橢圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與經(jīng)典習(xí)題

1、.專業(yè).專注.word可編輯圓錐曲線與方程-橢圓知識(shí)點(diǎn).橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1 .橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fi, F2距離的和等于常數(shù)2a(> F1F2 )的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，即點(diǎn)集 M=P| |PFi|+|PF2|=2a , 2a>|FiF2|=2c;這里兩個(gè)定點(diǎn)Fi, F2叫橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距2co(2a =怛干2時(shí)為線段F1F2, 2a < F1F2無(wú)軌跡)2.標(biāo)準(zhǔn)方程:焦點(diǎn)在x軸上:焦點(diǎn)在y軸上:22a2b222L 9a2 b21 (a>b>0)；=1 (a>b>0);注意：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a>b>0,焦點(diǎn)

2、F (±c, 0)焦點(diǎn) F (0,±c)并且橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上；(1)橢圓的頂點(diǎn)：Ai (-a, 0) , A2 (a, 0) , Bi (0, -b) , B2 (0, b)(2)線段A1A2, B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于2a,短軸長(zhǎng)等于2b, a和b分別叫做 橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。4.離心率(D我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比 生，即£稱為橢圓的離心率,2a a2 c j , b 獸記作 e(0<e<1) , e = = =1一(一). a ae =0是圓;e越接近于0 (e越小)，橢圓就越接近于圓；e越接近于1 (e越大)，橢圓越扁；注意

3、：離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān)，與其所處的位置無(wú)關(guān)小結(jié)一：基本元素(1)基本量：a、b、c、e、(共四個(gè)量)，特征三角形(2)基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心(共七個(gè)點(diǎn))(3)基本線：對(duì)稱軸(共兩條線),x0_y0: 1a2b222X0_y02,2ab5 .橢圓的的內(nèi)外部22(1)點(diǎn)P(x0,y、)在橢圓1+4=1(a>bA0)的內(nèi)部已a(bǔ) b22(2)點(diǎn)P(x°,y°)在橢圓與+4=1(a>b>0)的外部人a b6 .幾何性質(zhì)(1)點(diǎn)P在橢圓上，最大角HF1PF2)max=/F1B2F2,(2)最大距離，最小距離7 .直線與橢圓的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的判定

4、：聯(lián)立方程組求根的判別式；(2)弦長(zhǎng)公式：(3)中點(diǎn)弦問(wèn)題：韋達(dá)定理法、點(diǎn)差法例題講解： 一.橢圓定義：1 .方程 v;(x -2 f + y2 + v(x+2? +y2 =10化簡(jiǎn)的結(jié)果是2 .若AABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(-4,0 ),B(4,0 ), &ABC的周長(zhǎng)為18,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是223.已知橢圓、+L=1上的一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,則P到另一焦點(diǎn)距離為169二.利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定參數(shù)221 .若方程上 + 上 =1 (1)表示圓，則實(shí)數(shù)k的取值是.5-k k-3(2)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .(3)表示焦點(diǎn)在y型上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

5、(4)表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.2 .橢圓4x2+25y2 =100的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于,短軸長(zhǎng)等于,頂點(diǎn)坐標(biāo)是，焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，焦距是 二離心率等于,223.橢圓'十匕=1的焦距為2,則m=。4 m4 .橢圓5x2 +ky2 =5的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2),那么k =。三.待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程1 .若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-4,0) , (0,-3),則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。2 .焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且a2 =13, c2 =12的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 3 .焦點(diǎn)在x軸上，a:b=2:1, c = 76橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4 .已知三點(diǎn)P (5, 2)、匕(一6, 0)、F2 (6, 0),求以F1、F2為

6、焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；變式：求與橢圓4x2 +9y2 =36共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3, -2)的橢圓方程。四.焦點(diǎn)三角形221.橢圓L十匕=1的焦點(diǎn)為匕、F2, AB是橢圓過(guò)焦點(diǎn)F1的弦，則AABF2的周長(zhǎng)是。9252.設(shè)F1, F2為橢圓16x2 +25y2 =400的焦點(diǎn)，P為橢圓上的任一點(diǎn)，則&PF1F2的周長(zhǎng)是多少？ APF1F2的面積的最大值是多少？223.設(shè)點(diǎn)P是橢圓十匕=1上的一點(diǎn),匕12是焦點(diǎn),若/F1PF2是直角,則AF1PF2的面積25 16為。.專業(yè).專注.變式：已知橢圓9x2 +16y2 =144,焦點(diǎn)為Fi、F2 , P是橢圓上一點(diǎn).若/FiPF2=60&#

7、169;,求APFiF2的面積.五.離心率的有關(guān)問(wèn)題2211 .橢圓2+ L = 1的離心率為1,則m =4m22 .從橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)看長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的視角為 120°,則此橢圓的離心率e為3 .橢圓的一焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，則橢圓的離心率為 4 .設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fj、F2,過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn) P,若FFE為等 腰直角三角形，求橢圓的離心率。5 .在4ABC中，/A = 3°°,| AB|=2,S&bc =43 .若以A, B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則該橢圓 的離心率e_.六、最值問(wèn)題：21、已知橢圓 工+ y2=1, A

