2017年高考理科數(shù)學全國一卷真題

1、色局部和白色局部位于正方形的中央成中央對稱,2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一測試 理科數(shù)學全國I卷考前須知:1 .答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在做題卡上,2 .答復選擇題時,選出每題答案后,用鉛筆把做題卡上對應的答案標號涂黑,如需改 動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.答復非選擇題時,將答案寫在做題卡上.寫 在本試卷上無效.3 .測試結(jié)束后,將本試卷和做題卡一并交回.一、選擇題：此題共12小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個 選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的.1,集合 A=xx<l, B=x3x <仆,那么A. ApB =x,x<0B, AUB

2、 =RC. AljB =xx 1D, AIIB W2 .如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑在正方形內(nèi)隨機取一點,那么3 .設(shè)有下面四個命題Pl :假設(shè)復數(shù)z滿足-w R ,那么zw R ; zP2 :假設(shè)復數(shù)z滿足z2 w R ,貝U zW R ;P3:假設(shè)復數(shù)乙,z2滿足z-z2 WR ,那么z =云；P4 :假設(shè)復數(shù) zW R ,貝(J z w R .A.Pi,P3B.Pi,P4C. P2 ,P3D. P2,P44 .記Sn為等差數(shù)列Qn的前n項和,假設(shè)a4 +% =24, S6 =48 ,那么aj的公差為A. 1B, 2 C, 4D, 85 .函數(shù)f x

3、在一,"彈調(diào)遞減,且為奇函數(shù).假設(shè)f="那么滿足-WfX2戶1的X的取值范圍是A. 1-2 , 2 B, -1 , 1 C, 0,4D. 1 , 3】1 6 一 . 一6. 11 +x 展開式中x2的系數(shù)為A. 15B. 20C. 30D. 357 .某多面體的三視圖如下圖,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角 三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形、該多面體的各個D. 168 .右面程序框圖是為了求出滿足3n -2nA1000的最小偶數(shù)n ,那么在 二和II兩個空白框中、可以分別填入A.A >1000 和 n = n +1C.AW 1000 和 n

4、= n +1(八. 2兀)C2: y =sin 2x + 39.曲線& :y =cosx,那么下面結(jié)論正確的選項是A.把G上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移6個單位長度,得到曲線C2B.把弓上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移聯(lián)個單位長度,得到曲線C2C.把G上各點的橫坐標縮短到原來的縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移?個單位長度,得到曲線C26D.把Ci上各點的橫坐標縮短到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移J個單位長度,得到曲線C210.F為拋物線C： y2=4x的交點,過F作兩條互相垂直l1, I2,直線I1

5、與C交于A、B兩點,直線I2與C交于D, E兩點,| AB、DE|的最小值為A. 16B. 14C. 12D. 1011.設(shè)x, y ,z為正數(shù),且2x =3y =5z,那么A. 2x 3y <5zB . 5z : 2x : 3yC. 3y ：5z ：2xD . 3y : 2x ：5z12.幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件,為激發(fā)大家學習 數(shù)學的興趣,他們推出了 “解數(shù)學題獲取軟件激活碼的活動,這款軟件的激 活碼為下面數(shù)學問題的答案：數(shù)列1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16 ,其中第一項為哪一項 20,接下來的兩 項是2

6、0, 21,在接下來的三項式26, 21, 22,依次類推,求滿足如下條件的最 小整數(shù)N ： N >100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)幕.那么該款軟件的激活碼 是A. 440 B, 330C, 220D. 110二、填空題：此題共4小題,每題5分,共20分.13.向量a, b的夾角為60二才=2,%=1,貝ja+2b=.x 2y <114. &x , y滿足約束條件,2x+y11,貝U z=3x-2y的最小值為.x -y _ 02215. 雙曲線C:、-右,a >0 , b>0的右頂點為A,以A為圓心,b為 a b半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M ,

