清華大學_楊虎_應用數(shù)理統(tǒng)計課后習題參考答案

1、設總體X的樣本容量n)X B(1,p);)X Ua,b;習題一5,寫出在下列4種情況下樣本的聯(lián)合概率分布)X - P();)X N( ,1).設總體的樣本為X1, X2, X3, X4, X5 ,1)對總體 B(1,p),P(Xi Xi，X2 x2,X3%,X4 x4,X5 Xs)px(1P)1xn5P(XiXi)i 1i 15x5(1 x)p (1 p)其中:2)對總體1 5二 xi5 i 1 P()P(X1 X1,X2nP(Xi i 1 5x 5 5 e Xi! i 1x)x2, X35x3, X4xi一 ex !x4, X 5x5)5if(X1，m，x5)f(x)b,i1,5其他4)對總

2、體X N( ,1)5 f (X1,|, X5)f(x尸5/22exp1 522i1 xi20個集裝箱檢查其0, 0, 2, 4, 0, 3, 1,2為了研究玻璃產(chǎn)品在集裝箱托運過程中的損壞情況，現(xiàn)隨機抽取 產(chǎn)品損壞的件數(shù)，記錄結果為：1, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 3, 14, 0, 2,寫出樣本頻率分布、經(jīng)驗分布函數(shù)并畫出圖形解 設i(i=0,1,2,3,4)代表各箱檢查中抽到的產(chǎn)品損壞件數(shù)，由題意可統(tǒng)計出如下的樣 本頻率分布表1.1 ：表1.1頻率分布表i01234個數(shù)67322fXXi0.30.350.150.10.1經(jīng)驗分布函數(shù)的定義式為:0,x 4)Fn(X)k, x

3、k n1,xxk i , k=1,2,|,n 1,，xk據(jù)此得出樣本分布函數(shù):F20(x)0,x00.3,0x10.65,1x20.8,2x30.9,3x41,x4圖i.i經(jīng)驗分布函數(shù)3某地區(qū)測量了 95位男性成年人身高，得數(shù)據(jù) （單位：cm）如下:組下限165167169171173175177組上限167169171173175177179人數(shù) 310212322115試畫出身高直方圖，它是否近似服從某個正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形 解教抿m廳國圖1.2數(shù)據(jù)直方圖它近似服從均值為 172,方差為5.64的正態(tài)分布，即 N(172,5.64).4設總體X的方差為4,均值為 ，現(xiàn)抽取容量為100的樣

4、本，試確定常數(shù) k,使得滿足 P(X k) 0.9.X因k較大，由中心極限定理,N(0,1)：,4 100P X- k 5k 5k(5k) (1(5k)2 5k1 0.9所以： 5k 0.95查表彳#： 5k 1.65, k 0.33、，250.8 到 53.8 之5從總體X N(52,6.3 )中抽取容量為 36的樣本，求樣本均值落在解 P 50.8 X 53.8X 52P 1.14291.71436.32/36X 52，.6132 / 36N(0,1)124) EX EXP 50.8 X 53.8 P 1.1429 U 1.7143(1.7143)( 1.1429)0.9564 (1 0.

5、8729)0.82936從總體XN(20,3)中分別抽取容量為10與15的兩個獨立的樣本，求它們的均值之差的絕對值大于 0.3的概率.X1,",X10與丫,“|,丫5,其對應的樣本均值為：X和Y.解設兩個獨立的樣本分別為: 由題意知：X和Y相互獨立，且：3-3X N(20，一)， Y N(20，一)1015P(X Y| 0.3) 1 P(X Y| 0.3)1P(U u0.5、0.5,Y N(0, 0.5)0.5N(0，1)P(X Y| 0.3) 2 2(0.4243)0.6744107設X1,|,X10是總體X N(0,4)的樣本，試確定 C,使得P( X： C) 0.05. i 1

