不等式_解不等式復(fù)習(xí)課_教案

1、僅供個人參考不等式解不等式復(fù)習(xí)課教案教學(xué)目標(biāo)1 .通過復(fù)習(xí)小結(jié)，學(xué)生系統(tǒng)地掌握不等式的解法及其內(nèi)在聯(lián)系，提高學(xué)生 的解題技能.2 .通過對各類不等式內(nèi)在聯(lián)系的揭示，加深學(xué)生對等價(jià)轉(zhuǎn)化的認(rèn)識，為今 后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ).For personal use only in study and research; not for commercial use教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)解不等式變形過程中等價(jià)變換思想的理解和進(jìn)一步應(yīng)用.教學(xué)過程師：我們已對哪些不等式的解法做了研究？生：一元一次不等式；一元二次不等式；簡單的一元高次不等式；簡單的分 式不等式；簡單的無理不等式；簡單的指數(shù)不等式；簡單的對數(shù)不等式；含

2、有絕 對值的不等式.師：好.請先看幾道題目.（教師板書，請三位學(xué)生到黑板上做，其余學(xué)生在筆記本上做題）解下列不等式：1.2.3 . log2 (x+1 ) +logo.25 (x-1) >log4 (2x-1)（學(xué)生板書）1,解二原不等式, <=> 漢-2-Coxx(x +- 3)-(X + 1)(K - 3)K0X卜,0所以原不等式的解集為（-8, -1） U （0, 3.2 .解：原不等式2k +50, m +10,2x +5(x +1)2及+ 50, x + l<0、5笈，5，隗X-1,2x + 5>1+2x +152-1.卜)J, of (k + 2)(k

3、-2)<0或-1J,-2<x<2<=> .K<2或Y -1.d-i乙所以原不等式的解集為2.Ui3 .解：原不等式Cx + 1) 2 -log* (x-1) >log4(2x-l), x + l>0(log4 (x + 1) 2>log+ (x-1) 4-log+ C2x-1), =Q+iolog4 (x + 1) 2>log4 (x -1) C2z -1),x + l>Of<>.饕-10,2x-l>0(x+ 1) °(x -1) (2x -1), x- lt x>l0<芯<5, 廠

4、產(chǎn)、=> l<x<5.x>lx (x - 5)< 0, x>l所以原不等式的解集為（1,5）.(待三位學(xué)生寫完后，教師開始講評)師：好，這三個題解得都很正確.請問做第3題的同學(xué)，原題中的底數(shù)有2,0.25, 4這三個，換底時你為什么選擇以 4為底呢？生：都用大于1的底具單調(diào)性看起來比較方便，所以不選 0.25;如果用2為底，那么以0.25, 4為底的對數(shù)換底時真數(shù)中都要出現(xiàn)根號， 而最后還要把根 式變成整式，太麻煩.師：那為什么又要把左邊減的一項(xiàng)挪到右邊去呢？生：如果不移過去而直接運(yùn)算的話， 不等號左邊的真數(shù)將是個分式，最后也 得變成整式，同樣麻煩.師：好.

5、還有，左移項(xiàng)之后不等號右邊對數(shù)運(yùn)算時，為什么又多出兩個條件x-1 >0和2x-1 >0呢？在不等式中不是有l(wèi)og4 (x-1) (2x-1) 一項(xiàng)在，它已包含了(x-1) (2x-1) >0 嗎？生：是因?yàn)閤-1 >0且2x-1 >0和(x-1) (2x-1) >0這兩個條件是不等價(jià)的.如果略去x-1 >0和2x-1 >0這兩個條件將會擴(kuò)大解的范圍.師：很好.這些問題都是我們在解不等式的過程中應(yīng)該注意的.剛才我們分別回顧了簡單的分式不等式、無理不等式和對數(shù)不等式.在我們學(xué)習(xí)過的八類不 等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是最簡單、最基本的不等式

6、，而像我 們剛才做的這些其他類型的不等式，我們是如何解決的呢？生：把它們轉(zhuǎn)化為一元一次或一元二次不等式.師：具體來說這個轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)的呢？生：逐級轉(zhuǎn)化：超越不等式代數(shù)化；無理不等式有理化；分式不等式整式化； 高次不等式低次化.師：實(shí)現(xiàn)這些轉(zhuǎn)化的理論依據(jù)是什么？生：第一個是利用函數(shù)的單調(diào)性，后三者是根據(jù)不等式的性質(zhì).師：在這個轉(zhuǎn)化的過程中，最應(yīng)該注意的是什么？生：每一次變換必須是等價(jià)變換.師：為什么要求這樣？生：為了保證得到的解集與原不等式的解集相同.師：我們在處理方程求解的問題時也遇到過這個問題.那時并不要求等價(jià)變換，只要驗(yàn)一下根就可以了.這里不行嗎？生：不行.因?yàn)橐话惴匠痰母挥杏邢薜膸?/p>

