彈性力學(xué)習(xí)題[新]

1、.WORD完美格式.1-3五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么用途？答：1、連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理 量就可以看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的 連續(xù)函數(shù)來(lái)表示他們的變化規(guī)律。2、完全彈性假定：引用這一完全彈性的假定還包含形變與形變引起的正應(yīng) 力成正比的含義，亦即二者成線(xiàn)性的關(guān)系，符合胡克定律，從而使物理方程 成為線(xiàn)性的方程。3、均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此，反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比 以等）就不隨位置坐標(biāo)而變化。4、各向同性假定：所謂“各向同性”是指物體的物理性

2、質(zhì)在各個(gè)方向上都 是相同的。進(jìn)一步地說(shuō)，就是物體的彈性常數(shù)也不隨方向而變化。5、小變形假定：我們研究物體受力后的平衡問(wèn)題時(shí)，不用考慮物體尺寸的 改變而仍然按照原來(lái)的尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，在研究物體的變形和位 移時(shí)，可以將他們的二次幕或乘積略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)中的微分方程都 簡(jiǎn)化為線(xiàn)性微分方程。在上述假定下，彈性力學(xué)問(wèn)題都化為線(xiàn)性問(wèn)題，從而可以應(yīng)用疊加原理。2-1已知薄板有下列形變關(guān)系：J"如百"為1九二:一月此式中A,B,C,D皆為常數(shù)，試檢查在形變過(guò)程中是否符合連續(xù)條件，若滿(mǎn)足并列出應(yīng)力 分量表達(dá)式。解：1、相容條件：將形變分量帶入形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）2、其中二

3、丁=0=0d2y dxdy所以滿(mǎn)足相容方程，符合連續(xù)性條件。在平面應(yīng)力問(wèn)題中，用形變分量表示的應(yīng)力分量為E % 2AE（號(hào)+/）二（S + 刈）=E1-dE1"(Axy + yBy"(fjAxy + By二 Gy.二 G(C 為 2).3、平衡微分方程注+冬dx dy河 dr. _|VdydxEA 她E(3度+心),3劉 八- = 07 = -2GZ)y,其中 r 0若滿(mǎn)足平衡微分方程，必須有EA»2G%+£ = 0,(3 陟+“0 + / =0.分析：用形變分量表示的應(yīng)力分量，滿(mǎn)足了相容方程和平衡微分方程條件, 若要求出常數(shù)A,B,C,D還需應(yīng)力邊界條

4、件。.技術(shù)資料.專(zhuān)業(yè)整理.WORD完美格式.例2-2如圖所示為一矩形截面水壩， 其右側(cè)面受靜水壓力（水的密度為p ）, 頂部受集中力P作用。試寫(xiě)出水壩的應(yīng)力邊界條件。解：根據(jù)在邊界上應(yīng)力與面力的關(guān)系左側(cè)面：= AS）二 Q （%筋二力（M 二 0；右側(cè)面：. LE癡一！上下端面為小邊界面，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。上端面額面力向截面形心O簡(jiǎn)化，得到面力 的主矢量和 主矩分 別為九%Ph .FN-Pa,Fs -Pca.M0 = sintz,y=0坐標(biāo)面，應(yīng)力主矢量符號(hào)與面力主矢量符號(hào)相反；應(yīng)力主矩與面力主矩的轉(zhuǎn)向相反。所以£ （%）片口辦二一% 二一尸 sin %&

5、#163;（“）了=0杰=一然=0 xdx - -Mo = _ g Phsin a,=尸 cos a.下端面的面力向截面形心D簡(jiǎn)化，得到主矢量和主矩為I2 Fn = 一產(chǎn) sin a, % = Pcosapg.d Ph. 尸MdPL cos cisma26y=l坐標(biāo)面，應(yīng)力主矢量、主矩的符號(hào)與面力主矢量、主矩的符號(hào)相同。所以（%）小二& 二一Psins，Ph .PL cos a - -sina 一 一 pg. 26女I2L（%）方小二4二 Pcoa-pg.分析：1、與坐標(biāo)軸平行的主要邊界只能建立兩個(gè)等式，而且與邊界平行的應(yīng)力分量不會(huì)出現(xiàn)。如在左、右側(cè)面，不要加入2、在大邊界上必須精確滿(mǎn)

