, D, C, B四點共圓，/DAC=/ DBC = 22.5° , / DCA = /

14、ABD = 22.5 ./ DAC=Z DCA = 22.5° , .DA=DC,設 AD=a,則 DC = AD = a, PD = ?a,A3CPa-如圖3- 2中，當點P在線段CD上時，同法可證： DA=DC,設AD = a,則CD=AD=a, PD=Y2a,PC = a -a2ADPCa.-W2、(2019陜西？中考 第22題？9分)在圖1,2, 3中，已知YABCD , ABC 120，點E為線段BC上的動點，連接AE,以AE為邊向上作菱形 AEFG ,且 EAG 120 .圖1圖2圖3(1)如圖1,當點E與點B重合時， CEF 60(2)如圖2,連接AF .填空：FAD

15、EAB (填“ ”，"”)；求證：點F在 ABC的平分線上；(3)如圖3,連接EG , DG ,并延長DG交BA的延長線于點H ,當四邊形AEGH是平行四邊形時，求-BC的值.AB【考點】相似形綜合題【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)計算；(2)證明 DAB FAE 60 ,根據(jù)角的運算解答；作FM BC于M, FN BA交BA的延長線于N ,證明 AFN EFM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 FN FM , 根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論；(3)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到 GH 2AH ,證明四邊形 ABEH為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)計算，得到答案.【解答】解：(1) Q四邊形AEFG是菱形，AE

16、F 180 EAG 60 ,CEF AEC AEF 60 ,故答案為：60 ;(2)Q四邊形ABCD是平行四邊形,DAB 180ABC 60Q 四邊形 AEFG 是菱形， EAG 120 ，F(xiàn)AE 60 ，F(xiàn)AD EAB ，故答案為： ；作 FM BC 于 M ， FN BA 交 BA 的延長線于N ，則 FNB FMB 90 ，NFM 60 ，又 AFE 60 ，AFN EFM ，Q EF EA ， FAE 60 ，AEF 為等邊三角形，F(xiàn)A FE ，在 AFN 和 EFM 中，AFN EFMFNA FME ，F(xiàn)A FEAFNEFM (AAS ) ，F(xiàn)N FM ，又 FM BC ， FN B

17、A ，點 F 在 ABC 的平分線上；(3) Q 四邊形 AEFG 是菱形， EAG 120 ，AGF 60 ，F(xiàn)GE AGE 30 ，Q 四邊形 AEGH 為平行四邊形，GE / /AHGAH AGE 30 , H FGE 30 ,GAH 90 ,又 AGE 30 ,GH 2AH ,Q DAB 60 , H 30 ,ADH 30 ,AD AH GE ,Q四邊形ABEH為平行四邊形，BC AD ,BC GE ,Q四邊形ABEH為平行四邊形，HAE EAB 30 ,平行四邊形ABEH為菱形，AB AH HE ,GE 3AB ,BC 3.ABABCD表示該車的后備箱，在打箱蓋ADE落在AD E的位

18、置(如3、(2019上海？中考 第22題？10分)圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形開后備箱的過程中，箱蓋 ADE可以繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)角為 60時圖2所示).已知AD 90厘米，DE 30厘米，EC 40厘米.(1)求點D到BC的距離；(2)求E、E兩點的距離.【分析】(1)過點D作D H BC ,垂足為點H ,交AD于點F ,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AD AD 90厘米，DAD 60 ,利用矩形的性質(zhì)可得出AFD BHD 90，在Rt AD F中，通過解直角三角形可求出D F的長，2合FH DC DE CE及DH D F FH可求出點 D到BC的距離；(2)連接AE, AE ,

19、EE ,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出 AE AE , EAE 60 ,進而可得出 AEE是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得出EE AE,在Rt ADE中，利用勾股定理可求出 AE的長度，結(jié)合EE AE可得出E、E兩點的距離.【解答】解：(1)過點D作D H BC ,垂足為點H ,交AD于點F ,如圖3所示.由題意，得： AD AD 90厘米， DAD 60 .Q四邊形ABCD是矩形，AD / /BC ,AFD BHD 90 .在 RtADF 中，DF AD gsin DAD 90 sin 6045百厘米.又QCE 40厘米，DE 30厘米，F(xiàn)H DC DE CE 70 厘米，D H D F FH