6、X；解 因Xi N(0, 4)，則一N(0,1),且各樣本相互獨立，則有: 22(10)1010212c所以：P( XiC) P( Xi )i 14 i 1410Xi-0.05 410X：0.95查卡方分位數(shù)表：c/4=18.31 ,貝U c=73.24.8設總體X具有連續(xù)的分布函數(shù)EXi,定義隨機變量：Fx(x), X1jXn是來自總體 X的樣本，且1, Y i0,XiXii 1,2,|,nn試確定統(tǒng)計量y的分布.i 1解由已知條件得：Yi B(1,p),其中p1Fx().因為Xi互相獨立，所以Y也互相獨立，再根據(jù)二項分布的可加性，有nY B(n,p), i 1p 1Fx().9設X1,&q

7、uot;|,Xn是來自總體X的樣本，試求eX,dX,es2 3假設總體的分布為:XUa,b; 4)X N( ,1);1) X B(N, p); 2) X P( ); 3)解 1) EX EX NpDX Np(1 p)DXn n2ES EX EX DX Np(1 p)DXDX2ES2 DXDXDXES2 DX2b a12n2b aDXDX 1n2_ES DX10 設 X1,|,Xn1為總體X N(,2.)的樣本，求又因為_ 2(n 1)S22(n11設 X1,|,Xn12取多大,(XiX)2(Xi1X)2XiXi(n(n1)S21)DX (n2(n 1)ES21)2(n1)S24d2(n 1)S

8、221),所以:來自正態(tài)總體 N(0,1)Xi2(n1) 4Y |X|,Y2一n i|Xi |,計算 EY，EY2.由題意知XN(0,1/ n),令：Y JFX ,則YN(0,1)E")E")設X1J|,Xn是總體才能使以下各式成立:nE(Xi)2y2|ye 2dyy2ye 2 dye tdt/、-21) E | X | 0.1 ; 2)2E(|X |)nE|XE(X),4)的樣本,I 0.1； 3)X為樣本均值，試問樣本容量 n應分別P(| X | 1) 0.95。解1)2)X N(,4)所以:U N(0,1)e2LE(U)所以：E計算可得:2X0.13)查表可得：一n2

9、U0.9751.96,n4 N(,) n N(0,1)-E n40u2E20.1e 2 du15.36u22 dunnn取整數(shù),2_n20.95n 16.13設(X1,|,Xn)和(Y1,|,Y)是兩個樣本，且有關系式:1丫 -(Xi a) (a,b 均為吊 b140),因:所以:試求兩樣本均值 X和Y之間的關系，兩樣本方差sX和sy2之間的關系.EY即:Xi anXi1naEX設X1,|X5是總體1)試確定常數(shù)2)試確定常數(shù)解1 )因：X1標準化得:故:XiXiN(0,1)的樣本.2CiQi ,使得 w(X1 X2)6(X32C2 ,使得 c2(X1X2N(0,2)2X2MX3,X3 XX4

10、X42X5)X5)(n),并求出n ； F(m,n),并求出m和n .可得:2)因：X12所以:Xi X22d1X3X5 N(0,3)4 X5 N (0,1)且兩式相互獨立X3X4X5J3X2X22(2)X；X3 X4 32X5 23 一可得：c2一，m 2, n215設tp(n),Fp(m,n)分別是t分布和X3 X43 F(2,1)，1.X52，F(xiàn)分布的p分位數(shù)，求證一，、一 2 一 一、ti p/2(n)Fi p(1,n).證明設Fip(1,n),則：P(F ) 1 p P(、 FF)1 1 pP(T、.一)P(T )1 p2P(T I) 2 pP(T1)1 - 2所以：-t1 _p(n

11、)2故： t p2(n) F1 p(1,n). 1 - 216設X1/2是來自總體XN(0,1)的一個樣本，求常數(shù) c,使:20.1.(X1 X2)222(X1 X2)2 (X1 X2)2XXo解 易知 X X2 N(0, 2),則 1 L 2 N(0,1)；2X. Xc同理 X1 X2 N(0, 2),則 1 L 2 N(0,1)2(X1 X2)222(X1 X2) (X1 X2)又因：Cov(X1 X2,X1 X2) 0,所以X X2與X1 X2相互獨立.(1 c)(X1 X2)2P 2- c(X1 X2)2(X1 X2)cP2(X1 X2)1 cc1 c0.1所以： F09(1,1)=3