6、足應(yīng)力邊界條件，當(dāng)在小邊界（次要邊界）上無(wú) 法精確滿(mǎn)足時(shí)，可以應(yīng)用圣維南原理使應(yīng)力邊界條件近似滿(mǎn)足，使問(wèn)題的求 解大為簡(jiǎn)化。應(yīng)力合成的主矢（主矩）符號(hào)的取法亦可用外力主矢（主矩） 的方向判斷，二者方向一致時(shí)去正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。2-8試列出題2-8圖（a）,題2-8圖（b）所示問(wèn)題的全部邊界條件。在其 端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。解:圖（a）圖（b）1、對(duì)于圖（a）的問(wèn)題在主要邊界不二。/二卜上,應(yīng)精確滿(mǎn)足下列邊界條件:（%）= Psy（%）x=o - °，（ctJ = -pgy,«守）工9二0.在小邊界（次要邊界）y二°上，能精確滿(mǎn)足下列

7、邊界條件：（%）六0 二-郎4；（%）="在小邊界（次要邊界）一也上，有位移邊界條件：（%啕=°，（%*=0這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替，當(dāng)板厚3二1時(shí)，9y)f dx 二一咫(九 + Mb,二（外）用小心二Q加二0.技術(shù)資料.專(zhuān)業(yè)整理.2、對(duì)于圖（b）所示問(wèn)題在主要邊界y二士%上，應(yīng)精確滿(mǎn)足下列邊界條件:“°，=0.當(dāng)板在次要邊界1二0上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件,厚，二1時(shí)，產(chǎn)/2（氏晨辦二-不J-h/2Js（b=oy吐-ML/2（K）x=0宓=-%在小邊界（次要邊界）1二/上，有位移邊界條件： 明QR

8、）=0, 這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替， fh/2C/22-17設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F,如題2-17所示，體力可以不計(jì)。根據(jù)材料力學(xué)公式，寫(xiě)出彎應(yīng)力 口和切應(yīng)力Pxy的表達(dá)式, 并取擠壓應(yīng)力 山=0,然后證明，這些表達(dá)式滿(mǎn)足平衡微分方程和相容方程， 再說(shuō)明，這些表達(dá)式是否就表示正確的解答。解：M=-Fx1、矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的玩具方程為，橫截一 t 山山，12M(x)y12F6 二一二一xhh '. h2y4（加-月；該截面上的剪力為、,剪應(yīng)）.竺 £ 2）0 二。肥4；并取擠壓應(yīng)力 1。面對(duì)z

9、軸（中性軸）的慣性矩為，根據(jù)材料力學(xué)公式，彎應(yīng)力2、經(jīng)驗(yàn)證，上述表達(dá)式能滿(mǎn)足平衡微分方衡dbcdx+力二a+3+dx也能滿(mǎn)足相容方程產(chǎn) ",八、河X(jué)孤j(y + + %) - -(I + -) - 0齒2獷八工”、產(chǎn)八齒砂/y-+h/l再考察邊界條件：在,的主要邊界上，應(yīng)精確滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件:二 0,能滿(mǎn)足。0,=0.在次要邊界上，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:力二 a產(chǎn)2/I /1鼠(入岫四=0.滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件。在次要邊界列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：加2阿2 12F(%)1均=J分=0,月以41月J4jMi網(wǎng) 2M2 12F 9L/bJiXr = Lmk"二一鞏JJ1 &

