和倍差倍問題和差問題問題講義及練習(xí)問題詳解優(yōu)質(zhì)地

1、實用標(biāo)準(zhǔn)第一講和倍問題和倍問題是已知大小兩個數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個數(shù)的 應(yīng)用題.為了幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線 段圖的方法來表示兩種量間的這種關(guān)系，以便于找到解題的途徑。例1甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和 乙班各有圖書多少本？分析 設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲 班和乙班圖書本數(shù)的和相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的 4倍.還可以理解為4份的 數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)， 然后再求甲 班的圖書本數(shù).用下圖表示它們的關(guān)系：解：乙班：160+ （3+1） =40 （本）甲班：40X 3=12

2、0 （本）或 160-40=120 （本）答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。這道應(yīng)用題解答完了，怎樣驗算呢？可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加， 看和是不是160本；再把甲班 的本數(shù)除以乙班本數(shù)，看是不是等于 3倍.如果與條件相符，表明這題作 對了.注意驗算決不是把原式再算一遍。驗算：120+40=160 （本）120+ 40=3 （倍）。例2甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的 圖書是乙班圖書的2倍？甲班（一 ",130本分析 解這題的關(guān)鍵是找出哪個量是變量，哪個量是不變量.從已知條 件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、

3、 乙兩班圖書總和是不變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書的 2倍，那么 甲、乙兩班圖書總和相當(dāng)于乙班現(xiàn)有圖書的 3倍.依據(jù)解和倍問題的方法， 先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數(shù)相比較，可以求出甲班給 乙班多少本書（見上圖）。解：甲、乙兩班共有圖書的本數(shù)是:30+ 120=150 （本）甲班給乙班若干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數(shù)是:2+1=3 （倍）乙班現(xiàn)有的圖書本數(shù)是：150+3=50 （本）甲班給乙班圖書本數(shù)是：50-30=20 （本）綜合算式：（30+120） + （2+1） =50 （本）50-30=20 （本）答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的 2倍。驗算：（ 1

4、20-20） + （ 30+20） =2 （倍）（120-20） + （30+20） = 150 （本）。例3光明小學(xué)有學(xué)生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生 各有多少人？分析 把女生人數(shù)看作一份，由于男生人數(shù)比女生人數(shù)的3倍還少40 人，如果用男、女生人數(shù)總和 760人再加上40人，就等于女生人數(shù)的4 倍（見下圖）。解：女生人數(shù)：（760+ 40） + （ 3+1） =200 （人）男生人數(shù)：200X 3-40=560 （人）或 760-200=560 （人）答：男生有560人，女生有200人。驗算：560+200=760 （人）（560+40） +200=3 （倍）。例4果園

5、里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵.桃樹比梨樹的2倍多12棵， 蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？分析 下圖可以看出桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20 棵，都是同梨樹相比較、以梨樹的棵數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)、作為1份數(shù)容易解答.又知三種樹的總數(shù)是552棵.如果給蘋果樹增加20棵，那么就和梨樹同樣多 了；再從桃樹里減少12棵，那么就相當(dāng)于梨樹的2倍了，而總棵樹則變 為552+20-12=560 （棵），相當(dāng)于梨樹棵數(shù)的 4倍。梨協(xié)in蘋果樹L解：梨樹的棵數(shù)：（552+20-12） + （ 1+ 1 + 2）=560+ 4=140 （棵）桃樹的棵數(shù)：140X2+12=292 （棵）蘋

6、果樹的棵數(shù)：140-20=120 （棵）答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是 292棵、140棵和120棵。例5 549是甲、乙、丙、丁 4個數(shù)的和.如果甲數(shù)加上2,乙數(shù)減少2,丙 數(shù)乘以2, 丁數(shù)除以2以后，則4個數(shù)相等.求4個數(shù)各是多少？甲、（用 4./=一 jC ZL-2） fQ£小升）£ X 2 5 *j jfT丑" 1Tli /分析 上圖可以看出，內(nèi)數(shù)最小.由于內(nèi)數(shù)乘以2和丁數(shù)除以2相等， 也就是內(nèi)數(shù)的2倍和丁數(shù)的一半相等，即丁數(shù)相當(dāng)于內(nèi)數(shù)的 4倍.乙減2 之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根據(jù)這些倍數(shù)關(guān)系，可以 先求出丙數(shù)，再分別求出其他各數(shù)。解：內(nèi)數(shù)