12、9.9 1 c計算彳導:c = 0.976.17 設 X1,X2,|, Xn,Xn 1 為總體 X N(2)的容量n 1的樣本，X, S為樣本(X1,|,Xn)的樣本均值和樣本方差，求證:1 Vt(n 1)； ,n 1 Sn 1 22)X Xn1 N(0,)； nn 1 23 ) X1 X N(0,). n11 P Xi 10解1 )因:E(Xn1 X) 0, D(Xn1 X)所以：Xn1X0,乎2),天”3) n又:Js22(n 1)且：XnX與口_Js2相互獨立n 12nXn1 X 所以：: n . n Xn 1 X t(n 1)2n 1 Sn 1 o2) 由 1)可得：X Xn1N(0,

13、2) n3)因：E(X1 X) 0, D(X1 X)一一.一n 1 o所以：X1 X - N(0,2) n18設X1,|,Xn為總體XN( , 2)的樣本，X為樣本均值，求n,使得P(| X | 0.25 ) 0.95.X0.25Jn 0.25 n,U n-N(0,1)P X 0.25 P所以： 0.25 . n 0.975查表可得：0.25 . n U0.975 1.96，即 n 62.19設xJ1，Xn為總體XUa,b的樣本，試求：1) X的密度函數(shù)； 2) X(n)的密度函數(shù);解因：X Ua,b,所以X的密度函數(shù)為:a,b1f(x),xb a0, x a,b0, x ax aF (x),

14、 a x bb a1,x b由定理：f(x) n(1 F(x)n1f(x)b x n 11n( )-,x a,bb a b a0,x a,bf(n)(x) n(F(x)n1f(x)x a n 11n(-一)-,x a,bb a b a0,x a,b20設x/|,X5為總體X N(12,4)的樣本，試求：1) P(X10);2) P(X(5)15)解l *X X N(12,4)X i 12-N (0,1)2P X(1) 101 P X 1051 P Xi 10i 15Xi 12P 12(151)50.5785P X(5)15Xi15Xi12一 1.55_(1.5) 0.93320.707721設

15、(X1, |,Xm,Xm 1,|,Xm n)為總體X N(0, 2)的一個樣本，試確定下列統(tǒng)計量的分 布：mi 1 mm2n Xii 1, 12 Xi13)mXii 1m nXii m 12)2(n)n Xi2 2mXi且i1m n y 2會相互獨立，由抽樣定理可得:ni，mmi mXi1nXi21 1mXii 1x mm n Y 2X2 ni m 1；t(n)2)因為:m22Xi (m)i 1Xi2 2(n)mXi21所以:i r mni 1 m nXi2 m 1Xi2相互獨立,Xi2 m1nF (m, n)Xi2Xi2m 13)因為:Xi N(0,m2)n2Xi N(0, n )所以:2(

16、Xi)i 12-2(1)2(Xi)i m 1，2n2(1)Xi)2Xi)2相互獨立,由卡方分布可加性得:mXi1nXin22(2).22設總體X服從正態(tài)分布N(2),樣本Xi,X2,Xn來自總體X , S2是樣本方差，問樣本容量n取多大能滿足P2(n 1)S232.670.95?解由抽樣分布定理：工21S22_ n 1 22(n 1),P(-S2 32.67) 0.95,查表可得：n 1 21 , n 22.23從兩個正態(tài)總體中分別抽取容量為20和15的兩獨立的樣本，設總體方差相等,S2, sf分別為兩樣本方差，求 PS2S22.39 .解 設口=20,叫=15分別為兩樣本的容量,22為總體方

17、差，由題意,22(ni 1)S12 19S2 =2(19),(n1)S2 14S： =2(14)22又因Si ,S2分別為兩獨立的樣本方差:19S2 19219_ S1214s2 14 S；2 F(19,14)所以：PSi22S22.39p|2.391 0.95 0.05.24設總體 N(,2),抽取容量為20的樣本X1，X2 ,X20 ,求概率1)P 10.8520(Xi)237.57 ；20(Xi X)22)P 11.65 口238.58 .因N(0,1),且各樣本間相互獨立，所以:故:P 10.8520Xi2)因：-20Xi i 120 Xi2 2(20)37.570.99_ 2X19S