10、gt; 2Jni2. 2j網(wǎng)2M26F M、(%屋的二j 聲(7_y )dy = 一F.滿(mǎn)足應(yīng)力條件。因此，它們是該問(wèn)題的正確解答例3-1如圖所示矩形截面簡(jiǎn)支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)0二山3/ +3城+&丁 +加3+芯+ pxy求簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力分量（體力不計(jì)）。解：1、相容條件：-2-5T = °，dx dx2dy dy代入應(yīng)力函數(shù)，得：72 + 120 = 0由此得 5nA = B3于是應(yīng)力函數(shù)可改寫(xiě)為=-2加/+扇/+ C?y +的+尸劃2、應(yīng)力分量表達(dá)式Sy-10Bx3y + 2QBxy3 + 6Dxy外二 d215Bx2y2 - 5ByA-3Cx2-3Dy2

11、-F8 j1 OBxv，+ 6C*av + 6Ex dx3、考察邊界條件：確定應(yīng)力分量中的各系數(shù)(%)產(chǎn).2 =-與X得5層一 3c力+ 6H二-牛;155 S(%)=一入門(mén)=0,W(3C- -5/?)x2 + ( Bh4 + DA3 +F) = 0;(i») 4164(%)產(chǎn)磯=0,得；* 3ch 十 6月=0; (c)15%9"=。，得(3C 一 9 班2)/ + 號(hào)明 4 +* + 尸)=0; (d) 41 o 4若式(b)恒成立，必須滿(mǎn)足4二3/+ D爐+ 干=0«）164聯(lián)立求解以上各式，得月二8二至 C 二% E二-魚(yú) 況5閥4"12/

12、9;3C-Bh2=0； (e)再根據(jù)簡(jiǎn)支梁的端面條件確定常數(shù)D,F。由圣維南原理得M20=_&+紇可得1C山/ 3.尸=_曼+處再帶入式（f）得VI 8。/4、應(yīng)力分量表達(dá)式rcr = -xy(2y2 -x2 +尸-/i3),加八10 7* 仃=-(3/z2y-4>2 -/?)了 lh3l%二騫(4»+歐)"4加20例3-2圖示懸臂梁，梁的橫截面為矩形，其寬度取為 1,右端固定、左端自由, 荷載分布在自右端上，其合力為 P (不計(jì)體力)，求梁的應(yīng)力分量。M3-2IB解：這是一個(gè)平面應(yīng)力問(wèn)題，采用半逆解法求解。(1)選取應(yīng)力函數(shù)。由材料力學(xué)可知，懸臂梁任一截面上

13、的彎矩方程 M (x) 與截面位置坐標(biāo)x成正比，而該截面上某點(diǎn)處的正應(yīng)力又與該點(diǎn)的坐標(biāo) y成正比， 因此可設(shè)(a)式中”的為待定常數(shù)。將式(a)對(duì)y積分兩次，得Q £+"。)+八(b)式中的8(x), f/x)為X的待定函數(shù)，可由相容方程確定。將式(b)代入相 容方程忖二。，d4fzW dx4上式是y的一次方程，梁內(nèi)所有的y值都應(yīng)是滿(mǎn)足它，可見(jiàn)它的系數(shù)和自由 項(xiàng)都必須為零，即積分上二式，得f1(x) = a2x3+a3x2 + tt4x+as式中flr«9為待定的積分常數(shù)。將（2（x）代入式（b），得應(yīng)力函數(shù)為0 = Yy3 + («2x3 + a3x2

14、 + a4x + g)y + (ax3 + a7x2 + a8x + (c)（2）應(yīng)力分量的表達(dá)式6尸 apjy詢(xún)= 6（咽+%）x+2 ® y+a?） 1 «Txy = ; «iy2 - 3a2x2 - 2a3x - a4（3）考察應(yīng)力邊界條件：以確定各系數(shù)，自由端無(wú)水平力；上、下部無(wú)荷載; 自由端的剪力之和為P,得邊界條件（oJx二。二。，自然滿(mǎn)足；0，得一號(hào)- 3a2x2 - 2ct資 aA=Q；上式對(duì)x的任何值均應(yīng)滿(mǎn)足,x取任何值均應(yīng)滿(mǎn)足，因此得二（卜二0.因此得 Q?二肉二 0, 一#- y = 0,I（Txy）x=ody = | （-|aiy2-