7、個， 增根可以通過檢驗(yàn)的方式找 出來.而不等式的解集一般都是無限集，因此非等價(jià)變換產(chǎn)生的增根無法由檢驗(yàn) 來剔除.師：說得好.我們來通過幾個例題來看看如何用等價(jià)變換解不等式.例1 1泛<L (教師板書)(2x -1師：這道題中的x參與了分式運(yùn)算，還參與了無理運(yùn)算.也就是說，我們要 做兩次變換.應(yīng)該先進(jìn)行哪個變換呢？生：無所謂.師：那就請兩位同學(xué)來說說這兩種做法.（學(xué)生口述，教師板書）解法1；原不等式u='-D (xx -2.1<0 2x -12）30且2笈-1滬0,區(qū) ；或西32,x +1 x-<0 2x -1又或區(qū)2,廣一Q + D （2x-l） >0且 2z-

8、l盧 0所以原不等式的解集為（-8,-1） U 2, +OO）1-2xa解法2,原不等式& _ 2<2* 1，V2x -0x -2<- Li x -2)。且2x - I/O,所以原不等式的解集為2, +oo）.師：為什么這兩種解法得到的解集不一樣呢？生：因?yàn)榈诙N解法的笫一步變換不是等價(jià)變換. Jpg要求V2x -1二二0,而;奎要求件2>0且2區(qū)一 10,它們顯然不等價(jià)，這樣 2x -1J2x -1變換就縮小了解的范圍.故第一種解法是正確的.師：對.我們在剛才的練習(xí)第三題中也遇到過這個問題， 兩式均大于0與它 們的積（或商）式大于0是不等價(jià)的，這是我們在處理等價(jià)變換

9、時應(yīng)該注意的. 對 于這道題，我們就只能把它看作無理不等式.對復(fù)雜不等式的題型選擇離不開不 等式的等價(jià)性.請?jiān)倏催@道題.例2白|<L （教師板書）師：這道題看上去和例1很像，如何處理？生甲：當(dāng)然是先把絕對信號去掉，變成一個分式不等式，剩下的就和例1差不多了.師：好，把你的方法寫到黑板上.（學(xué)生板書）lx - 2|睇原不等式另 <=x _ 2、> -L2x - 2旦_ 2 - 2k-1 J- 3、一o,-*<02x -1(x-1) (2x1)>0且2父 J盧0, (x +1) (2戈-1)0且2笈-170所以原不等式的解集為（-OO, -1） U （ 1, +OO師

10、：正確.這個解法是把題目看成了絕對值不等式，它和例1的解法類似,都是把根號或絕對信號中的式子先看成一個整體來考慮它的范圍，這樣做比較容易保證等價(jià)性.這道題是否還有別的解法呢？生乙：有.這道題可以把它看作一個分式不等式，將不等式左邊變|x-21成昌<1,把分母乘過去就成了絕對值不等式師：在例1中這樣做不對，這里會對嗎?生乙：投問題.因?yàn)閨三4和后實(shí)際上是同一個次子，這樣可 |2x - 1|T|以保證等價(jià).師：好，寫出你的解法.（學(xué)生板書）解工原不等式=|2區(qū)-1| °所以原不等式的解集為（8, -1） U （1, +OO）師：正確.正像學(xué)生乙所說的那樣，|沼|<1和界<

11、;1是等價(jià)的，因此這個不等式可以當(dāng)作分式不等式來解.那么這兩種解法哪個更好 呢？生：第二種更好算一些.師：因此我們解決不等式問題時應(yīng)先觀察題目，在等價(jià)轉(zhuǎn)化的前提下盡量選擇簡捷的途徑.請?jiān)倏匆坏李}.2例3 >21og.x + 3 CO<a<l） .1-102.x師：這道題中的x也參加了對數(shù)運(yùn)算和分式運(yùn)算.應(yīng)把它看作哪類不等式?生：x參與的對數(shù)運(yùn)算只有l(wèi)ogax ,把這個整體看成一個未知數(shù)，就可以轉(zhuǎn)化成分式不等式了.師：好，說說你的解法.（學(xué)生口述，教師板書）22解：令t=10gli處則原不等式變?yōu)?;一>2t+ 3<=-2t-3>01 -11-11 -1t -

12、 1(t+0 (2t-l) Ct-1) <0, t .1 盧 0（t<- I2匕-1 或一1.的2所以原不等式二=kg*K J或，410gaX<L £.a又0<a< 1,則原不等式<=>沱* '或；<=>自<«而或卜0x>0aL所以原不等式的解集為（心點(diǎn)U J, +8）. a師：在最后確定解集時是如何確定前小，1的大小關(guān)系的？ a生：由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在。<#1時有師：對.在解集的端點(diǎn)中含有字母系數(shù)時，要特別注意它們大小的比較.下 面大家自己做幾個題目.（教師板書，學(xué)生在筆記本上做題）練習(xí)：解下

