概率論和數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)題與答案解析

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)題集及答案一、選擇題:1 .某人射擊三次，以Ai表示事件“第i次擊中目標”，則事件“三次中至多擊中目標一次”的正確表示為()(A) Ai A A(B) 'J 'A A2A(C)AiA2A3AA2A3AA2A3(D)AAJA2 .擲兩顆均勻的骰子，它們出現(xiàn)的點數(shù)之和等于 8的概率為()(A)葛(B)36(C)5 36(C) P(A B) 13 .設(shè)隨機事件A與B互不相容，且P(A) 0,P(B) 0,則()(A) P(A) 1 P(B) (B) P(AB) P(A)P(B)(D) P(AB) 12x4 .隨機變量X的概率密度為f(x) Ce x 0,則EX (

2、)0 x 011(A) 2(B) 1(C) 2(D) 45 .下列各函數(shù)中可以作為某隨機變量的分布函數(shù)的是()1(A) F(x) 2， x1 x(C) F3(x) e x , x(B) F2(x)x x 01 x0 x 031(D) F4(x) arctanx , x4 26.已知隨機變量X的概率密度為fx(x),令Y2X ,則Y的概率密度fY(y)為()(A) 2fX( 2y)(B) fX (C) - fX ( y)（D）1fX（與7.已知二維隨機向量（X,Y）的分布及邊緣分布如表YXX1X2Y-Pj(A)yy2V31 18b1/8de16gh18XPic ,且X與Y相互獨立，則h （ f(

3、B) 81（D）38.設(shè)隨機變量XU1,5,隨機變量Y N（2,4）,且X與Y相互獨立,貝U E(2XY Y)(A) 3(B) 6(C) 10(D) 129.設(shè)X與Y為任意二個隨機變量，方差均存在且為正，若EXY EX EY ,則下列結(jié)論不正確的是（）（A） X與Y相互獨立（B） X與Y不相關(guān)（C） cov（X,Y） 0（D） D（X Y） DX DY答案：1. B 2. A 3.D4.A5.B6. D7. D 8. C 9. A1 .某人射擊三次，以Ai表示事件“第i次擊中目標”，則事件“三次中恰好擊中目標一次”的正確表示為（C ）(A) A1A2A3(B) A A2A A3a2 AB(C)

4、A A2 A3A A2 A3A a2 A3(D) AA2A32 .將兩封信隨機地投入4個郵筒中，則未向前兩個郵筒中投信的概率為(A )22.Ci9專()a3 .設(shè)隨機事件A與B互不相容，且P(A) 0,P(B) 0,則(D )(A) P(A| B) P(A)(B) P(AB) P(A)P(B)(C) P(A| B)P(A)(D) P(A| B) 04 .隨機變量X的概率密度為f(x)2x0x (0, a)其他則EX(A) 3(B) 1(C)5 .隨機變量X的分布函數(shù)F(x)83A (10x)e x(A) 0(B) 1(C)6 .已知隨機變量X的概率密度為fx(x),令丫(D)163°

5、,則A0(D)則Y的概率密度fY(y)為(D )(A) 3fx( 3y)(B) fX( J)31(C)1fX(37.已知二維隨機向量(X,Y)的分3)(d)33)邊緣分布如表YXx1x2YPjyy2y3a18b18d e1 6ghXPic ,且X與Y相互獨立，則 f(A) 8(C) 88.設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，且Xb(16,0.5),(D) 3Y服從參數(shù)為9的泊松分布，則D(X 2Y 1)( C )(A) -14(B) 13(C) 40(D) 419.設(shè)(X,Y)為二維隨機向量，則X與Y不相關(guān)的充分必要條件是(D)(A) X 與Y相互獨立(B) E(X Y) EX EY(C) DXY DX

6、 DY(D) EXY EX EY一、填空題1 .設(shè)A, B是兩個隨機事件，P(A) 0.5, P(A B) 0.8, (1)若A與B 互不相容，則P(B)= ; (2)若A與B相互獨立，則 P(B)=2 .一袋中裝有10個球，其中4個黑球，6個白球，先后兩次從袋中 各取一球(不放回).已知第一次取出的是黑球，則第二次取出的 仍是黑球的概率為 .3 .設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為P X k3ak, k 1,2,，則常數(shù)a .4 .設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為0, x 02F(x) ax ,0x21, x 2則常數(shù) a , P1 X 3=.5 .設(shè)隨機變量X的概率分布為X-101P0.30.50.2