7、 N兩點,假設(shè)/MAN =60., 那么C的離心率為.16. 如圖,圓形紙片的圓心為.,半徑為5cm ,該紙片上的等邊三角形 ABC的 中央為O, D、E、F為元.上的點,DBC, AECA, FAB分別是一 BC , CA , AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以 BC, CA, AB為折痕折起 DBC, AECA, FAB,使得D, E, F重合,得到三棱錐.當 ABC的邊 長變化時,所得三棱錐體積單位：cm3的最大值為 .三、解做題：共70分.解容許寫出文字說明、證實過程或演算步驟.第17-21 題為必考題,每個試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題,考生根據(jù)要 求作答.(

8、一)必考題：共60分.2a17. AABC的內(nèi)角A , B , C的對邊分別為a , b c4ABC的面積為 .3sinA(1)求 sin BsinC ；(2)假設(shè) 6cos BcosC =1 , a =3,求 AABC 的周長.18. (12 分)如圖,在四棱錐 PABCD 中,AB/CD 中,且/BAP =/CDP =90,(1)證實：平面 PAB_L平面PAD;(2)假設(shè) PA=PD=AB=DC , /APD=90.,求二面角 APBC 的余弦值.19. (12 分)為了抽檢某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,實驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽 取16個零件,并測量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長期生

9、產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這 條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布 N儼,.2 ).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在/_3巴N+3.)之外的零彳數(shù),求P(X>1)及X的數(shù)學期望；(2) 一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在 儼-3.,卜十3仃)之外的零件,就認 為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況, 需對當天的生產(chǎn)過程 進行檢查.(I)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性：II下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:9.95 1 0. 1 29.969. 9 610.01 9.929.9 8 1 0. 0410.26 9.911 0. 1 31

10、0.02 9.22 10.04 10.059.9 5-16L 2一廠162一2 一 經(jīng)計算住P x =Exi=997s = J工Xjx= J !£ x16xfft：0.212其中Xi為T',16 i1' 16 y'抽取的第i個零件的尺寸,i=1, 2,川,16 .用樣本平均數(shù)x作為N的估計值？,用樣本標準差s作為仃的估計值0 ,利 用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查,剔除 *39,邛+3口之外的 數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計 以和仃精確到0.01.附：假設(shè)隨機變量Z服從正態(tài)分布NN,仃2 那么PN-30<Z mN+3<i=0.997 4 .0.9

11、97 416 定0.9592 , .0.008 之 0.09 .20 . (12 分).一v2 v2,橢圓 C :=十4=10以>0),四點k1,1 ), P2(0, 1), P3.-1,%,P4.1,3 abl2Jl2J中恰有三點在橢圓C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過巳點且與C相交于A、B兩點,假設(shè)直線BA與直線P2B的斜率的和為1,證實：l過定點.21 . (12 分)函數(shù) f (x 尸ae2x +(a 2 >x -x .(1)討論f(x )的單調(diào)性;(2)假設(shè)f(x )有兩個零點,求a的取值范圍.(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多

12、做,那么按所做的第一題計分.22 .選彳4-4:坐標系與參考方程 x =3cos6 .在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為,(6為參數(shù)),直線l的y =sin u ,、一 x = a 4t ,參數(shù)萬程為.(t為參數(shù)).y =1 -t,(1)假設(shè)a=1,求C與l的交點坐標；(2)假設(shè)C上的點到l距離的最大值為#7,求a.23 .選彳4-5:不等式選講函數(shù) f (x )= -x2 +ax +4 , g (x )= x +1| + x 1(1)當a=1時,求不等式f (x戶g(x)的解集；(2)假設(shè)不等式f(x產(chǎn)g(x)的解集包含I-1, 1,求a的取值范圍.2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一測

13、試全國I卷?理科數(shù)學?試卷參考答案一、選擇題：此題共12小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個選 項中,只有一項為哪一項符合題目要求的.1.A【解析】A=xx<l, B =&3x <l = xx<.A|B =1xx ：二0, AUB =1xx選A2.B【解析】設(shè)正方形邊長為2 ,那么圓半徑為1那么正方形的面積為2M2=4,圓的面積為兀父12 =兀,圖中黑色局部的概率為三兀那么此點取自黑色局部的概率為2 =應選B483.B1 1 a -bi .一.【解析】p1：»z=a+bi , M i=7=丁下WR,得到b=0,所以zw R .故P正 z a -bi a

