2018-2019學(xué)年上海市楊浦區(qū)控江中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2021-2021學(xué)年上海市楊浦區(qū)控江中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題、單項選擇題1.假設(shè)U是象限角,那么以下各式中,不恒成立的是A. tan( Tt+a )= tan( -aB.cos：C. csca =sin ( ir-ctD.2sec -1 sect,1 = tan ;結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,對四個選項逐個分析,可選出答案.對于選項A, tan九+口=tano #tanT,即 A 不正確；對于選項I冗B, cot I -1 二2.sinsin .：,即B正確;cos.o對于選項C, csc:=sin a sin (冗一口,即C正確;對于選項D,/1sec：- -1 sec.s 1 = cos-1

2、 =.2. 21 -cos - sin -.2=tan -,即D正確.應(yīng)選：A.此題考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運用,考查了三角函數(shù)的化簡,屬于根底題.e2.假設(shè) sin =2130cos二21213那么角6的終邊在第A.B.C.D.四【解析】由正弦和余弦的二倍角公式,可求得sinScos9的值,進而通過判斷其符合,可確定角9的終邊所在象限.【詳解】由題二二512八息,sin 二-2sin cos= 2 -一 ： 0 ,2213132cosi -1 -2sin故角e的終邊在第四象限應(yīng)選:D.【點睛】終邊在第一象限的角,其正弦為正,余弦為正,正切為正；終邊在第二象限的角,其正弦為正,余弦為負,正切為

3、負；終邊在第三象限的角,其正弦為負,余弦為負,正切為正；終邊在第四象限的角,其正弦為負,余弦為正,正切為負.3.在平面直角坐標系中,AB, CD,EF,GH是圓x2 + y2 =1上的四段弧如圖,點P在其中一段上,角 久以O(shè)為始邊,OP為終邊,假設(shè)tanot sina ,故A選項錯誤；yB 選項：當(dāng)點 P 在 CD 上時,cosa = x,sin a = y , tana=上, x, tana Asina cosa ,故 B 選項錯誤；yC 選項：當(dāng)點 P 在 EF 上時,cosa = x,sin a = y , tana , xA sin a cosa a tan a ,故 C 選項正確；D

4、選項：點P在GH上且GH在第三象限,tana A0,sin a 0,cosc 0 ,故D 選項錯誤.綜上,應(yīng)選C.點睛：此題考查三角函數(shù)的定義,解題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合思想,作出圖形,找到sin a ,cos a ,tan a所對應(yīng)的三角函數(shù)線進行比擬.4.對于數(shù)列an,假設(shè)存在常數(shù) M,使得對任意nw N,an與an書中至少有一個不小于M,那么記作anAM,那么以下命題正確的選項是.A.假設(shè)QnAM ,那么數(shù)列 Ln各項均大于或等于 M；B,假設(shè) K AM ,那么 a2 &M 2 ；C.假設(shè) QnAM, bnAM ,貝U+bnA2M ；D.假設(shè) fan Jam ,那么 2an +1A2M

5、 +1 ；【答案】D【解析】通過數(shù)列為1, 2, 1, 2, 1, 2,當(dāng)M =1.5時,判斷A；當(dāng)M = 3時,判斷 B；當(dāng)數(shù)列 Qn為 1, 2, 1, 2, 1, 2,bn為 2, 1, 2, 1, 2,M =1.6 時,可判斷C；直接根據(jù)定義可判斷D正確.【詳解】A中,在數(shù)列1, 2, 1, 2, 1, 2中,M =1.5,數(shù)列 匕力各項均大于或等于 M不成立,故A不正確；B中在數(shù)列1, 2, 1, 2, 1, 2中,M = 3,此時QJM2不正確,故B錯誤；C 中,數(shù)列aj為 1 , 2, 1 , 2, 1, 2,限為 2, 1, 2, 1, 2,M =1.6 ,而an +bj各項土

6、勻為3,那么4 +bnA2M不成立,故C不正確；D中,假設(shè)anbM ,那么2an +1中,2an+1與2an書+1中至少有一個不小于 2M +1 ,故七an+1i2M +1正確,應(yīng)選：D.【點睛】此題主要考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要真正理解定義anAM是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.二、填空題5,假設(shè)扇形的圓心角為 紅,半徑為2,那么扇形的面積為 .331 7【斛析】利用扇形面積公式 S = -aR可求出答案.2【詳解】 ,1012兀.4由題意,扇形的面積為S=1aR2 =-x2-X22 =- u.2233一,一,4故答案為：一%.3【點睛】此題考查了扇形的面積的計算,考查了學(xué)生的計算水平,屬于根