7、貝UE(3X2 3)=.46 .如果隨機變量X服從a,b上的均勻分布，且E(X) 3, D(X)-,3貝1J a = , b=.7 .設(shè)隨機變量X, Y相互獨立，且都服從參數(shù)為0.6的0 1分布，則 P X Y=.8 .設(shè)X, Y是兩個隨機變量，E(X) 2, E(X2) 20, E(Y) 3,E(Y2) 34, xy 0.5,則 D(X Y)=.答案：1 1131. 0.3, 0.62.-3.-4.- , -5.344 44.56. 1,57. 0.528. 211 .設(shè)A, B是兩個隨機事件，P(A) 0.3, P(AB) P(AB),則P(B)=.2 .甲、乙、丙三人在同一時間分別破譯某

8、一個密碼，破譯成功的概率依次為0.8, 0.7, 0.6,則密碼能譯出的概率為. 一一、.k3 .設(shè)隨機變量X的概率分布為PX k ,k 1,2,3,4,5，則15嗚 X 7)=4 .設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x) sinx,PX 6i 5 .設(shè)隨機變量X服從1,3上的均勻分布，則的數(shù)學(xué)期望X為.6 .設(shè)隨機變量Xi,X2相互獨立，具概率分布分別為X2Xi 12P則 PX1 X2=.7 .設(shè)X, Y是兩個隨機變量，XN(0,32), YN(1,42), X與Y相 互獨立，則X Y.8 .設(shè)隨機變量X1,X2相互獨立，且都服從0,1上的均勻分布，則D(3X1 X2) 一9 .設(shè)隨機變量X和Y的

9、相關(guān)系數(shù)為0.5 , E(X) E(Y) 0, E(X2)E(Y2) 2,則 E(X Y)2 =答案：1. 0.72. 0.9763.14. 0.5315. 1ln3 26. 57.N(1,52)8.59. 696二、有三個箱子，第一個箱子中有3個黑球1個白球，第二個箱子中2有3個黑球3個白球，第三個箱子中有3個黑球5個白球.現(xiàn)隨機地選取一個箱子，再從這個箱子中任取 1個球.（1）求取到的是白球的概率；（2）若已知取出的球是白球，求它屬于第二個箱子的概率 .解：設(shè)事件A表示該球取自第i個箱子（i1,2,3）,事件B表示取到白球.3P(B)P(A)P(B|Ai)i 111131 51134363

10、 824P(A2|B)P(A2B)P(B)P(A)P(B| A2)P(B、某廠現(xiàn)有三部機器在獨立地工作， 假設(shè)每部機器在一天內(nèi)發(fā)生故 障的概率都是Q2.在一天中，若三部機器均無故障，則該廠可獲取 利潤2萬元；若只有一部機器發(fā)生故障，則該廠仍可獲取利潤 1萬元;若有兩部或三部機器發(fā)生故障，則該廠就要虧損0.5萬元.求該廠一天可獲取的平均利潤.設(shè)隨機變量X表示該廠一天所獲的利潤(萬元)，則X可能取2,1, 0.5,且PX 2 0.83 0.512,PX 1 C3 0.2 0.82 0.384,PX 0.5 1 0.512 0.384 0.104.所以 E(X) 2 0.5

11、12 1 0.384 ( 0.5) 0.104 1.356 (萬元)四、設(shè)隨機向量(X,Y)的密度函數(shù)為f(x,y)4xy, 0 x 1,0 y 10 , 其它求PX Y;(2)求X,Y的邊緣密度，并判斷X與Y的獨立性.解：(1)111CPX Y f(x,y)dxdy ndx 4xydy n2x(1 x )dx 0.5; 0 X0x y(2)1c4xydy 2x, 0 x 1fX(x)f(x,y)dy 0,0, 其它104xydx 2y, 0 y 1 fY(y)f (x,y)dx,0, 其它由fX(x)fy(y)f(x, y)知隨機變量X,Y相互獨立.五、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為fX(x)&q