14、 b確；P2:假設(shè)z2=-1 ,滿足z2 wr , TMz = i ,不滿足z2w R ,故P2不正確；6:假設(shè)4=1, z2=2,那么平2=2,滿足zw R,而它們實部不相等,不是共腕復數(shù),故P3不正確；P4:實數(shù)沒有虛部,所以它的共腕復數(shù)是它本身,也屬于實數(shù),故 P4正確；4.C【解析】a4 35 =31 3d , a1 4d =24c c 6 5._S6 =6a1 d =4822a1 +7d =24 聯(lián)立求得16a1 +15d =48 黑3 得(2115歹=246d =24d =4選C5.D【解析】由于f (x )為奇函數(shù),所以f (-1)=-f(1尸1 ,于是-1<f(x-2戶1

15、等價于f (1戶f (x2戶f(-1)|又f(x心(3,+如)單調(diào)遞減.-1<x -2<1.1<x<3應選D6.C.16616【解析】1 + 1 x =1 1 x 2 1 x xx對(1+x6的x2項系數(shù)為C2 =等 =15對4 Y1 +x 6的x2項系數(shù)為C6=15 , x x2 的系數(shù)為 15+15=30應選C7.B【解析】由三視圖可畫出立體圖該立體圖平面內(nèi)只有兩個相同的梯形的面S弟=2 42 2 =6窿梯=6 2 =12應選B8 .D【答案】由于要求A大于1000時輸出,且框圖中在“否時輸出« O 中不能輸入A >1000排除A、B又要求n為偶數(shù),

16、且n初始值為0,“I I中n依次加2可保證其為偶應選D9 .D上一c .12 nl【解析】Ci: y = cosx , C2： y =sm 2x+一 3首先曲線Ci、C2統(tǒng)一為一三角函數(shù)名,可將 G：y=cosx用誘導公式處理.' .兀 TT /' . TT / ,一.、一_一、 .y =cosx =cos. x十一 一一 =sin . x十一.橫坐標變換需將 1 =1變成0=2 ,2 22,C 1rl c上各點橫坐標縮短它原來-( 1rl ( 1rlgp y -sin x -2 > y =sin 2x - =sin2 x -224、.二 42 兀 i . c, 4 兀

17、iy y =sin 2x 十一 =sin 2 x 十一,3.3 注意切的系數(shù),在右平移需將 切=2提到括號外面,這時根據(jù)“左加右減原那么,“ x 到即再向左平移7t1210.AAK2垂直x軸|AF| cos6+|GF| = AKi 幾何關(guān)系易知"AK1 =AF 拋物線特性 GP 二-上二 22 AF cosi P = AF同理AF =1 -cos1'BF =2P 2P1 -cos2 1sin2 31又DE與AB垂直,即DE的傾斜角為DE =2P2Psin2 -cos2i2而 y2 =4x ,即 P =2 .AB DE=2PsQcos2 Fsin2 1 cos2116sin2

18、2當官取等號sin21coJ usin2 - cos2 1-sin2 21 4即ab| 十|de最小值為16,應選A11.D【答案】 取對數(shù)：xln2 =yln3 =ln5 .x ln3 3=>y ln 2 22x 3y xln2 =zln5xln55貝U -二zln 22 :2x <5z : 3y <2x <5z ,應選 D12.A【解析】設(shè)首項為第1組,接下來兩項為第2組,再接下來三項為第3組,以此類推.設(shè)第n組的項數(shù)為n ,那么n組的項數(shù)和為 皿口：2由題,N A100,令63>100 - n>14且nW N *,即N出現(xiàn)在第13組之后2第n組的和為必

19、=2n -11 -2n組總共的和為 吁吸)_n=2n -2-n1 -2假設(shè)要使前N項和為2的整數(shù)幕,那么N項的和2k -1應與-2-n互為相反2數(shù)k.一*即 2 1 =2 +n(k = N , n>14 )k =log 2 n 3fn =29, k =5291 29貝U N = - 5 =4402應選A二、填空題：此題共4小題,每題5分,共20分.13.2 3【解析】 02b2 =： +2b2 Ja|2 +2 !：':' cos60 口+2'b =22 +2x2x2x1 +22=4 4 4 =12a +2b|=2瓜14.-5x 2y _1不等式組W2x+y2*表示