18、22-0.05 0.942(19),所以:11.65 警 38.580.995 0.1 0.895.25設總體X N (80, 2),從中抽取一容量為 25的樣本，試在下列兩種情況下P( X 803)的值:1)已知20;2)解未知，但已知樣本標準差S 7.2674.1)2I X N (80,)2XN(80名),/X 80N(0,1),/25X 80需，(24)26時，求:8020/50.7734801 2 (0.75) 10.45327.2674/5802.0642.064 1 2 0.975 1 0.05設X4|,Xn為總體XN( , 2)的樣本，X,S2為樣本均值和樣本方差，當 n 20X

19、c1) P(X);4.4723)確定 G 使 p( _S C) 0.90 .N(0, 1)4.4724.472XP -_ 10.84132022) P S22222P s22 222S2P2S2其中22二警2(19)，則P 9.519S22-28.52P S222P 9.519S2228.52P 9.52 28.5 0.95 0.05 0.9X<720S/ 20 c其中,XS/ 20t(19),20c P T<0.9所以：Y20 t0.9(19)=1.328，計算得：c 3.3676.27設總體X的均值與方差2存在，若Xi,X2,Xn為它的一個樣本，X是樣本均值，試證明對j，相關系

20、數(shù)r(Xi X,Xj X)證明 r(XiX,XjX)cov(Xi X,Xj X)D(Xi X) ,D(Xj X)Cov(Xi所以：r(Xi28.設總體是它的樣本均值,YXiXn i ,可得：YETD(Xi X)D(Xj X)X,XjX,XjX N(,求統(tǒng)計量 N( , 2)X)X)1 2E(XiXj XiX XjX XX) n2),從該總體中抽取簡單隨機樣本Xi,X2, ,X2n(n 1), X則有YN(21 nY 2Xn i 1n(XiXn ii 12(n 1)ESy1設總體的分布密度為:f (X；n(Xi i 1Xi,X2,2 2)22X)2(n1)0,Xn i 2X)2的數(shù)學期望.,X2

21、n(n習題二1)x , 01)為該總體的簡單隨機樣本，令(n其它1)S2(Xi, |,Xn)為其樣本，求參數(shù)值為：0.1 , 0.2 , 0.9 , 0.8 , 0.7的矩估計量Z和極大似然估計量?2 .現(xiàn)測得樣本觀測,0.7 ,求參數(shù) 的估計值.解 計算其最大似然估計:L( ,XiIn L(,Xl|xn)nln(1 Xi1)ln x1ln L( ,x其矩估計為:0.11EX (0n""nlni 10.20.91)x 1dx2XX 10.21120.8 0.70.73.4T1 3 lnXii 1X,?11 2X T-=一 0.3077X 1? 0.3077, ?2 0.21

22、122設總體X服從區(qū)間0,上的均勻分布，即X U0,1）求參數(shù)的矩估計量？和極大似然估計量，（X1,1|,Xn）為其樣本,2）現(xiàn)測得一組樣本觀測值：1.3求總體均值、總體方差的估計值解 1）矩估計量：1.7 ，2，2.20.3 , 1.1,試分別用矩法和極大似然法EX ； X,?最大似然估計量：2X2.4L( ,X1In L(，X1|xn)無解.此時，依定義可得:maX Xi1 i n02）矩法:EX 1.2, DX20.47212極大似然估計：EX?2-1.1,DX 0.4033212矩估計：EXX,1X3設Xi,Xn是來自總體X的樣本,試分別求總體未知參數(shù)的矩估計量與極大似然估計量.已知總