12、uot;2, 0： 1,求隨機變量0 ,其它Y 2X 1的密度函數(shù).解法一：Y的分布函數(shù)為.、.、.y 1、 y 1Fy(y)PYyP2X1 yPX=Fx()兩邊對y求導(dǎo)，得r 1 y 1 fY(y) 2fx(yy-)3 y 1 23259-(y 1) , 02 280,匕1即12其它解法二：因為y 2x 1是0 x 1上單調(diào)連續(xù)函數(shù)，所以y 1213y 12y 1dh(y) 3(-)2-(-)2,0 h(y) -1即1 y3fY(y)fx(h(y)lI 2 722V 22丫dy0其它注：x h(y) 11為y 2x 1的反函數(shù)。二、設(shè)甲、乙、丙三人生產(chǎn)同種型號的零件，他們生產(chǎn)的零件數(shù)之比為2

13、:3:5.已知甲、乙、丙三人生產(chǎn)的零件的次品率分別為3%, 4%, 2%.現(xiàn)從三人生產(chǎn)的零件中任取一個.求該零件是次品 的概率；(2)若已知該零件為次品，求它是由甲生產(chǎn)的概率.解：設(shè)事件A1,A2,A3分別表示取到的零件由甲、乙、丙生產(chǎn)，事件B表示取到的零件是次品3P(B) P(A)P(B|A)i 12353%4%2% 0.028;101010 P(AJB)P(AB)P(A)P(B| A) 0.2 3%P(B)P(B)0.02814三、設(shè)一袋中有6個球，分別編號1, 2, 3, 4, 5, 6.現(xiàn)從中任取2 個球，用X表示取到的兩個球的最大編號.求隨機變量X的概率 分布；求EX.解：X可能取2

14、,3,4,5,6,且k 1 k 1PX k, k 2,3,4,5,6所以X的概率分布表為X I 23456P | 1/15 2/15 1/5 4/15 1/3一 6 k 1 14且 EX k J -.k 2153四、設(shè)隨機向量(X,Y)的密度函數(shù)為f(x,y)x, 0 x 1,00, 其它求 PX Y 1;求X,Y的邊緣密度，并判斷X與Y的獨立性.解:1x1 21(1) PX Y 1 f(x,y)dxdy 0dx 0xdy0x dx -;x y 132fX(x) f(x,y)dyfY(y) f (x,y)dx0xdy 2x, 0 x 10, 其它110xdx 2, 0 y 20 , 其它由fX

15、(x)fY(y) f(x,y)知隨機變量x,y相互獨立.五、設(shè)隨機變量X服從區(qū)間0,3上的均勻分布，求隨機變量Y 3X的密度函數(shù).解法一：由題意知fX(x)1/3, 0"：3. Y的分布函數(shù)為0 ,其它 y 1 y 1FY(y) PY y P3X 1 y PX M MT),兩邊對y求導(dǎo)，得fY(y)3fX(9,0 3即1y 80,其它解法二：因為y 3x 1是0 x 3上單調(diào)連續(xù)函數(shù)，所以111y 1d d dh(y) _ -, 0 h(y) 3,即 1y 8fY(y) fX(h(y)|3 393dy0其它注：x h(y) E/為y 3x 1的反函數(shù)。3已知一批產(chǎn)品中有90娓合格品，

16、檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，一個合格品被誤判為次品的概率為0.05, 一個次品被誤判為合格品的概率是0.04.求：(1)任意抽查一個產(chǎn)品，它被判為合格品的概率；(2) 一個經(jīng)檢查被判為合格的產(chǎn)品確實是合格品的概率.解：設(shè)Ai“確實為合格品”，A2“確實為次品”，B“判為合格品”(1) P(B) P(A)P(B|Ai) P(A2)P(B|A2)0.9 0.95 0.1 0.04 0.859p(A)p(b | A)(2) P(A | B) 1- 0.9953P(B)四、設(shè)二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的概率密度為其他f(x,y)(1)邊緣密度函數(shù)fx(x)和fy(y);(2)判斷X與Y是否相互獨立，并說明理由；

17、 PX Y 1.xe dy x 0e x 0斛：(1) fx(x)f(x, y)dy x ，0 x 00x0y yye dx y 0 ye y 0fY(y)f(x, y)dx 0c八0 y 00 y 0(2) f (x,y)fx(x)fy(y)X 與Y不獨立1 2 1 x(3) PX Y 1e ydxdy 1 2e 0.5 e 10 x四、設(shè)二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的概率密度為2ye f(x,y)y0(1)邊緣密度函數(shù)fx(x)和fy(y);(2)判斷X與Y是否相互獨立，并說明理由; PX Y.1 xX解：(1) fx(X)f(x,y)dyo2ye dy x 0 e x 00 x 00x0