7、是：（549+2-2） + （2+2+1+4）=549+ 9二61甲數(shù)是：61X2-2=120乙數(shù)是：61X2 + 2=124丁數(shù)是：61X4=244驗算：120+124+ 61+244=549120+ 2=122 124-2=12261X2=122 244+2=122答：甲、乙、丙、丁分別是 120、124、61、244.習(xí)題解答1 .小明的本數(shù)：120+ （2+1） =40 （本）.小強的本數(shù)：40X2=80 （本）。2 .杏樹的棵數(shù)：（340-20） + （ 3+ 1） =80 （棵）.桃樹的棵數(shù)： 80X3 + 20=260 （棵）。3 .長方形的寬：（30+ 2） + （2+1） =

8、5 （厘米）.長方形的長： 5X2=10 （厘米）。長方形的面積：10X5=50 （平方厘米）。4 .甲、乙兩水池共有水：2600+ 1200=3800 （立方米）甲水池剩下的水：3800+ （4+1） =760 （立方米）甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840 （立方米）經(jīng)過的時間（分鐘）：1840+ 23=80 （分鐘）。5 .甲、乙兩桶油總重量：470+190=660（千克）：當(dāng)甲桶油是乙桶油2倍時，乙桶油是：660+ （2+1） =220 （千克）：由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30 （千克）。6 .變化后的繩子總長95-7 +8=96 （米）.第二條純長：96+（

9、1 + 1+1） =32 （米）。第一條純長：32+7=39 （米）。第三條純長：32-8=24 （米）.第二講差倍問題前面講了應(yīng)用線段圖分析“和倍”應(yīng)用題，這種方法使分析的問題具 體、形象，使我們能比較順利地解答此類應(yīng)用題.下面我們再來研究與“和 倍”問題有相似之處的“差倍”應(yīng)用題?！安畋秵栴}”就是已知兩個數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)差倍問題的解題思路與和倍問題一樣， 先要在題目中找到1倍量，再 畫圖確定解題方法.被除數(shù)的數(shù)量和除數(shù)的倍數(shù)關(guān)系要相對應(yīng)，相除后得 到的結(jié)果是一倍量，然后求出另一個數(shù)，最后再寫出驗算和答題。?本例1甲班的圖書本數(shù)比乙班多 80本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的 3倍

10、，甲班和乙班各有圖書多少本?分析上圖把乙班的圖書本數(shù)看作1倍，甲班的圖書本數(shù)是乙班的 3 倍，那么甲班的圖書本數(shù)比乙班多 2倍.又知“甲班的圖書比乙班多 80 本”，即2倍與80本相對應(yīng)，可以理解為2倍是80本，這樣可以算出1 倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有圖書多少本。解：乙班的本數(shù)：80 + （3-1 ） =40 （本）甲班的本數(shù)：40 X 3=120 （本）或 40+80=120 （本）。驗算：120-40 = 80 （本）120+ 40=3 （倍）答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。例2菜站運來的白菜是蘿卜的3倍，賣出白菜1800千克，蘿卜300千克, 剩下的兩種蔬菜的重量

11、相等，菜站運來的白菜和蘿卜各是多少千克？Y3口芹克3倍 r*,1倍:堇卜:利下暄一分析 這樣想：根據(jù)“菜站運來的白萊是蘿卜的 3倍”應(yīng)把運來的蘿 卜的重量看作1倍；“賣出白菜1800千克，蘿卜300千克后，剩下兩種 蔬菜的重量正好相等”，說明運來的白菜比蘿卜多1800-300=1500（千克）. 從上圖中清楚地看到這個重量相當(dāng)于蘿卜重量的 3-1=2 （倍），這樣就可 以先求出運來的蘿卜是多少千克，再求運來的白菜是多少千克。解：運來蘿卜：（1800-300） + （ 3-1 ） =750 （千克）運來白菜：750 X 3=2250 （千克）驗算:2250-1800=450 （千克）（白菜剩下部

12、分）750-300=450 （千克）（蘿卜剩下部分） 答：菜站運來白菜2250千克，蘿卜750千克。例3有兩根同樣長的繩子，第一根截去 12米，第二根接上14米，這時 第二根長度是第一根長的3倍，兩根繩子原來各長多少米？第一根第二根乙分析 上圖，兩根繩子原來的長度一樣長，但是從第一根截去 12米, 第二根繩子又接上14米后，第二根的長度是第一根的3倍.應(yīng)該把變化后 的第一根長度看作1倍，而12+14=26 （米），正好相當(dāng)于第一根繩子剩 下的長度的2倍.所以，當(dāng)從第一根截去12米后剩下的長度可以求出來了， 那么第一根、第二根原有長度也就可以求出來了。解：第一根截去12米剩下的長度:（12+14