15、71;i）dy = -p將式（e）代入上式積分，得f i （2h）3彳皿其中 一.：-橫截面對(duì)Z軸的慣性矩。最后得應(yīng)力分量為P:13-3試考察應(yīng)力函數(shù)0二xy（3h2-4y2）能滿(mǎn)足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫(huà)出題3-2圖所示矩形體邊界上的面力分布（在次要邊界上表示 出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問(wèn)題。,挈飛匕±2* 解 （1）相容條件：將代入相容方程癡+ 2 +獷=0,顯然滿(mǎn)足。（2）應(yīng)力分量表達(dá)式12F3F/4y2、取=.豆燈,%=0=前1一茁）（3）邊界條件：在y二年11/2主要邊界上，應(yīng)精確定滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件在次要邊界x=o, x=l上，應(yīng)用圣維

16、南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，蕨）=01/ = 0£：2®）x=oydy = 0 J黑（%）x=iydy =-F1 I對(duì)于如圖所示矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，由應(yīng)力邊界條件式（a） （b）、（c）可知上邊、下邊無(wú)面力；而左邊界上受有鉛直力；右邊界上有按線(xiàn)性變 化的水平面力合成為一力偶，和鉛直面力。所以，能解決懸臂在自由端受集中力 作用的問(wèn)題。3-6如題3-6圖所示的墻，高度為h,寬度為b,h>>b,在兩側(cè)上受到均布剪力q的作用，試用函數(shù)。二 Axy”求解應(yīng)力分量解：（1）相容條件將應(yīng)力函數(shù)0代入相容方程州二0,其中淳二J540J?:2 打二很顯

17、然滿(mǎn)足相容方程。(2)應(yīng)力分量表達(dá)式a20a2。臍= 6Bxy,% 一旃=-A - 3Bx2(3)考察邊界條件，在主要邊界上，各有兩個(gè)應(yīng)精確滿(mǎn)足的邊界條件,X在次要邊界y=0上,3)H=O，(X)H而的條件不可能精確滿(mǎn)足(否則只有A=B=0,可用積分的應(yīng)力邊界條件代替.技術(shù)資料.專(zhuān)業(yè)整理.(4)把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得qA2q京應(yīng)力分量為3-7設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用， 體力可以不計(jì)，l>>h如題3-7圖所示，試用應(yīng)力函數(shù)0 = Axy+By2+Cy3+Dxy3求解應(yīng)力分量。y (l>>h,(lAh口二 D.WORD完美格式.解(1 )相容條件-

18、Axy+By2+Cy3+Dxy3代入相容方程，顯然滿(mǎn)足。(2)應(yīng)力分量表達(dá)式a20a20a20% = 彳 = 2B + 6Cy + 6Dxy,% =猊二°戶(hù)初二一病=一 (A + 3Dy2)考察邊界條件，在主要邊界各有兩個(gè)應(yīng)精確滿(mǎn)足的邊界條件3 -1得；, Dn(a)4在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩， 應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替。注意 x=0是負(fù)x面，由此得心/2pI (q)xody= -Fn，得 B 二-奈J-h/z,nfb/22M(%)x=oydy = - Mj 得 C =一而J-h/2n就?；蚋?Y南融+；處:4(b)由式(a) (b)解出3F