20、(45a/3 70)厘米.答：點D到BC的距離為(45右 70)厘米.(2)連接AE, AE , EE ,如圖4所示.由題意，得：AE AEEAE 60AEE是等邊三角形,EE AE .Q四邊形ABCD是矩形，ADE 90 .在Rt ADE中，AD 90厘米，DE 30厘米,AE TAdD1T 30 “10 厘米,EE 30/0 厘米.答：E、E兩點的距離是3040厘米.4、(2019河南？中考 第17題？9分)如圖，在4ABC中，BA= BC , ZABC=90° ,以AB為直徑的半圓 。交AC于 點D,點E是,而上不與點B, D重合的任意一點，連接 AE交BD于點F ,連接BE并

21、延長交AC于點G.(1)求證： ADF BDG;(2)填空:若AB=4,且點E是麗的中點，則DF的長為 4 2n ;取標的中點H,當/ EAB的度數(shù)為 30° 時,四邊形OBEH為菱形.【考點】圓的綜合題.【分析】(1)利用直徑所對的圓周角是直角，可得/ ADB = / AEB=90° ,再應用同角的余角相等可得/DAF =/DBG,易得 AD = BD, ADFA BDG 得證；(2)作FH ±AB,應用等弧所對的圓周角相等得/BAE=/DAE,再應用角平分線性質(zhì)可得結(jié)論；由菱形的性質(zhì)可得BE = OB,結(jié)合三角函數(shù)特殊值可得/EAB=30° .【解答

22、】解：(1)證明：如圖1, BA=BC, /ABC=90° , ./ BAC=45°AB是。O的直徑， ./ ADB=Z AEB = 90° , ./ DAF+Z BGD = Z DBG+Z BGD= 90° ./ DAF = Z DBG . / ABD+Z BAC= 90° ./ ABD=Z BAC = 45 °AD = BDADFA BDG (ASA);(2)如圖2,過F作FHAB于H,二點E是BD的中點，F(xiàn)D ±AD, FH ±ABFH = FDsinZ ABD = sin45° =,BF2FD =

23、V2,即 BF=&FD AB= 4, . BD = 4cos45° = 2>/2，即 BF+FD=2, (&+1 ) FD = 2匹FD= 3'= 4- 2/21+1故答案為連接OE, EH,二點H是|AE的中點,OH ±AE,. / AEB = 90° BEX AEBE/ OH四邊形OBEH為菱形,BE= OH = OB = AB2 .sin/ EABBEAB ./ EAB = 30故答案為：30°5、(2019 河北？中考 第 23 題？9 分)如圖，4ABC 和 ADE 中，AB = AD = 6, BC= DE ,

24、/B = / D = 30° ,邊 AD 與邊BC交于點P (不與點B, C重合)，點B, E在AD異側(cè)，I為APC的內(nèi)心.(1)求證：/ BAD = Z CAE;(2)設AP=x，請用含x的式子表示PD,并求PD的最大值；(3 )當AB，AC時，/ AIC的取值范圍為m ° < Z AIC < n ° ,分別直接寫出m , n的備用圖【考點】圓的綜合題.【分析】(1)由條件易證 ABCAADE,得/ BAC=/DAE,/ BAD = Z CAE .(2) PD=AD-AP=6-x,二點P在線段BC上且不與 B、C重合，二 AP的最小值即 APBC時A

25、P的長度, 此時PD可得最大值.(3) I為4APC的內(nèi)心，即I為4APC角平分線的交點，應用“三角形內(nèi)角和等于180?！凹敖瞧椒志€定義即可表示出/ AIC,從而得到 m, n的值.【解答】解：(1)在 ABC和 ADE中，(如圖1), ZB=ZDtaBC=DEABCA ADE (SAS) ./ BAC=Z DAE即 / BAD+ / DAC = / DAC+ / CAEBAD=Z CAE.(2) AD= 6, AP = x,PD = 6 - x當ADBC時，AP=LaB=3最小，即 PD=63=3為PD的最大值. 2(3)如圖 2,設/ BAP= % 則/ APC= a+30° ,

26、AB± AC ./ BAC=90° , / PCA = 60° , / PAC=90° - a, I為 APC的內(nèi)心 .AI、CI 分別平分/ PAC, / PCA,|AC = Z PAC, /ICA=PCA，/AIC=180° (/ IAC+/ICA)= 180° (/PAC+/PCA)2=180° - (90° -什60° )2=a+10520 V a< 90105a+105° V 150° ,即 105<Z AIC v 150m= 105, n= 150.6、（201