23、體X的分布密度為:1)f (x;0未知0,2)f (x；xe x!0,1, 2,|,。未知3)f (x; a,b)b未知其它解1)4)5)6)8)f(x；)f (x；,f (x；,f (x;)f (x；)矩法估計:0,0,24x(x 1)EX最大似然估計:(x(1)/0其它X,未知其中參數(shù)，未知0未知其中參數(shù)，未知2,3J|，0L( ?1“區(qū))nxii1 ,ln L(,刈瓜)nln2)d一 ln dnxii 10,X - P(最大似然估計:L(,為川Xn)nXie i xnxn ,ln L n nx InXid , , nx 9-In L n 0, 2 X d3)2矩估計：EX ab,DXb

24、a212聯(lián)立方程：a b M X22b a1 2最大似然估計：nL( ,Xi|xn)f (Xi； )n，1nLi i(b a)n ln( b a)d ln L nda b a0,無解，當？ minnXi時，使得似然函數(shù)最大，依照定義，a? min Xi, 同理可得？ max X1 i n1 i n4)矩估計：EXdx0 xln x 0 ,不存在5)0ln x最大似然估計:L( ,xj|xn) n-2,ln L nln 2i 1 Xii 1 Xiln L - 0 ,無解；依照定義， ？ X(1)矩估計：EX-e (x )/ dx (t)e tdt(1)(2)X1) In xii 16)EX2M2

25、最大似然估計:t)2e tdtX1X2XXL(,刈區(qū))ln L n lnIn L依定義有:矩估計:EXEX解方程組可得:最大似然估計:)2222Xi X(2)M2Xi2(Xin1X)2,(Xi X)21-nx0,In LX(1)，1)/1dx1nexp(x )X X(1)0,nx n無解M11dxM2 1m2,11M2L( , ,An 1xii 1n-xii 11,ln Lnlnn lnn .In L n Inln xi0,InL無解，依定義得,x(n)解得*1In x(n)7)矩估計:EXdx2x22 x2te tdt(2)? xM 2最大似然估計:4X23x22xiIn L nln 4 3

26、nlnn Inln xi22 x 22In L2 x 3""0, ?L3n8)矩估計:EXx(x1)2(1)x2x 22 d2dq22 d22dq 1 qX最大似然估計:L( ,x1|(|xn)n(xi1) 2(1i 1d2 d(1)2(1)xd2d(1)a (1x 0)x)"2n(1)nx 2n(X 1)In L 2n In (nx 2n)ln(1)ln(x 1)2In L2n nx 2n一"14.設總體的概率分布或密度函數(shù)為f(x;)，其中參數(shù) 已知，記p p(x %),樣本Xi,., Xn來自于總體X,則求參數(shù)p的最大似然估計量 ?.解記 yi 1

27、* a0；Yi 0,Xi a0則 YB(1,p)；nnndyiyiL(p,yi,y2|yn) pyi(i p) yi pi1 (i p)n i1ln L(p,yi，y2“yn) nyln p n(1 y)ln(1 p)裊0%切1向n帚p) 0? Y.L( ,Xi|Xn)e Xinx,ln L nlnnxd . .nln L一dnX xv1000 i i20000 “2010005設元件無故障工作時間 X具有指數(shù)分布，取1000個元件工作時間的記錄數(shù)據(jù)，經(jīng)分組 后得到它的頻數(shù)分布為：組中值Xi5 15 25 35 45 55 65頻數(shù)i365 245 150 100 70 45 25的點估計.如

28、果各組中數(shù)據(jù)都取為組中值，試用最大似然法求參數(shù).解最大似然估計：0.056已知某種燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期所生產(chǎn)的該種燈泡中隨機抽取10只，測得其壽命(單位：小時)為：1067, 919, 1196, 785, 1126, 936, 918, 1156, 920, 948設總體參數(shù)都未知，試用極大似然法估計這個星期中生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時以上的概率.Cc1 nc222解 設燈泡的壽命為x,xN(,)，極大似然估計為：？ X, ? 一(Xi X)n i i根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到：？ 997.1, ?2 17235.81 .經(jīng)計算得，這個星期生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時的概率為0.0075.