13、） + （ 3-1 ） =13 （米）兩根繩子原來的長度：13+12=25 （米）答：兩根繩子原來各長25米。自己進行驗算，看答案是否正確.另外還可以想想，有無其他方法求 兩根繩子原來各有多長.小結(jié)：解答這類題的關(guān)鍵是要找出兩個數(shù)量的差與兩個數(shù)量的倍數(shù)的 差的對應(yīng)關(guān)系.用除法求出1倍數(shù)，也就是較小的數(shù)，再求幾倍數(shù)。解題規(guī)律：差一倍數(shù)的差=1倍數(shù)（較小數(shù)）1倍數(shù)X幾倍=幾倍的數(shù)（較大的數(shù)）或：較小的數(shù)十差二較大的數(shù)。例4三（1）班與三（2）班原有圖書數(shù)一樣多.后來，三（1）班又買來 新書74本，三（2）班從本班原書中拿出96本送給一年級小同學(xué)，這時, 三（1）班圖書是三（2）班的3倍，求兩班原有

14、圖書各多少本？3倍三【1）班二”人二 懵¥本9E本1M本三（21班'n分析 兩個班原有圖書一樣多.后來三（1）班又買新書74本，即增加 了 74本；三（2）班從本班原有圖書中取出96本送給一年級同學(xué)，則圖 書減少了 96本.結(jié)果是一個班增加，另一個班減少，這樣兩個班圖書就相 差96+74= 170 （本），也就是三（1）班比三（2）班多了 170本圖書.又 知三（1）班現(xiàn)有圖書是三（2）班圖書的3倍，可見這170本圖書就相當(dāng) 于三（2）班所剩圖書的3-1=2倍，三（2）班所剩圖書本數(shù)就可以求出來 了，隨之原有圖書本數(shù)也就求出來了（見上圖）。解：后來三（1）班比三（2）班圖書多

15、多少本?74+ 96=170 （本） 三（2）班剩下的圖書是多少本?170+ （3-1 ） =85 （本）三（2）班原有圖書多少本?85+ 96=181 （本）（兩個班原有圖書一樣多）（74+96） + （ 3-1 ） + 96= 170+ 2+96= 85+96=181 （本）驗算：181+74=255（本）181-96=85 （本）255+ 85=3 （倍） 答：兩班原來各有圖書181本。例5兩塊同樣長的花布，第一塊賣出 31米，第二塊賣出19米后，第 塊是第一塊的4倍，求每塊花布原有多少米？1倍第一塊Lf 第二塊分析 已知兩塊花布同樣長，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少， 因此第一塊剩

16、下的少，第二塊剩下的多.所剩的布第二塊比第一塊多 31-19=12 （米）.又知第二塊所剩下的布是第一塊的 4倍，那么第二塊比 第一塊多出的12米正好相當(dāng)于所剩布的（4-1）倍，這樣，第一塊所剩布 的長度即可求出（見上圖）。解：第二塊布比第一塊布多剩多少米？31-19 = 12 （米） 第一塊布剩下多少米?文案大全實用標(biāo)準(zhǔn)12+ (4-1 ) =4 (米)第一塊布原有多少米？4+31=35 （米）（兩塊布原有長度相等）綜合列式：（31-19） + （4-1 ） +31=12+ 3+31=4+ 31=35 （米）驗算：35-31=4 （米）35-19 = 16 （米）16+4=4 （倍）答：每塊

17、布原有35米長。習(xí)題八解答1 .一頭牛重量是：4500+ （ 10-1 ） =500 （千克）一只大象重量：500 X 10=5000 （千克）。2 .杏樹棵數(shù)：90+ （3-1 ） =45 （棵）桃在t棵數(shù)：45X3=135 （棵）。3 .把第二塊布剩下的米數(shù)看作1倍數(shù)：（74-50） + （ 3-1 ） =12 （米）剪去的米數(shù)：50-12=38 （米）。4 .把甲校調(diào)走30人后的甲校人數(shù)看作1倍：（30X 2） + （ 3-1 ） =30 （人）甲、乙兩校原有教師各30+30=60 （人）。5 .甲筐重量：（19+7） + （3-1） =13（千克）原有重量：13+7=20 （千克）。6

18、 .甲數(shù)：（320+460） + 2= 390乙數(shù)：390+320=71。7 . （25-14） + （2-1） +25=11 + 1+25=11+25=36 （米）.第三講和差問題和差問題是已知大小兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，求大小兩個數(shù)各是多 少的應(yīng)用題。為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個數(shù)相差多少的不同敘述方式 有些題目明確給了兩個數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個數(shù)的差“暗藏”起來, 我們管暗藏的差叫“暗差”。例：“把姐姐的鉛筆拿出3支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多這說明姐姐的鉛筆比弟弟多3支，也說明姐姐和弟弟鉛筆相差 3支。再例：“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后，兩人鉛筆支數(shù)就同樣多.”如 果認(rèn)為姐