27、9海南？中考 第21題？13分）如圖，在邊長為 1的正方形 ABCD中，E是邊CD的中點，點 P是邊AD上一點（與點A、D不重合），射線PE與BC的延長線交于點 Q.（1）求證： PDEA QCE;（2）過點E作EF / BC交PB于點F,連結(jié)AF ,當PB= PQ時,求證：四邊形AFEP是平行四邊形；請判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由.【考點】四邊形綜合題.【分析】（1）由四邊形 ABCD是正方形知/ D = /ECQ = 90° ,由E是CD的中點知DE = CE,結(jié)合/ DEP=/ CEQ即可得證；（2）由 PB= PQ 知/ PBQ = / Q,結(jié)合 AD / BC

28、得/ APB=/ PBQ = / Q=Z EPD ,由 PDEAQCE 知 PE = QE,再由 EF / BQ 知 PF =BF,根據(jù) RtAPAB 中 AF= PF = BF 知/ APF = / PAF ,從而得/ PAF = / EPD,據(jù) 此即可證得PE/AF,從而得證；設AP=x,則PD = 1 - x,若四邊形 AFEP是菱形，則 PE=PA=x,由PD2+DE2= PE2得關于x的方程，解之 求得x的值，從而得出四邊形 AFEP為菱形的情況.【解答】解：（1）二.四邊形ABCD是正方形， ./ D = Z ECQ = 90° , .E是CD的中點，DE = CE,又.

29、 / DEP = / CEQ, . PDEA QCE (ASA);（2）. PB=PQ,PBQ=Z Q,. AD / BC, ./ APB = Z PBQ = Z Q=Z EPD, PDEA QCE,PE= QE, EF / BQ,PF= BF, 在 RtPAB 中，AF=PF = BF, ./ APF = / PAF, ./ PAF = Z EPD ,PE/ AF, EF / BQ / AD, 四邊形AFEP是平行四邊形；弓當AP=時，四邊形 AFEP是菱形. b設 AP = x,貝U PD= 1-x,若四邊形 AFEP是菱形，則 PE = PA = x,E是CD中點,在 RtAPDE 中，

30、解得x=4，8即當AP = ?時，8由 PD2+DE2=PE2得（1x） 2+ （方）2=x2,四邊形AFEP是菱形.7、(2019福建？中考 第21題？8分)在RtABC中，/ ABC =90 ° , / ACB=30° ,將 ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)定的角度“得到 DEC,點A、B的對應點分別是 D、E.(1)當點E恰好在AC上時，如圖1,求/ ADE的大小;(2)若a= 60°時，點F是邊AC中點，如圖2,求證：四邊形 BEDF是平行四邊形.【考點】平行四邊形的判定；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).【分析】(1)如圖1,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 CA=CD, Z ECD = Z BCA=

31、30° , / DEC = ZABC=90° ,再根據(jù)等 腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出/CAD,從而利用互余和計算出/ ADE的度數(shù)；(2)如圖2,利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到BF=-i-AC,利用含30度的直角三角形三邊的關系得到AB= AC,貝U BF = AB,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/ BCE=/ACD = 60° , CB=CE, DE = AB,從而得到 DE = BF, ACD和4BCE為等邊三角形，接著證明 CFDABC得到DF=BC,然后根據(jù)平行四邊形的判定方法得到 結(jié)論.【解答】(1)解：如圖1, , ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a得到 DE

32、C,點E恰好在AC上,CA=CD, Z ECD = Z BCA=30° , / DEC = /ABC=90° , CA=CD, ./ CAD=Z CDA = (180° - 30° ) =75° , ./ ADE= 90° 75° = 15° ;(2)證明：如圖2,點F是邊AC中點,BF = . / ACB=30° ,ab=1ac,2BF= AB, ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn) 60得到 DEC , ./ BCE=/ ACD=60° , CB = CE, DE = AB,DE = BF, AACD和

33、BCE為等邊三角形，BE= CB, 點F為 ACD的邊AC的中點，DF ±AC,易證得 CFDAABC,DF = BC,DF = BE,而 BF = DE, 四邊形BEDF是平行四邊形.8、(2019北京？中考第20題？ 5分)如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點E, F分別在AB , AD上，BE= DF ,連接EF.(1)求證：ACXEF;(2)延長EF交CD的延長線于點 G,連接BD交AC于點O.若BD = 4, tanG-,求AO的長.【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；解直角三角形.【分析】(1)由菱形的性質(zhì)得出 AB=AD, ACXBD, OB=OD,得出AB