29、7.為檢驗某種自來水消毒設備的效果，現(xiàn)從消毒后的水中隨機抽取50升，化驗每升水腸桿菌的個數(shù)(假定一升水腸桿菌個數(shù)服從Poisson分布)，其化驗結果如下：大腸桿菌數(shù) /升01 23456Hfl1720102100試問平均每升水腸桿菌個數(shù)為多少時，才能使上述情況的概率為最大？解 設x為每升水腸桿菌個數(shù)，xP( ), Ex ，由3題(2)問知， 的最大似然估計為X ,所以?L X 0*17 1*20 2*10 3* 2 4*1 /50 1.所以平均每升水腸桿菌個數(shù)為1時，出現(xiàn)上述情況的概率最大.8設總體XN( , 2),試利用容量為n的樣本X1,.,Xn ,分別就以下兩種情況，求出使P(X A)

30、0.05的點A的最大似然估計量.1)若1時；2)若，2均未知時.解1 )1,的最大似然估計量為X,p x A 0.95, p x A一0.95(-)0.95,A U0.95所以區(qū)U0.95 X .2)的最大似然估計量為x ,2最大似然估計為 M2,由極大似然估計的不變性，直接推出A Uw.M； X .0.95 J u9設總體X具有以下概率分布 f(x; ),1,2,3:xf（x;1）f（x；2）f（x；3）01/31/4011/31/40201/41/431/61/41/241/601/4求參數(shù) 的極大似然估計量 ?.若給定樣本觀測值：1, 0, 4, 3, 1, 4, 3, 1,求最大似然估

31、計值？.解 分別計算1,2,3 ,時樣本觀測值出現(xiàn)的概率:當1 時，P2時，p0;當3時，p0由最大似然估計可得：？ 11 0 x 10, 其它10 設總體X具有以下概率分布f(x, ),0,1:1,0 x 1f(x；。)甘，f(x；1)0,其匕求參數(shù)的最大似然估計量 ？.解最大似然估計應該滿足：L maxL 為？2|區(qū);max0,1xi；0 ,f 為；1 ,max0,11,2nx0.5i 1結果取決于樣本觀測值11設Xi，X2，X3，X,是總體X的樣本，設有下述三個統(tǒng)計量:-1 ,、 1 ,、a?1(X1 X2) -(X3 X4)63<?2(Xi 2X2 3X

32、3 4XJ/10J?3(Xi X2 X3 Xj/4指出a,周，a3中哪幾個是總體均值 a=EX的無偏估計量，并指出哪一個方差最小?12E?2E?3所以6(3(1(4Z, ?2, ?3 無偏,設總體X N (),_ -1),D?1 36()/10D?2,D?34 216?3方差最小.為其樣本,22) 9(20.3 220.25 22_2)0.27n 1212.21)求吊數(shù)k,使？ 一 色1 Xi)為 的無偏估計量;k i 12)求常數(shù)k ,使？n|Xii 1x |為的無偏估計量E?2曾X212x iXiX2112(n 1)( k2)2(n1) 22(n 1) 2) k令 e ?22(n1)得 k

33、 2(n1)2)令 ViXinXk1,k iNn0,x2E V、dx . 2n(n 1)2n(n 1)13設X，Xn是來自總體X的樣本，并且 EX= , DX=X,S是樣本均值和樣本方差，試確定常數(shù)c,使X2解cS2是2的無偏估計量.E(X2 cS2)EX2 cES2 DX E2X114 設有二元總體(X,Y)所以c - n(X1,Y)(X2,Y2),|,(Xn,Yn)為其樣本，證明:A 1n C (Xi X)(Y Y)n 1 i 1是協(xié)方差Z Cov( X,Y)的無偏估計量.證明由于Xix yin 1(xinxkk 1,k ivn 1)(yinykk 1,k i )n所以:(n 1)22nx