20、的平面區(qū)域如下圖x-y _0由 z =3x 2y 得 y = x 22求z的最小值,即求直線y/x-Z的縱截距的最大值 22當直線y=3x,過圖中點a時,縱截距最大 22,2x y = -1_,一.,由S 解得A點坐標為T1,此時z=3V-1-2M1=-5x 2y =12.315.3【解析】如圖,OA =a , AN|=| AM =b= /MAN =60)AP=*, OP=JOA-TPA2=(a2-.b23hb223 2a - b=b ,解得 a2 =3b2 a16.4 15【解析】由題,連接OD ,交BC與點G ,由題,OD _LBCOG =mBC ,即OG的長度與BC的長度或成正比 6設(shè)O

21、G =x ,貝UBC=2J3x, DG =5 -x三棱錐的高h - . DG2 -OG2 =J'25- 10x-x2-x= 25-10x& ABC=2 33x 2=3 3x2貝IjV =；$ ABC h = 3x2 25 -10x = 3 . 25x4 -10x5令 f (x )=25x4 10x5 , xW(0,$ , f'(x )=100x3 50x4令 f x )>0 ,即 x4 2x3 <0 , x <2那么 f (x 卜 f(2 )=80那么V< 380,=45：體積最大值為4/5cm3三、解做題：共70分.解容許寫出文字說明、證實過程

22、或演算步驟.第 17-21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.一必考題：共60分.17. 1 AABC 面積 S =3sirA一-1. 一且 S = bcsin A23sinA 2bcsin A,23 ,. 2 na =-bcsin A 23o由正弦je理得 sin A =-sin Bsin Csin A ?2由 sin A #0 得 sin Bsin C =一3 ,22由1得 sin Bsin C =&, cos BcosC. A+B +C =n1 . cos A =cos兀-B -C =-cosB +C =sin B sinC-cos B

23、 cosC =又 A10,汽31.A =60 , sin A =, cosA= 22由余弦定理得a2 =b2 +c2 -bc=9由正弦定理得 b=a sin B , c=a sin C sin Asin A2 a. bc=- sinBsinC=8sin A由得b +c=V33：a +b +c =3 +速,即 ABC周長為3 +商18. (12 分)(1)證實：V . BAP =. CDP =90PA _LAB , PD _LCD又 : AB / CD , /. PD ±AB又PD P|PA=P , PD、PAU 平面 PADAB _L平面 PAD,又 AB 二平面 PAB平面 PAB

24、 _L平面 PAD(2)取AD中點O , BC中點E ,連接PO , OE= AB z=CD一四邊形ABCD為平行四邊形.OE : AB由(1)知,AB _L平面PADOE _L 平面 PAD,又 PO、AD 仁平面 PADOE_LPO, OE _LAD又= PA =PD ,PO _LADPO、OE、AD兩兩垂直;以O(shè)為坐標原點,建立如下圖的空間直角坐標系O -xyz設(shè) PA=2,D(-V2,0,0 卜 B技 2,0 卜 P(0,0,J2)、C(-V2,2,0), . PD =(一拒,0 , -*2)、PB=(板,2,-亞)、BC=(-2右,0,0)設(shè)' =(x , y , z )為平

25、面PBC的法向量,n PB =02.2x 2y - 2z =0由9T ,得, yn BC =022x =0令y=1,那么z=72, x=0,可得平面PBC的一個法向量n = (0,1,0): ZAPD =90'PD _LPA又知AB _L平面PAD , PD U平面PADPD _LAB ,又 PAnAB =APD _L平面 PAB即常是平面PAB的一個法向量,PD =( -72 , 0 T )K 4, PD n-23cosjPD,n = T * =;= = - ,河|2733由圖知二面角A PBC為鈍角,所以它的余弦值為百319. (1)由題可知尺寸落在(R-3仃,卜+3仃)之內(nèi)的概率