34、: BE = AD: DF ,證出EF/ BD即可得出結(jié)論；(2)由平行線的性質(zhì)得出/ G = Z ADO,由三角函數(shù)得出tanG = tan Z ADO =,得出OA=LoD,由BDOD 22=4,得出 OD=2,得出 OA = 1 .【解答】(1)證明：連接BD,如圖1所示: 四邊形ABCD是菱形,AB= AD, ACXBD, OB=OD,BE= DF,AB: BE=AD: DF, EF II BD, ACXEF;(2)解：如圖2所示：由(1)得：EF / BD,.Z G=Z ADO,PA 1tanG = tan Z ADO =OD 2BD = 4,.OD = 2, .OA=1.10、(2

35、019北京？中考 第27題？7分)已知/ AOB=30° , H為射線 OA上一定點，OH =J3 + 1，P為射線OB上一 點，M為線段OH上一動點，連接PM,滿足/ OMP為鈍角，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉(zhuǎn)150° ,得 到線段PN,連接ON.(1)依題意補全圖1;(2)求證：/ OMP =/ OPN;(3)點M關于點H的對稱點為Q,連接QP.寫出一個OP的值，使得對于任意的點 M總有ON = QP,并證明.BB【考點】三角形綜合題.【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形.(2)由旋轉(zhuǎn)可得/ MPN =150° ,故/ OPN= 150° - / O

36、PM ;由/ AOB = 30°和三角形內(nèi)角和 180°可得/ OMP = 180° 30° /OPM = 150° /OPM,得證.(3)根據(jù)題意畫出圖形，以 ON=QP為已知條件反推 OP的長度.由(2)的結(jié)論/ OMP = /OPN聯(lián)想到其補 角相等，又因為旋轉(zhuǎn)有 PM = PN,已具備一邊一角相等，過點 N作NCLOB于點C,過點P作PDLOA于點D, 即可構(gòu)造出 PDMA NCP,進而得PD=NC, DM = CP.此時加上 ON = QP,則易證得 OCNQDP,所以 OC=QD.利用/ AOB=30° ,設 PD = N

37、C=a,貝 U OP= 2a, OD=/ja.再設 DM = CP=x,所以 QD=OC=OP+PC = 2a+x, MQ = DM+QD=2a+2x.由于點 M、Q 關于點 H 對稱，即點 H 為 MQ 中點，故 MH=MQ = a+x, DH2=MH - DM =a,所以OH = OD+DH =-/5a+a = JM+1 ,求得a=1,故OP = 2.證明過程則把推理過程反過來，以OP = 2為條件，利用構(gòu)造全等證得 ON= QP.【解答】解：(1)如圖1所示為所求.(2)設/ OPM = a, 線段PM繞點P順時針旋轉(zhuǎn)150。得到線段PN ./ MPN = 150° , PM=

38、 PNZ OPN=Z MPN - Z OPM = 150° - a . / AOB= 30°，/OMP = 180° - Z AOB - Z OPM = 180° 30° a= 150° a ./ OMP = Z OPN(3) OP = 2時，總有 ON = QP,證明如下：過點N作NCOB于點C,過點P作PDOA于點D,如圖2 ./ NCP=Z PDM = Z PDQ =90° . / AOB= 30° , OP = 2PD = -OP= 1 OD ； OH = ：+1DH =OH - OD = 1 . / OM

39、P = Z OPN.180° -Z OMP = 180° - Z OPN即/ PMD =/ NPC在 PDM 與 NCP中rZ?DM=ZNCP, ZPMD=ZNPCM=NPPDM NCP (AAS)，PD = NC, DM =CP設 DM = CP = x,貝U OC = OP+PC= 2+x, MH=MD + DH = x+1 點M關于點H的對稱點為QHQ = MH =x+1DQ = DH + HQ = 1+x+1 =2+x.OC =DQ在 OCN與4QDP中foc=qd, ZOCN=ZQDP=0QbNC=PDOCNAQDP (SAS).ON = QP11、（2019北京

40、？中考 第28題？7分）在 ABC中，D, E分別是 ABC兩邊的中點，如果DE上的所有點都在 ABC的內(nèi)部或邊上，則稱 DE為4ABC的中內(nèi)弧.例如，圖 1中DE是4ABC的一條中內(nèi)弧.卻圖2(1)如圖2,在RtABC中，AB = AC= 272, D, E分別是AB, AC的中點，畫出 ABC的最長的中內(nèi)弧 亞,并直接寫出此時I的長；(2)在平面直角坐標系中，已知點 A (0, 2), B(0, 0), C (4t, 0) (t>0),在 ABC中，D, E分別是AB,AC的中點.若t=L,求 ABC的中內(nèi)弧DE所在圓的圓心P的縱坐標的取值范圍；2若在 ABC中存在一條中內(nèi)弧 而，使