19、姐的鉛筆比弟弟多3支（差是3）,那就錯了 .實際上姐姐比弟 弟多2個3支.姐姐給弟弟3支后，自己留下3支，再加上他們原有的鉛 筆數(shù)，他們的鉛筆支數(shù)才可能一樣多.這里3X 2=6支，就是暗差。“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后還比弟弟多1支”，這就說明姐姐的鉛 筆支數(shù)比弟弟多3X2+1 = 7（支）。例1兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多 少千克？分析 這樣想：假設(shè)第二筐和第一筐重量相等時，兩筐共重 150+ 8= 158（千克）；假設(shè)第一筐重量和第二筐相等時， 兩筐共重150-8 = 142 （千 克）.咫第一筐：L .?芹千克j 1和千克第二筐：LJ?千克解法1:第二筐重多

20、少千克？（150-8） +2=71 （千克）第一筐重多少千克？71 + 8=79 （千克）或 150-71=79 （千克）解法2:第一筐重多少千克？（150+8） +2=79 （千克）第二筐重多少千克？79-8=71 （千克）或 150-79=71 （千克）答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。例2今年小強7歲，爸爸35歲，當(dāng)兩人年齡和是58歲時，兩人年齡各多少歲?笆爸：I4、I 7歲小強；一尸瞪分析題中沒有給出小強和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡， 那么今年兩人的年齡差是35-7=28 （歲）.不論過多少年，兩人的年齡差 是保持不變的.所以，當(dāng)兩人年齡和為58歲時他們年齡差仍是28歲

21、.根據(jù) 和差問題的解題思路就能解此題。解：爸爸的年齡：58 + (35-7) +2=58 +28 +2=86+ 2二43 （歲） 小強的年齡:58-43 = 15 （歲） 答：當(dāng)父子兩人的年齡和是 58歲時，小強15歲，他爸爸43歲。例3小明期末考試時語文和數(shù)學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是 94分，數(shù)學(xué)比語文多8分，問語 文和數(shù)學(xué)各得了幾分？分析解和差問題的關(guān)鍵就是求得和與差，這道題中數(shù)學(xué)與語文成績 之差是8分，但是數(shù)學(xué)和語文成績之和沒有直接告訴我們.可是，條件中 給出了兩科的平均成績是94分，這就可以求得這兩科的總成績.解：語文和數(shù)學(xué)成績之和是多少分?94X 2=188 （分） 數(shù)學(xué)得多少分?（188+8）

22、 + 2 = 196+ 2=98 （分）語文得多少分?（188-8） +2=180+ 2=90 （分）或 98-8=90 （分） 答：小明期末考試語文得90分，數(shù)學(xué)得98分.例4甲乙兩校共有學(xué)生864人，為了照顧學(xué)生就近入學(xué)，從甲校調(diào)入乙校32名同學(xué)，這樣甲校學(xué)生還比乙校多48人，問甲、乙兩校原來各有學(xué) 生多少人？分析 這樣想：甲、乙兩校學(xué)生人數(shù)的和是 864人，根據(jù)由甲校調(diào)入 乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多32X2+48 = 112 （人）.112是兩校人數(shù)差。32X2+48（人】甲校L>1飛人解：乙校原有的學(xué)生：（864-32X2-48） +2=376 （

23、人）甲校原有學(xué)生：864-376=488 （人）答：甲校原有學(xué)生488人，乙校原有學(xué)生376人。小結(jié)：從以上4個例題可以看出題目給的條件雖然不同，但是解題思路和解題方法是一致的.和差問題的一般解題規(guī)律是：（和+差）+ 2=較大數(shù) 較大數(shù)-差二較小數(shù)或（和-差）+ 2=較小數(shù) 較小數(shù)+差=較大數(shù)也可以求出一個數(shù)后，用和減去這個數(shù)得到另一個數(shù).下面我們用和差問題的思路來解答一個數(shù)學(xué)問題。例5在每兩個數(shù)字之間填上適當(dāng)?shù)募踊驕p符號使算式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 9=5分析這樣想：從1至9這幾個數(shù)字相加是不會得到5的，只能從一 部分?jǐn)?shù)字相加再減去一部分字后差是 5,也就是說1到9的和是45,而兩 部分的差是5,先要求出這兩部分?jǐn)?shù)字，利用和差問題的方法便可以求出。(45-5) + 2=20 , 20+5=25可求出其中幾個數(shù)的和是25,而另外幾個數(shù)的和是20.在組成和是 25的幾個數(shù)前面添上“ +”號