7、底題.46,假設(shè)點P(-3,y促角久終邊上的一點,且sma = g ,那么y =, 【答案】-4y 【解析】由正弦的定義,可彳#sin _ 222,即可求出y的值. -3y【詳解】y4由題意,s1n 口 = ；22： =,解得 y = 乂.一3y25故答案為：-4.【點睛】此題考查了利用角的終邊上任意一點除原點的坐標定義三角函數(shù),屬于根底題.27.假設(shè) Sina +cosa = ,貝J sin2a =.【答案】-92 .一 .【解析】 將sin a +cosa =的等號兩端分別平方,結(jié)合正弦的二倍角公式可求出答案【詳解】2. 22_ .4 -由題思,sin口 +cosa =sin a +cos

8、 a +2sin c cosa =1+sin2a =-,解得5sin 2 ：=-.5故答案為：一-.9【點睛】此題考查了同角三角函數(shù)的根本關(guān)系的運用,考查了正弦的二倍角公式的運用,考查了學(xué)生的計算水平,屬于根底題.8.假設(shè)等差數(shù)列an中,a6=3, Ln的前n項和為Sn,那么S11 =.【答案】33【解析】利用等差數(shù)列的前n項和公式S11 =衛(wèi)正一alJ,結(jié)合為+a1i =2a6,可求出答 2案.【詳解】等差數(shù)列 Q中,S11 Ja1 +&1=1伯6 =11父3=33.2【點睛】此題考查了等差數(shù)列前 n項和公式的運用,考查了等差中項的運用,屬于根底題.43 - 冗9.假設(shè) cos = g 且

9、tan a 0 ,那么 cos. 3 a J=.【解析】由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可得,再結(jié)合 sin2 1 二 1 cos2.二,可求【詳解】由題意,sin2 ： =1 -cos2 ：二1 一 3216525由于 tan a 0,所以 sina 0 , 正一砥動的形式為【答案】2cos ：- 3【解析】結(jié)合輔助角公式,可求得答案.由題意,cos：?;3 sin=2 tcos二sin 22=2cos i ；.故答案為：2cos I :【點睛】輔助角公式：asin x + bcosx = Ja2 +b2 sin(x+j )其中 tan9=P;a aasin x+bcosx = Ja +b cos(x-W

10、)其中 tan =g12.假設(shè)3冗LTta 且 cosa =2atan =2【解析】-32 ：cos ： =1 -2sin 一(a2 Jsin 一 cos 一 = 1,可求得sin , cos ,進而可求出a.tan .【詳解】2由題忌,cos ：. =1 -2sin4.一一,解得sin523旦 ,2102 ：,. 2 ：貝U cos 一 =1 -sin 一23冗冗ct 22tta,那么一 一22103兀 一4豆c aosin 0,cos：二 022故 sin U210a,cos=210:嗚-,tan - =2 = -3.10 ,2cos2故答案為-3.【點睛】 此題考查了三角函數(shù)求值,考查了

11、二倍角公式的運算,屬于根底題.13.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣: 12345678910根據(jù)以上排列的規(guī)律,第n行n之3從左向右的第3個數(shù)為2人【答案n n 6【解析】觀察三角形數(shù)陣,可得每一行的數(shù)放在一起,是從 1開始的連續(xù)的正整數(shù),故n行的最后一個數(shù)為前 n項數(shù)據(jù)的個數(shù),可先判斷第 n-1行的最后一個數(shù),然后遞推 出所得數(shù)據(jù)即可.【詳解】解：前n-1行共有正整數(shù) 1+2+-+ n-1個,2所以,第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第 n二n+3個,2即為那么所求數(shù)為歸納推理的一般步驟是：1通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；2從的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題猜測14 .假設(shè) tana,

12、 tan P 是方程 x2+4私+5 = 0的兩根,且u、日中221,那么a +P =.一 2【答案】- 2九3【解析】由一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系,可得到tanu +tanP和tana tan 口的值進而 可求得tan 十P 的值,再結(jié)合a+P的范圍,可求得答案tan 二 tan - - -4 3 由題意,tan 二 tan ： = 5tan 一:： tan-4 3 :一貝U tan- - = = = .3,1 -tan 二 tan :1 -5_Ltan 工 tan : : 0又 jtanutan ,那么.,tanP0,又由于a、pw：-,j,所以a、P ,0 i.2 2,2那么一九:二:

13、：: 0 ,又 tan (a + 3 )= J3,故 a + P = 2 %.2故答案為：一2九.3【點睛】此題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的運用,考查了兩角和的正切公式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計算水平,屬于根底題.15 .k是正整數(shù),且1 Mk M2021,那么滿足方程：sin1*+sin2+ sink = sin1 sin2 sin k的 k有 個.【答案】11【解析】由三角函數(shù)的值域可知,除k=1外當(dāng)?shù)仁絪in1 0+sin2電+ sink *=sin1 tsin2sink的左右兩邊均為 0時等式成立,由此可得 正整數(shù)k的個數(shù).【詳解】由三角函數(shù)的單調(diào)性及值域,可知sin1 tsin2

14、,.sin k1 .除k=1外只有當(dāng)?shù)仁絪in1 十sin2 t,+sink=sin1 tsin2 sink的左右兩邊均為0 時等式成立,那么 k=1、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800 時等式成立,滿足條件的正整數(shù) k有11個.故答案為：11.【點睛】此題考查三角函數(shù)的化簡求值,考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),尋找規(guī)律是解答該題的關(guān)鍵,屬根底題.三、解做題16,數(shù)列 Q)的前n項和Sn滿足：Sn=n2+7, ne N*,那么數(shù)列Qn)的通項公式8,n =12n-1,n -2【解析】利用an =Sn -Sn4,可求出n之2時,an的表達式,然后

15、驗證a1是否滿足an的表達式即可.【詳解】當(dāng) n=lH4,Si=a1 =1+7 = 8,當(dāng) n 2時,an =& Sn=n2 +7 (n1 j +7 = 2n1,顯然,31 =8不符合an = 2n 1,8,n 8 8 _u.8, n = 1故通項公式an =.2n -1,n ,28 8, n =1故答案為：,2n-1,n.2【點睛】Sn求an的3個步驟：(1)先利用a1 =6求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系,利用an =Sn Sn-1(n豈2)便可求出當(dāng)n 2 2時an的表達式；(3)注意檢驗n =1時的表達式是否可以與 n之2的表達式合并.17. tanu=2.(1)求

16、 tan u +- 的值； ,4(2)求 一2 Sin2的值.sin 二 一cos2：1,八八1【答案】(1) -3； (2)3taw+t嗎【解析】(1)由tan產(chǎn) + =必,可求出答案；41 - tan- tan -4. 一sin 2二：2sin cos：(2)由二倍角公式可得,= sco,然后分子分母同乘以sin : - cos 2- 1 1 sin -： 2sin 二1 廣,2 tan:21,可得到原式:2二,可得到答案.cos -3tan - 3tan -【詳解】.,一 兀tan tan(1) tan 口 +工=-=-3 ；41 - tan 二 tan - 1 -24(2)1sin2：

17、2sin ： cos：.2-7 = 22 -sin : cos2工3 1 sin ,: 2sin :2sin 二 cos二cos2 1 2tan：2112= -2=二-二二3sin2 ：3tan 13 tan3cos ;【點睛】此題考查了三角函數(shù)的二倍角公式的應(yīng)用,考查了三角函數(shù)恒等變換,屬于根底題18 . Ln 為等差數(shù)列,a3+a8=10, a6=6.(1)求數(shù)列匕口的通項公式；(2)求 a2 +a5 +a8 + + a68的值.【答案】(1) an=2n6；1472,2a19d =10【解析】(1)由a3 +% =10 , a6 =6,可得 ,即可求出a,d ,進而可得到& 5d ; 6

18、數(shù)列an的通項公式;(2)易知a2,a5,a8, laeg為等差數(shù)列,判斷該數(shù)列的首項,項數(shù)和公差,再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得到答案.2al 9d =10(1)依題意,由a3+a8=10, a6=6,得方程組1( a1,d為首項和公差),a15d = 61al - -4解得d = 2,GJ的通項公式為an=2n6. 68-2(2)易知a2,a5,a8, ,a68也為等差數(shù)列,該數(shù)列項數(shù)為n=+1=23項,首項3a2 = 2 ,公差為 3d =6,a2 a5 a8a68 = 23-223 226=1472.2此題考查了等差數(shù)列的通項公式的求法,考查了等差數(shù)列前n項和的運用,考查了學(xué)生的計算求解