26、為0.9974,落在 (N-3», N+3仃)之外的概率為0.0026.P(X =0 尸C06 (1 -0.9974 ) 0.997416 毛0.9592P X _1 )=1 - P X =0 1 -0.9592 =0.0408由題可知XB 16, 0.0026.E X =16 0.0026 =0.0416(2) (i)尺寸落在(N-3仃,卜+3仃)之外的概率為0.0026, 由正態(tài)分布知尺寸落在 伊-3仃,卜+3仃)之外為小概率事件, 因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理.(ii )口 -3： -9.97 -3 0.212 =9.3343： -9.97 3 0.212 =10.606(2

27、 3仃,3 +30 ) = (9.334 , 10.606 )79.22 (9.334 , 10.606 ),二需對當天的生產(chǎn)過程檢查.因此剔除9.22剔除數(shù)據(jù)之后：R J97；："及=106 .152222221- -9.95 -10.0210.12 -10.029.96 -10.029.96 -10.0210.01 -10.02222229.92 -10.02 i,9.98 -10.0210.04 -10.0210.26 -10.029.91 -10.021x 152222210.13 -10.0210.02 -10.0210.04 -10.0210.05 -10.02 j9.9

28、5 -10.02 :0.008.c- =0.008 ： 0.0920. (1)根據(jù)橢圓對稱性,必過E、P4又P4橫坐標為1,橢圓必不過P ,所以過B , 2 , P4三點亨卜弋入橢圓方程得2b =1A3,解得工 +A =1,a2 b2橢圓C的方程為:(2)當斜率不存在時,設(shè)l ：x=m , A(m , yA,B(m, _a )Va 11-Va -1-2kP2A . kp2B - -1m m m得m=2,此時l過橢圓右頂點,不存在兩個交點,故不滿足.當斜率存在時,設(shè)l ： y =kx b b =1A(X , y) B(x2 , y2 )整理得 1 4k2 x2 8kbx 4b2 -4=0y =k

29、x b聯(lián)乂才2 °2,x 4y -4 =0七kb為 x2 =2 ,1 4k4b -4X| x =21 4k x2 kxb - x2x kx2 b - xxx2貝(J kp2A - kp2B-4b2 -4 4k2xx28kb2 -8k -8kb2 8kb24k8k b -14 b 1 b -1=_1,又 b#1= b=qk1,止匕時A=-64k,存在k使得Aa0成立.直線l的方程為y =kx -2k -1當 x =2 時,y = 1所以l過定點(2,).21. (1)由于 f (x 產(chǎn)ae2x +(a -2 戶x x故 f x=2ae2xa - 2ex-1=aex-12ex1當 a&#

30、171;0 時,aex1<0, 2ex+1 =0 .從而 f'(x )<.恒成立.f (x汪R上單調(diào)遞減當 a>0時,令 f'(x)=0,從而 aex_1=0,得 x=-lna.x(m, lna)-ln a(-ln a , 十)f'(x )0+f(x)單調(diào)減極小值單調(diào)增綜上,當aM0時,f(x)在R上單調(diào)遞減；當a>0時,f (x)在(-,-ln a)上單調(diào)遞減,在(-lna,收)上單調(diào)遞增由(1)知,當aE0時,f(x)在R上單調(diào)減,故f (x )在R上至多一個零點,不滿足條件.一1當 a >0 時,fmin = f (ln a )=1

31、+ln a . a人1令 g a -1 -一 In a . a.1.11令 g(a)F+lna(a0 ),那么 g'(a ) = 3+1 >0 .從而 g (a )在(0 , +比)上單調(diào)增, aa a而 g(1)=0.故當 0<a<1 時,g(a)<0.當 a = 1 時 g(a)=0.當 a>1 時 g(a)>01右aX,那么 降=1-1+lna = g (a )>0 ,故f(x)0包成立,從而f(x)無零點,不 a滿足條件.1右a=1,那么fmin =1+lna=0,故f (x )=0僅有一個頭根x =lna=0,不曬足條 a件.1、一,a a 2右 0 <a <1貝ufmin=1- +ln a <0汪息到lna >0 .f (-1 尸f +- +1 ->0 .a'e e e3 . 1故f