19、S2FSA = 一一- D =-2卜h3最后一個(gè)次要邊界條件(x=l上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿(mǎn)足的條件下，是必然滿(mǎn)足的，故不必再校核。代入應(yīng)力公式，得r Fn 12M 12FS六二二一干丫一下召二 Q%=一票 OY）3-9設(shè)題3-9圖中的簡(jiǎn)支梁只受重力作用，而梁的密度為 p,試用教材§ 3-4中 的應(yīng)力函數(shù)（e）求解應(yīng)力分量，并畫(huà)出截面上的應(yīng)力分布圖。解(1)應(yīng)力函數(shù)為x?A0 = y (Ax2 + By2 + Cy + D) + x(Ey3 + Fyz + Gy) - -yB-zy4 + Hy3 + Ky2 o(2)應(yīng)力分量的表達(dá)式wox = y (6Ay + 2B)

20、 + x(6Ey + 2F) - 2Ay3 - 2By2 + 6Hy(c)+ 2K (b) ay=Ay3 + By2 + Cy + D-pgy.WORD完美格式.Txv = -x(3Ay2 + 2By+C)-(3Eyz + 2Fy+G) (d)1/這些應(yīng)力分量是滿(mǎn)足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能夠選擇適當(dāng) 的常數(shù)A,B,，K,使所有的邊界條件都滿(mǎn)足，則應(yīng)力分量式（b） ,（c）,（d）就是 正確的解答。（3）考慮對(duì)稱(chēng)性。因?yàn)閥z面是梁和荷載的對(duì)稱(chēng)面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對(duì)稱(chēng)于yz面。這樣是x的偶函數(shù)，而x的奇函數(shù)，于是由式（b).技術(shù)資料.專(zhuān)業(yè)整理.和（d）可見(jiàn)E=F=G=ll（4）考察邊

21、界條件：在主要邊界上，應(yīng)精確滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件尸 J = °Dy=J = °將應(yīng)力分量式（c）和（d）代入，并注意到前面已有見(jiàn)這些邊界條件要求h3h2 hpgh-A + -B+-C + D- = O8422h3 h2 hpgh'A+/-/ + D +彳 o4( Z4-x.h2A + hB + C)= 0 即酬2八 + 118 + (：=0<3 ._3 .-x Ta-hB + C =0 即了A-hB + C = 0<4/4聯(lián)立求解得到A二一部= 0,C=鄂=0將以上已確定的常數(shù)代入式(b),式(c)和(d),得6Pg 2 _?Pg 3/口 xnv m

22、6;x = "17xy+Vy +6Hy+2K®(g)(h)2pg 3 Pg +yy6Pg 2 3pg Txv = Tvxzy-x xy h2 2考慮左右兩邊的次要邊界條件。由于問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性，只需考慮其中的一邊, 例如右邊。梁的右邊沒(méi)有水平面力，x=l時(shí)，不論y取任何值 (4/2<y<h/2)， 都有。X二0。由式(f)可見(jiàn)，這是不可能滿(mǎn)足的，除 非是均為零。因此，用多項(xiàng)式求解，只能要求0X在這部分邊界上合成的 主矢量和主矩均為零，也就是要求rh/2(ox)x=Ldy = 00)J-h/2rh/2m=Lydy = 0( j)J-h/2將式(f)代入式(i ),得f

23、 1 (一需 2y +整 3 + 6Hy+2K)dy=0J-b/21 h h/積分以后得將式(f)代入式(j),得1：卜需"耨"6動(dòng)煙=0積分以后得K=Pg(44)將K, H的值代入式(f ),得6Pg 2 14Pg.“二一市玲+可(k)另一方面，梁右邊的切應(yīng)力應(yīng)當(dāng)合成為反力pglhdy 二-pglh6Pg 9 3pg注意梁截面的寬度取為一個(gè)單位，可見(jiàn)慣性矩是1二一，靜夕 1 X.|22S二 匕。根據(jù)材料力學(xué)應(yīng)用截面法求橫截面的內(nèi)力，可求得梁任意截面上的彎矩方程和剪力方程分別為 M(x) = pgh ； Fs(x) = 一pghx.。式(I)£i可以寫(xiě)成M(x)