13、列不等式：L （區(qū)-2）J2x -1-0；2. log4 （1 hJ. X3. J-"十一 一22/ + 2, -10.（教師觀察學(xué)生完成情況，視學(xué)生解題狀況做出點(diǎn)評）府第1題有的同學(xué)直接把、距I去掉了，得到漢.2>0,可以嗎？生不可以這樣會漏掉一個解一g師：那如果把題目中的“學(xué)”號改成號就可以直接去掉了嗎？生：是.這樣不會漏掉解.師：試想，即使不影響結(jié)論，也是因?yàn)楹雎缘那闆r湊巧不在解集內(nèi).雖然我 們要求等價(jià)變換的目的是為了保證同解，但不能因?yàn)闇惽赏饩秃鲆暤葍r(jià)變換.（2x -l>0» .解：原不等式u=>（或2乂 - 1 = 0x- 2 #0或:<

14、 =gx>2或工=!.卜222所以原不等式的解集為1U12, +8）.乙I師：有的同學(xué)對于第2題無從下手.對于題中的字母 a我們?nèi)绾翁幚砟?？生：如果像?那樣給定了 0<a<1,那么不等式就可以轉(zhuǎn)化為0<14了. x師：那如果a>1呢？生,那就應(yīng)該是窗了.可是題目中并沒有說明&的范圍.解：1°當(dāng)a>1時，1原不等式 <=4：=1-總<=1->0區(qū)1笈0.310X儀(a-1) x+ Il <0,I卜#o辰2 當(dāng) 0<a<1 時，1一<%1-a<0,原不等式210P>0x1宣|x (1 -

15、a) x -1 <0且芯壬 0,1>1或x<0<=1 、=1 - -a>0 X«0， 1 1/1- a卜&)祖女o<x<,41- a宣1或笈<0剛才提到的兩種情況下的解法.（學(xué)生口述，教師板書）師：因此對于這種題,目我們就要對字母系數(shù)和范圍進(jìn)行分類討論.試著說說-1 - a所以當(dāng)>1時，原不等式的解集為(J, 0),當(dāng)0<&<1時，1 - a原不等式的解集為(1. J).1 - a師，在最后確定解集時是如何確定丁L與o, 1的大小的呢？1 - a殳在a>時顯一有丁L<(h在0<a<

16、;l時，0<l-a<L1 - a所以有丁Ll1 - a師：很好.對于含有字母系數(shù)的不等式，我們需要在必要時對字母系數(shù)的范 圍進(jìn)行討論；并且在最后確定解集時，要注意對含有字母系數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)的大小 比較.師：我看到有的同學(xué)處理第3題時下手就把兩邊平方，這樣做可以嗎？生：可以，但不好.如果一平方，不等號右側(cè)就成了四次式，那樣過于麻煩師：那又如何處理呢？生：觀察不等式，根號內(nèi)、外的x的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)的系數(shù)對應(yīng)成比例，由 這可以想到使用換元法.師：很好.這個方法我們在處理方程問題時就用過.把你的解法寫出來.(學(xué)生板書)船令tUL-2,則t>0.3則原不等式變?yōu)閠>2d-6=>

17、;(2t + 3)(t-2) Ui又t>0,則0<t<2, Bpo<+x-2<2x2 + x -20, J (x+2)(x -1)O，或K -2r一3笈3:7 +. - 2<4： ( (x + 3)(x -2)<0 3<W -2或1<h<2.所以原不等式的解集為(-3, -2) U 1, 2).師：很好.當(dāng)我們處理一些復(fù)雜的不等式時，有時可借助換元法使問題簡化.師：解不等式要立足基本題型，通過等價(jià)變換，把它們最終歸結(jié)為一元一次 不等式或一元二次不等式的求解.作業(yè)：解下列不等式：Jx + 2$2. J>+ 154. log

18、3;5-21ogK>3.1. |21gx-3|<b3. 75x-1>5x-3j作業(yè)答案或提示：1. x|10<x<100.2. x|0<x<72.3. x|0<x<1,可用換元法將根式當(dāng)作一個整體.11_4.1. .可用換元法把叫父當(dāng)作一'卜整體.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明1 .作為不等式解法的復(fù)習(xí)課，我們把等價(jià)變換放在突出位置.也就是說，要求每一次變形所得到的不等式和變形前的不等式是等價(jià)的.這與課本中有所不2.在本節(jié)課中，沒有給出不等式的這種分類（見分類表）.因?yàn)槲覀冋J(rèn)為應(yīng)該淡化形式，注重實(shí)質(zhì)，而且表中的不等式也并沒有全部涉及到. 我們對于各 類不等式的要求是不完全相同的，其中一元一次不等式、一元二次不等式分類表：一元一次不等式一元二次不等式一元高次不等式不等式代數(shù)不等式超越不等式有理不等式 無理不等式I整式不等式分式不等式同，課本原意是用同解不等式的觀點(diǎn)作統(tǒng)帥. 這樣做有這樣做的道理，但操作上 有困難.因?yàn)閮蓚€不等式是否同解，要等解出來以后，從結(jié)果才能看清楚，用作 為指導(dǎo)性的東西顯得有些困難.我們強(qiáng)調(diào)等價(jià)變換是從過程看，這樣做既好操作， 也符合邏輯，還容易看清楚，可以引導(dǎo)學(xué)生從邏輯上把解不等式理論認(rèn)識清楚.的解法是最基本的，它是解各類不等式的基礎(chǔ).而解其他類型的不等式，關(guān) 鍵