19、水平,屬于根底題.八九.519 . 0x一0 , cosy 05: tan x + tan y =13 0 即為負2tan-2_2 x1 - tan 一 2cos x cos yx 1.(2)由 tan 3 = 3,得 tan x =- 22,sin x +cos x =1w sinx434貝U 5=一,解得 cosx = 一,sinx =.cosx355花0 :二 x :二22所以 cos2x = 2cos x -1.25由 0x, 2冗3冗2,T512由 sin x y =彳導(dǎo) cos x y = 1313.cos y =cos|Qx y )f = cos12 x y cosx sin x

20、 y sin x = 135 13 51665【點睛】此題考查了兩角和與差的正弦、余弦公式的運用,考查了三角函數(shù)的二倍角公式、同角三角函數(shù)根本關(guān)系的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計算求解水平,屬于中檔題.20.對于集合A = 01,02,斗和常數(shù)備,定義：為集合a相對a 0的余弦方J cos2 口 - %cos2 R - ?0 IH - cos2 * - 10差(1)假設(shè)集合A = - -L或=0,求集合A相對加的余弦方差； 3 4一.,、.* 一 ,冗 2 冗 : 一(2)求證：集合 A = ? ,訃相對任何常數(shù)備的余弦方差是一個與3無關(guān)的定3 3值,并求此定值；(3)假設(shè)集合A =P,P1, aw 0

21、,兀),Pw 砥2冗),相對任何常數(shù)日.的余弦方差 4是一個與為無關(guān)的定值,求出 口、B .【答案】(1) 3 ; (2)證實見解析,定值 1；(3)s=工/ P =當(dāng)冗或口 =11/ 82121212:19P =九12【解析】 由 余弦方差的定義,對(1) (2) (3)逐個求解或證實即可.【詳解】Q 日cos2 J-0 t+cos2 .1 - -0 t - +-(1)依題意：u V3)14 J 4 23228(2)由余弦方差定義得:cos2 i , - u030cos2 i2 -入.303那么分子= cos cos 為 sinsin 為,332冗 I coscoso sin 32冗sin

22、北32i cos 冗coso sin usino史 sino2+ f-1coseo+ sinQo22- cos2 %f 兀 r . .冗. r f coscos% +sinsin6o1441=- cos2323.n =2=1為定值,與的取值無關(guān).一 3 一2(3、cos2,cos2 :-%cos2 - - 飛()! =14/一3分子221 1cos22Uo+kin2% sin o cos o2cos2 - cos2 4 sin2 ; sin2 % 2sin % cos與sin 二 cos-cos2 : cos2 % sin2 : sin2 % 2sin 丁 cos%sin : cos :12

23、_2 ：二一 cos cos - 2112 JI. 2.2cos o +, +sin a +sin12sin29o +(1 + sin 2a +sin 23 )sinBo coso二1 cos2：cososin sin222221 1 sin 2-( ； sin 2: sin2-o二等 81cos2 sin2： -sin 亭1 sin2 而2.cos： cos% sin 二 sin% )cos : cos% sin : sin?1 12一 一 cos 二2 2cos2 - 1 sin2 ： sin2 -2 2cos2i0sin2i0 cos2.工 3 cos2 ： 1 sin 2工; sin

24、2b1 12一一 cos 二2 22 -11. 2. 2 -cossin 工；sin I2 23 1=-sin2 212% 1 sin 22 sin 2 : cos20 cos2j 1 cos2l1.個與為無關(guān)的定值,那么cos22二 cos2: = 01 sin2二sin2 = 0/ cos2a = -cos2 P ,二2a與2P終邊關(guān)于y軸對稱或關(guān)于原點對稱又 sin 2.工二 sin 2 = -1,得2u與2P終邊只能關(guān)于y軸對稱,sin2- - sin2 ：=- 2,cos2 口 = -cos2 P又 a w 10,兀),P w 砥2 tt),那么當(dāng)2a =-冗時,2P =23兀 6611當(dāng)2 =一九時,2P =619九.6s,z j1212故aJ兀,P普1212111211二 19一二一兀1219二P = 一九時,相對任何常數(shù) %的余弦方差是12個與用無關(guān)的定值【點睛】此題考查了新定義,考查了三角函數(shù)的恒等變換,考查了學(xué)生的邏輯推理水平與計算求解 水平,屬于難題.21.設(shè)n 是等差數(shù)列,bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1 = b1 = 1 ,a2b3 = a3 b2 = 7 .(1)求 a J；bn J 的通項公式;,1(2)設(shè)Cn = 一,nw N,假設(shè)C3, Ck , Cm成等差數(shù)列(k、m為正整數(shù)且3k64(Bn