34、yin(n 1)yek 1,k i2nn(n 1) xkyik 1,k i2nxkykk 1,k i k 1,k i2nV(nExyn(n(n 1)2 二 Exy1)ExEy(n 1)2ExEy(n 1)Exy (n 1)(n 2)ExEyECn( n4xyExEy) nExyExEy cov(X,Y) Z ,證畢.15設總體X N(,樣本為X1,., x是樣本方差，定義S12S2221S2,試比較估計量22.Si , S哪一個是參數(shù)2的無偏估計量?哪一個對的均n 1方誤差E(Si22)2最小?ES2 E( n-Xi X 1ESn(Xi2i 1- 2nX )2)EX： 1 2nEX )2)所以

35、2S2是的2無偏估計n 1 _2rs2(n1),所以,DS4, ES2DS2E S2S22 (ESi2)2sI2 (ES；)22n 12n2可以看出S12 22最小.16 設總體U0,，X1, X2,X3為樣本，試證:4-max Xi3 1 i 34 min Xi都是參數(shù)1 i 3的無偏估計量，問哪一個較有效?解E4X(1)3 n(1 -)0x 4n-dx 1(1 t)n1tdt04n(1t)n 1tdt1(10t)ntdt4E-X(n)34-EX(n)3x n n(-)1 x dx4n1tntdt04nEX(1)一,EX 43(n)4EX(2)2x 7dx12 (10t)2t2dt23210

36、EX(2n)22x x dx1242 t4dt0D4X(1)16DX(1)2216(EX(2)E2X(1)216(10216)D3X(n)16 _DX(n)91622-(EX(2n) E2X(n)916/3 一(一9 5196)15D4X所以4,一 X(n)比較有效.3 ' '17 設?1?是的兩個獨立的無偏估計量，并且的方差是4的方差的兩倍.試確定常數(shù)C1, C2,使得C1?5為 的線性最小方差無偏估計量解：設D 122,D 2E(C1 1C2 2)C2(C1C2),c1C21, C2 1 C1D(g 1c2 2)C2|2 2cf|2 22c221 C12,222C|1 C1

37、3G 2G 12*3c21 c118.設樣本Xi,., Xn來自于總體 X,且X P()(泊松分布)，求EX,DX ,并求C-R不等式下界,證明估計量X是參數(shù)的有效估計量.1 ，一,-,上式達到最小，此時 32nxie x!nx 11In L nnxlnIn xi!nx n ,I(E(-d2-In L)ndDXEX EX , DX n nxi! 219所以其C-R方差下界為f(x,)0,其它X1,., Xn是來自于總體X的樣本,對可估計函數(shù)g(求g()的有效估計量0()，I()所以 X是參數(shù)有效估計量 設總體X具有如下密度函數(shù)，并確定R-C下界.解因為似然函數(shù)L( ,x11,Innln1)9n

38、LInInxiIn xig()In x所以取統(tǒng)計量E In Xi1In x01dx1In0xdxIn1dx得ET2 = g(In xi是無偏估計量令 c( ) n由定理2.3.2知是有效估計量，由 DTg () c()12所以C-R方差下界為20設總體X服從幾何分布：P(Xk 1k) P(1 P) , k1,2,|小對可估計函數(shù)g(P)1)求g( P)的有效估計量T(X1,|,X)；2)3)求 DT 和I(p);驗證T的相合性.解1)因為似然函數(shù)L(P，Xl |Xn)lnn ln p(nxnP(1i 1n)ln(1P)xinnx np (1 p)P)d ln LdPnX nX g(P)所以取統(tǒng)

39、計量又因為 EX EXkP(1P)k(1P)n d kqk 1 dqdp 一dqPdq 1 p所以T X是g( p)的無偏估計量，取c(P),由定理2.3.2得至ij,是有效估計量2)I(P)c(P)g (P)1P2(1 P),DTg (p) c(p)1 P2 npDXDXq2np0,(n所以是相合估計量.21設總體X具有如下密度函數(shù),lnf (x；10,其它X1，., xn是來自于總體 X的樣本,是否存在可估計函數(shù)g()以及與之對應的有效估計量g>( ) ?如果存在g()和g?(),請具體找出，若不存在，請說明為什么解因為似然函數(shù)L(,XilnInnxln LInInInnxlnln dnlnnxIn所以令InEX所以g()所以:InEX