24、/ v2 3% 二 y + pgy 4萬(wàn)一百載q,試檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)J=Ay5+Bxzy3+Cy3 + Dx2“ Ex2y能否成為此3-10如題3-10圖所示的懸臂梁，長(zhǎng)度為l ,高度為h, l>>h,在上邊界受均布荷問(wèn)題的解？如可以，試求出應(yīng)力分量解 (1 )相容條件副3 I。圖將0二Ay° + Bx,yi+C? + Dx2 + Ex,代入相容方程，得120Ay+24By=0,若滿(mǎn)足相容方程，有1 A=-B5(2)應(yīng)力分量表達(dá)式a)¥0320工=2OAy3 - 30Ax2y+ 6Cy dya20,ov = t5 = TOAy3 + 2D + 2Ey oxi,20?

25、% = -，= 30Axy2 - 2Ex J ox oy(3)考察邊界條件；主要邊界 y 二 ±b/2上，應(yīng)精確滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件10二0得一/Ah3 + 2D + Eh = 0O10h = oAh3+2D-Eh = -qo皿 15 ,=0,得 EAh工二04(b)(c)在次要邊界上x(chóng)=0上，主矢和主矩為零，應(yīng)用圣維南原理,用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替C)x=ody = 0,滿(mǎn)足條件/-h/2 Wx=0ydy =仇得當(dāng) + Ch3 = °(e)聯(lián)立求解式(a) ,(b),(c),(d) 和(e),得q q q q 3qA=a?3=-c=-D="?E=s將各系數(shù)代入應(yīng)

26、力分量表達(dá)式，得3-12為什么在主要邊界（占邊界絕大部分）上必須滿(mǎn)足精確的應(yīng)力邊界條 件，教材中式（2-15）,而在次要邊界（占邊界很小部分）上可以應(yīng)用圣維南原 理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來(lái)代替？如果在主要 邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替教材中式（2-15）,將會(huì)發(fā)生什么問(wèn)題？解：彈性力學(xué)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問(wèn)題，而要邊界條件完全得到滿(mǎn)足，往往遇到很大的困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力邊界 條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同， 但靜力等效 的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以 忽略不計(jì)

27、。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)應(yīng)力邊界條件來(lái)代替精確 的邊界條件。教材中式（2-15）,就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會(huì)使問(wèn)題的 解答具有的近似性。3-15 試分析簡(jiǎn)支梁受均布荷載時(shí)，平面截面假設(shè)是否成立？解：彈性力學(xué)解答和材料力學(xué)解答的差別，是由于各自解法不同。簡(jiǎn)言之，彈性力學(xué)的解法，是嚴(yán)格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程， 幾何方程和物理方程，以 及邊界上的邊界條件而求解的，因而得出的解答是比較精確的。而在材料力學(xué)中 沒(méi)有嚴(yán)格考慮上述條件，因而得出的是近似解答。例如，材料力學(xué)中引用了平面 假設(shè)而簡(jiǎn)化了幾何關(guān)系，但這個(gè)假設(shè)對(duì)一般的梁是近似的。所以，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，不 成立。例4-2如圖所示楔形體

28、右側(cè)面受均布荷載 q作用，試求應(yīng)力分量【解】（1）楔形體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量決定于 q、P、口，中其中q的量綱為NL2,與應(yīng)力的量綱相同。因此，各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能取 Kq的形式，而 K是以口，中表示的無(wú)量綱函數(shù)，亦即應(yīng)力表達(dá)式中不 能出現(xiàn)P ,再由。中=當(dāng)知，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)是中的函數(shù)乘以P2,可設(shè)；-2f）(a)將式（a）代入雙調(diào)和方程0,4dd4f( ) 4d2f()二0,P cP P2 /2 ,上式的通解為(b)(c)f (中)=Acos2邛 + Bsin 2中 +C中 + D ,將上式代入式（a）,得應(yīng)力函數(shù)為2._ .6=P (Acos2中十Bsin 2中+C中+D)。(2)應(yīng)力表達(dá)式