8、(1, °), P為橢圓上任意一點(diǎn)，求|PA|的最大值最小4值。22.橢圓工+ y2 =1兩焦點(diǎn)為、F2,點(diǎn)P在橢圓上，則|PF1|PF2|的最大值為4七、弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問(wèn)題1、已知橢圓4x2 +y2 =1及直y = x + m線.(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？(2)若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為 名”，求直線的方程.522已知橢圓±+y2=1 ,2(1)求過(guò)點(diǎn)(1,0)且被橢圓截得的弦長(zhǎng)為2行的弦所在直線的方程(2)求過(guò)點(diǎn)P.i1)且被P平分的弦所在直線的方程；2 2同步測(cè)試1已知曰(-8, 0), F2(8, 0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=16 ,則點(diǎn)P的軌

9、跡為()A圓B橢圓 C線段D直線222、橢圓二-工=1左右焦點(diǎn)為F1、F2, CD為過(guò)F1的弦，則ACDF1的周長(zhǎng)為169 23已知方程+一=1表示橢圓,則k的取值范圍是()1k 1kA -1<k<1B k>0C k *d k>l 或 k<-l4、求滿足以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,短軸長(zhǎng)為6(2)長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且過(guò)點(diǎn)(2, 1)(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5, 1), (3, 2) 225.橢圓t% = i(a >b a 0)的左右焦點(diǎn)分別是 曰、F2,過(guò)點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于P點(diǎn) a b若/FFF2=60。，則橢圓的離心率為 226已知橢圓的方程

10、為 土+L=1 P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)且/PF2=60，求APFE的面積 437.若橢圓的短軸為AB,它的一個(gè)焦點(diǎn)為F1,則滿足4ABF1為等邊三角形的橢圓的離心率為22P到它的右焦點(diǎn)的距離是=8,弦AB過(guò)點(diǎn)F1 ,則8.橢圓工+匕=1上的點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是12,那么點(diǎn) 100 36229.已知橢圓 勺+匕=1(a >5)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,且F1F2 a 25ABF2的周長(zhǎng)10、2222橢圓7 V1與橢圓于心0)有word可編輯(D)以上都不對(duì)(D)有相等的長(zhǎng)軸、短軸(A)相等的焦距(B)相同的離心率(C)相同的準(zhǔn)線222211、橢圓 X-+j=1 與+11=1 (0<k&l

11、t;9)的關(guān)系為259925(A)相等的焦距(B)相同的的焦點(diǎn)(C)相同的準(zhǔn)線2212.點(diǎn)P為橢圓x-+匕=1上的動(dòng)點(diǎn) ,后 為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則而,而 的最小值為 2516：,時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.感受高考1.分別過(guò)橢圓x2 y21+ b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)F1、F2作兩條互相垂直的直線11、L它們的交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是()x2y22.橢圓而 十 £=1的焦點(diǎn)為F1、F2,橢圓上的點(diǎn)P滿足/FPF2= 60 °則FFE的面積是（）64 ：3A.391、B. 3C.一364D.一33.已知橢圓E的短軸長(zhǎng)為6,焦點(diǎn)F到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)

12、的距離等于 9,則橢圓E的離心率等于（）4已知點(diǎn)Fx2 y2A分別是橢圓了+?1（a>b>0）的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，B（0, b）滿足由AB =0,則橢圓的離心率等于（45TBr231cr2K+1Dr25.已知橢圓'+匕=142A. 3B. 2C.D. 06.已知圓（x+ 2）2+y2 = 36的圓心為 M設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，N（2,0）,線段AN的垂直的左右焦點(diǎn)分別為Fl、F2,過(guò)F2且傾角為45。的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，以下結(jié)論中：AABFi的周長(zhǎng)為8;原點(diǎn)到l的距離為1;|AB|=8；正確結(jié)3論的個(gè)數(shù)為（）平分線交MA于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（A.圓B.橢圓C.雙曲線D

13、.拋物線x2+y2 = b2的兩條切線，切點(diǎn)分別為7.過(guò)橢圓C: x；+ y2=1（a>b>0）的一個(gè)頂點(diǎn)作圓a2 b2A, B,若OB= 90 O(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則橢圓C的離心率為8若橢圓工:+二=1(a>b>0)與曲線x2+y2 = a2b2無(wú)公共點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值 a2 b2上，則sinA+sinCsinB范圍是9 .已知4ABC頂點(diǎn)A( 4,0)和C(4,0),頂點(diǎn)B在橢圓上+ =1 25 910 .已知橢圓C: j+y；=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.a2 b2若以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y = x+ 2相切求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo);11 .橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)Fi, F2在x軸上，離心率e=1.求橢圓E的方程；22兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示：=1或者 mx2