18、fY(y)f (x, y)dx2 ye xdx 0 y 10其他2y 0 y 10 其他(2) f (x,y) fx(x)fy(y)X 與Y獨立1 1(3) PX Y 0 x2ye dxdy 4e 1一、單項選擇題1 .對任何二事件 A和B,有P(AA. P(A) P(B)B.C. P(A) P(AB)D.2 .設(shè)A、B是兩個隨機事件，若當(B ).A. P(AB) P(A)B.C. P(B/A) 1D.B) ( C ).P(A) P(B) P(AB)P(A) P(B) P(AB)B發(fā)生時A必發(fā)生，則一定有P(A B) P(A)P(A/ B) P(A)3 .甲、乙兩人向同一目標獨立地各射擊一次

19、，命中率分別為0.5, 0.8 ,則目標被擊中的概率為(C )(甲乙至少有一個擊中)0.854 .設(shè)隨機變量X的概率分布為X1234P1/6a1/4b則a, b可以是（D ）（歸一性）.八1,11,51,2A. a ,b B. a ,b C. a ,b D.64121212151 .1a 一 ,b 4 35 .設(shè)函數(shù)f（x）0.5, aZb是某連續(xù)型隨機變量 X的概率密度,0, 其它則區(qū)間a, b可以是）（歸一性）.0, 2 C. 0, . 2 D. 1, 2A. 0, 1 B.A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.77.設(shè)隨機變量X服從二項分布B（n, p）,則有（D ）（期望和方差

20、的性質(zhì)）.A. E(2X 1 )2npB.E(2X1) 4np 1C. D(2X 1)4np(1 p) 1D.D(2X 1)4np(1 p)8.已知隨機變量X : B(n, p),且 EX4.8,DX1.92，則n, p的值為（A ）A. n 8, p0.6B. n6, p0.8C. n 16, p0.3D. n 12, p 0.49.設(shè)隨機變量X: N（1,4）,則下式中不成立的是（BA. EX 1B.DXC. PX 1 0D.PX 1 0.510.設(shè)X為隨機變量,EX2,DX1 ,則e（x2）的值為（A（方差的計算公式）B.C.D.11.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)ax b,0,0 x

21、其它（A ）（歸一性和數(shù)學(xué)期望的定義）A. a 6,b 4B. a1,b 1C.6,b 1D.a 1,b 512.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為0.2的指數(shù)分布則下列各項中正確的A. E(X) 0.2, D(X) 0.04B.E(X) 5, D(X) 25C. E(X) 0.2, D(X) 4D.E(X) 2, D(X) 0.2513.設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，則X與Y不相關(guān)的充分必要條件是(D ).A.X與 Y相互獨立B.E(X Y)E(X)E(Y)C.E(XY) E(X)E(Y)D.(X,Y): N( 1,2 ；,；, 0)二、填空題1 .已知 P (A) =0.6, P (A-B) =0

22、.3,且 A與 B獨立，則 P ( B) = 05 .2 .設(shè)a, B是兩個事件，P(A) 0.5, P(A B) 0.8 ,當A, B互不相容時，P(B)=0.3;當A, B相互獨立時.P(B)=3 .53 .設(shè)在試驗中事件A發(fā)生的概率為p,現(xiàn)進行n次重復(fù)獨立試驗，那么事件A至少發(fā)生一-次的概率為1 (1 p)n.4 . 一批產(chǎn)品共有8個正品和2個次品，不放回地抽取2次，則第2次才抽得次品的概率P=-.455 .隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是事件P(X x)的概率.6 .若隨機變量X n( , 2)(0),則X的密度函數(shù)為 7 .設(shè)隨機變量X服從參數(shù)2的指數(shù)分布，則X的密度函數(shù)f(x) ; 分布函數(shù)F(x)=.8 .已知隨機變量X只能取-1 , 0, 1,三個值，其相應(yīng)的概率依次為-,-, ,則 c=2 (歸一性).2c 3c 6c9 .設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)X2, °r/，則=30, 其它一(歸一性).10.設(shè)隨機變量 X N(2, 2),且 P2 X 3 0.3,則 PX 1 =_0.2，、，2 2P2 X 3 PX 2 3 2).D(3X