29、為21工 1 二0一/o'口 =十一rr = 2(Acos25 一 Bsin 2中十C中十 D),2 P cP P2 6cp2記2 6cp = 2(Acos2中 + Bsin 2中+C中 + D),P c-Pc= 2Asin2 ： - 2Bcos2 ： -C（3）應(yīng)力邊界條件(仃邛)勉=q ,得 2 (A+D =-q ;(d)(e)(o-qjLa = 0,得 Acos2a +B sin2 + +C +D=0,(工酣蟲(chóng)=0,得2B C=0,(g)(7 仰)邛辿=0,2Asin2 « 2Bcos2a C =0。聯(lián)立求解式（d） -（g）,得各系數(shù)A = - qta科，4（tan、

30、工、工）B=4(tanq 一)'C=-2(tanqi),D=-q(tan： 一2：)。4(tan :-)將系數(shù)代入（c）,得應(yīng)力分量產(chǎn) p=_qtan ： (1 cos2 :) -(2 : sin 2 )2(tan : - -)(h)tan ： (1 -cos2 ) -(2 : -sin2 )q，2(tan 二 y)(1 -cos2 ) - tan 二 sin 2 ： 伸=q。2(tan ： -二)分析：應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式（a）中不出現(xiàn)口，這是因?yàn)閒（中）中包含了 «角（在應(yīng)用應(yīng)力邊界條件時(shí)，中="處（。中）怩 = 0 , （T仰）怩 =。中體現(xiàn)）4-3在軸對(duì)稱(chēng)位移問(wèn)題

31、中，試導(dǎo)出按位移求解的基本方程，并證明UpnAP+BuqO可以滿(mǎn)足此基本方程?！窘狻浚?）設(shè)u p = u& P） , u（p = 0,代入幾何方程，教材中式（4-2）得形變分量:u 7U 7容-a中",即=0（a）C rr將式（a）代入物理方程，教材中式（4-3）得用位移表示的應(yīng)力分量CJ n -21 -ufu ：、u :(-u-), v cP PE 二 u : u :22(u),1 -u2，(b)將式（b）代入平衡微分方程，教材中式（4-1）,在軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中,平衡方程為6仃p 1石七的 bp 一 仃中1科一P ,Y 1及中十分仰十2 :仰J £50P P 一式（

32、C）中的第二式自然滿(mǎn)足，第一式為2du： 1 du ： u ：L 0 二0d：2： d： ：2(c)(d)上式即為求u P的基本方程。(2)將up = AP+：,u中=0將代入式(d),很顯然滿(mǎn)足方程。4-7實(shí)心圓盤(pán)在P = r的周界上受有均布?jí)毫的作用，試導(dǎo)出其解 答?！窘狻繉?shí)心圓盤(pán)是軸對(duì)稱(chēng)的，可引用軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力解答，教材中式(4-11 ),即A一-+ B(1 +2ln P) +2C,Aj a(p = -+ B(3+2ln P)+2C,(a)If 伴=Tqp首先，在圓盤(pán)的周界(P = r)上，有邊界條件9p)m=-q,由此得A+ B(1 +2ln r) +2C = -q ,(b)r其次，在圓

33、盤(pán)的圓心，當(dāng)Pt。時(shí)式(a)中。p。中的第一、第二項(xiàng)均 趨于無(wú)限大，這是不可能的。按照有限值條件(即，除了應(yīng)力集中點(diǎn) 以外，彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值。)，當(dāng)P = 0時(shí)，必須有A=B=0 把上述條件代入(b)式中，得C22所以，得應(yīng)力的解答為4-9半平面體表面上受有均布水平力q,試用應(yīng)力函數(shù)=P2(Bsn 2cp +c中)求解應(yīng)力分量，如題4-9圖所示?！窘狻?1)相容條件：將應(yīng)力函數(shù)中代入相容方程56=0,顯然滿(mǎn)足。(2)由中求應(yīng)力分量表達(dá)式二-2Bsin2 : 2C :,c- 二2Bsin2 ： 2C :,.:二二-2Bcos2 : -C考慮邊界條件：注意本題有兩個(gè)喃，即*士,分別為士中面