41、得而所在圓的圓心P在 ABC的內(nèi)部或邊上，直接寫出 t的取值范圍.【考點】圓的綜合題.【分析】(1)由三角函數(shù)值及等腰直角三角形性質(zhì)可求得DE = 2,最長中內(nèi)弧即以 DE為直徑的半圓，血的長即以DE為直徑的圓周長的一半；(2)根據(jù)三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心一定在DE的中垂線上，當t=一時，要注意圓心 P在DE上方的中垂線上均符合要求，在 DE下方時必須AC與半徑PE的夾角/ AEP滿足90° w/ AEPv 135° ;根據(jù)題意，t的最大值即圓心P在AC上時求得的t值.【解答】解：(1)如圖2,以DE為直徑的半圓弧 而，就是 ABC的最長的中內(nèi)弧DE,連接 DE, /A=

42、90° , AB = AC =272, D, E 分別是 AB, AC 的中點，BC= AC =_22 =4, DE=BC=X4=2,sinB sin4522Lj 1弧 DE= 2 2 兀=兀；(2)如圖3,由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，連接 DE,作DE垂直平分線FP,作EG±AC 交 FP 于 G,當 t=上時，C (2, 0),D (0, 1), E (1, 1), F(7；, 1),設P (X, m)由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心線段DE上方射線FP上均可，m>1,21. OA=OC, /AOC = 90°ACO =45°

43、 , DE / OC ./ AED=Z ACO =45作 EG,AC 交直線 FP 于 G, FG=EF=上根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點G的下方(含點 G)直線FP上時也符合要求;mW綜上所述,如圖4,設圓心P在AC上, P 在 DE中垂線上,.P為AE中點，作PM，OC于M,則PM =3_2 P (t, DE / BC ./ ADE=Z AOB=90° 1ae=vu而許 vp PD = PE, ./ AED=Z PDE . Z AED+Z DAE = Z PDE+ZADP = 90° , ./ DAE=Z ADPAP= PD= PE = AE2由三角形中內(nèi)弧定義知

44、，PDW PMAEW卷，AEW3,即打百T"解得：tv倉,t>00<t<V2.12、（2019安徽？中考第20題？10分）如圖，點 E在YABCD內(nèi)部，AF /BE , DF/CE.(1)求證： BCE ADF ;（2）設YABCD的面積為S ,四邊形AEDF的面積為T ,求號的值.T【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)ASA證明：BCE ADF ; 1（2）根據(jù)點E在YABCD內(nèi)部，可知：SBEC S AED - SYABCD ,可得結(jié)論. BEC AEDY ABCD2【解答】解：（1） Q四邊形ABCD是平行四邊形，AD BC ,

45、AD/BC,ABC BAD 180 ,Q AF / /BEEABBAF 180CBEDAF同理得 BCE ADF ,在BCE和 ADF中，CBE DAF Q BC AD , BCE ADFBCE ADF (ASA);(2) Q點E在YABCD內(nèi)部,1S BEC S AED SY ABCD，2由（1）知： BCES BCE S ADF ,&9邊形 AEDFS ADF1S AED S BEC S AED萬 SY ABCD，QY ABCD的面積為S ,四邊形AEDF的面積為T ,S旦2T -S213、如圖，矩形ABCD中，點E在邊CD上，將BCE沿BE折疊，點C落在AD邊上的點F處，過點F作

46、FG/CD交BE于點G ,連接CG .（1）求證：四邊形 CEFG是菱形；（2）若AB 6, AD 10,求四邊形 CEFG的面積.LB :矩形的性質(zhì)【考點】LA：菱形的判定與性質(zhì)；PB：翻折變換（折疊問題）；【分析】（1）根據(jù)題意和翻著的性質(zhì)，可以得到BCE BFE ,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和菱形的判定方法即可證明結(jié)論成立;(2)根據(jù)題意和勾股定理，可以求得AF的長，進而求得 EF和DF的值，從而可以得到四邊形 CEFG的面積.【解答】(1)證明：由題意可得，BCE BFE ,BEC BEF , FE CE ,Q FG / /CE ,FGECEB ,FGEFEG ,FG FE ,FG EC ,四邊形