34、, 在土中面上，應(yīng)力符號(hào)以正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎?。因此，有（。?k = ± 3y2 = 0, 得 c = 0仲 % = 土% = -q,得B =一微將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得；=；=q sin 2 ;:,:-=-qsin21：: q cos2 ;4-12楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力 q,如題4-12圖所示，試求其應(yīng)力分量。【解】（1）應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)=P2（Acos29+Bsin29+C9+ D）,進(jìn)行求解。由應(yīng)力函數(shù)中得應(yīng)力分量 P f $言=2Acos2, + Bsin2P-CP-D),仃中=市=2(Acos2 中 +Bsin# +C 邛 + D),1、仰=() =2Asin2

35、中一2Bcos2中-C叫 cP P cP(a)（2）考察邊界條件：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，得k（；j.0;二- 二q;（b）2二 一 二0;（c）2:一 -q2同式（a）得2Acos : 2Bsin ： C ： 2D = 0;同式（b）得2Asin。2Bcos：-C 二 q;(e)(f)同式（c）得2Acos : -2Bsin : - C = 2D = 0;(g)同式（d）得-2Asin 可 一2Bcos5 - C = -q;(h)式（e）、（g）、（h）聯(lián)立求解，得. q _ qA =,B=C = QD = cot 三2sin ：2將以上各系數(shù)代入應(yīng)力分量，得cos2 :cot-i “ sin ;c-

36、= qcos2 :-cot 二sin 一:：7 仰=qsin ：sin 2 :4-14設(shè)有一剛體，具有半徑為R的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置外半徑為 R而內(nèi)半徑 為r的圓筒，圓筒受內(nèi)壓力為q,試求圓筒的應(yīng)力?！窘狻勘绢}為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，故環(huán)向位移 u（p = 0,另外還要考慮位移的單值條件。（1）應(yīng)力分量引用軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力解答，教材中式（4-11）,取圓筒解答中的系數(shù)為 A, B, C,剛體 解答中的系數(shù)為A" B"。由多連體中的位移單值條件，有B=0,（a）B，=0（b）現(xiàn)在，取圓筒的應(yīng)力表達(dá)式為AA仃p = 五+2C ,仃中=一產(chǎn)+2C（c）剛體的應(yīng)力表達(dá)式A'：22C

37、9;(d)考慮邊界條件和接觸條件來(lái)求解常數(shù)A,A，C,C，和相應(yīng)的位移解答首先，在圓筒的內(nèi)面，有邊界條件（。目修=7,由此得A今 2C = -q r其次，在遠(yuǎn)離圓孔處，應(yīng)當(dāng)幾乎沒(méi)有應(yīng)力，于是有（：）：,二二0,（二：）：- 二=。由此得2。=0再次，圓筒和剛體的接觸面上，應(yīng)當(dāng)有二，：R =二'P）RR于是有式（c）及式（d）得(e)(f)AA3 2C = S 2C'R2R2(g)（2）平面應(yīng)變問(wèn)題的位移分量應(yīng)用教材中式（4-12）的第一式，稍加簡(jiǎn)化可以寫(xiě)出圓筒和剛體的徑向位移表達(dá)+1 cos中 + K sin 中,(h)1 uAu -： - - 2(1 -2u)C:剛體的徑向位移為零，在接觸面上，圓筒與剛體的位移相同且都為零，即將式（h）和式（i ）代入，得2(1 -2u)CR -AI cos :