常見遞推數(shù)列通項的九種求解方法

1、頁眉內(nèi)容常見遞推數(shù)列通項的九種求解方法高考中的遞推數(shù)列求通項問題，情境新穎別致，有廣度，創(chuàng)新度和深度，是高考的熱點之一。是一類考查思 維能力的好題。 要求考生進行嚴(yán)格的邏輯推理，找到數(shù)列的通項公式，為此介紹幾種常見遞推數(shù)列通項公式的求解方法。解決方法類型一：ani an f(n) (f n可以求和)累加法例1、在數(shù)列 an中，已知a1=i,當(dāng)n 2時，有an an 1 2n 1 n 2 ,求數(shù)列的通項公式。解析：Q an an 1 2n 1(n 2)a2 a 1上述n 1個等式相加可得:2anna3 a2 3a4a35Man an 1 2n 12 an a1 n 1評注：一般情況下，累加法里只

2、有 n-1個等式相加?！绢愋鸵粚ｍ椌毩?xí)題】1、已知 a1 1, an an 1 n( n 2),求 an。2、已知數(shù)列 an , a1 =2, an1=an+3 n+2,求 an。3、已知數(shù)列an滿足an 1an 2n 1, a1 1 ,求數(shù)列an的通項公式。4、已知2口中，a13, an 1 an 2n，求 an。一 15、已知 a12, an 1ann1, 一一、，-(nN ),求數(shù)列an通項公式.6、已知數(shù)列 an滿足a11, an3n 1an 1 n 2 ,求通項公式an ?7、若數(shù)列的遞推公式為a13,an 1an 2 3n 1(n-* . N ),則求這個數(shù)列的通項公式8、已知數(shù)列

3、an滿足an 1 an2 3n 1, a1 3,求數(shù)列an的通項公式。119、已知數(shù)列 an滿足a1 一，an 1 an =,求an。2n2 n10、數(shù)列 an 中，a12, an 1 ancn (c是常數(shù)，n 1,2,3,L ),且a，a2, a3成公比不為1的等比數(shù)列.(I)求c的值;(II )求an的通項公式.11、設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n 3),其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點.若用f (n)表不這n條直線交點的個數(shù)，則 f(4) ;當(dāng)n 4時，f(n) (用n表示).答案：1.ann(n 1)c n(3n 1)2. an22n2 1 4.an2n1 5.an6.an

4、7.an12 3n 1 8. an 3n n 13 19. an- - 10.(1)2 (2) an2 nn2 n 211.(1)5 (2)類型二：an1 f(n) an(f(n)可以求積)解決方法累積法例1、在數(shù)列an中，已知a11,有nan1n 1an,( n 2)求數(shù)列an的通項公式。解析：an 亙.L2a2 al an 1 an 2 an 3 a2 a1一 _ / *又Qa1也滿足上式；an(n N )n 1評注：一般情況下，累積法里的第一步都是一樣的?！绢愋投ｍ椌毩?xí)題】-n 11、已知 a1 1, an an1(n 2),求 an。n 12、已知數(shù)列an滿足a1 2 , an 1

5、nan ,求an。3n 13、已知an中，an 1 n an,且a1 2 ,求數(shù)列an的通項公式 n 23n 14、已知 a1 3, am 3nan (n 1),求 an。3n 25、已知a1 1, an n(an 1 an) (n N ),求數(shù)列an通項公式.6、已知數(shù)列 an滿足a1 1, an 12n an,求通項公式an?7、已知數(shù)列an滿足an 1 2(n1)5n an, a1 3 ,求數(shù)列an的通項公式。(n 1)an 1 ( n2),則an的通項8、已知數(shù)列an,滿足 a1=1, an a1 2a2 3a39、設(shè)an是首項為1的正項數(shù)列，且(n + 1) a2 1 - na2 +

6、an+1 an = 0 ( n = 1,2, 3,)，求它的通項公式.10、數(shù)列an的前n項和為Sn,且a11 ,Sn= n2an(nN*),求數(shù)列an的通項公式頁眉內(nèi)容215. an32答案:1. an2. an n23n3.an7. an3 n!2nn2 n5 -8.an可。解析:4.an63n 1n2 n5. an n 6. an2 2類型三an 1Aan可將其轉(zhuǎn)化為an在數(shù)列設(shè)anan中,a13 anan3 an【類型三專項練習(xí)題】1、在數(shù)列an中,2、若數(shù)列的遞推公式為3、已知數(shù)列an中,9.10. an解決方法B(其中A,B為常數(shù)AA(an t),其中 t BA1,當(dāng)n 2時，有a

7、n，則ana110,1待定常數(shù)法an t為公比等于A的等比數(shù)列，然后求an即求數(shù)列 an的通項公式。3an 1 2t是以a11 2為首項，以3為公比的等比數(shù)歹U。2an3,求數(shù)列an的通項公式。a1a1=1,1,an 12an一， .* . 2(n N ),則求這個數(shù)列的通項公式an1+ 1 (n 2)求通項 an .4、在數(shù)列an(不是常數(shù)數(shù)列)中,an 112 an1 2且a1-,求數(shù)列 an的通項公式.35、在數(shù)列an中,1, an 131, 求 an .6、已知數(shù)列an滿足a1 1,an 12an, ， 一*、1(n N ).求數(shù)列an的通項公式.7、設(shè)二次方程anX2- an+1,x

8、+1=0(n CN)有兩根a和3,且滿足6 a -2 a 3 +6 3 =3.試用an表示an 1；(2)求證：數(shù)列an2_2是等比數(shù)列;3(3)當(dāng)7時，求數(shù)列6an的通項公式，8、在數(shù)列an中，Sn為其前3n項和，右a1 2a22 ,并且 Sn 10(n 2)試判斷an 1 (n N )是不是等比數(shù)列?答案：1. an3n 2 2.an 22n 1 3.an 2 21 n 4.n1 3n 1頁眉內(nèi)容n6. an21 7.(1) an 1n121 口3 an 328g類型四：A4BanCan 1 0;其中A,B,C為常數(shù)，且A B C 0可將其轉(zhuǎn)化為A an 1anan 1 n 2A(*)的形

9、式，列出方程組B，解出C還原到(*)式，則數(shù)列anan是以a2a1為首項，為公比的等比數(shù)列，然后再結(jié)合其它方法，就可以求出an。例1在數(shù)列an中,aia24 ,且 an 1 3an 2an 1 n2求數(shù)列an的通項公式。解析：令an 1an(anani),(n 2)得方程組解得1,2;則數(shù)列an 1an是以a2ai為首項，以2為公比的等比數(shù)列評注：在Aan 1 BanCan 10;其中A,B,C為常數(shù)，且A B C0中,A+B+C=0,則一定可以構(gòu)造an 1 an為等比數(shù)列。例2 已知a12、a23,an 16an 1 an (n2) , 求 an解析：令anan 1 n 2 ,整理得an 1

10、anan 1an 1 3ana2 3al 2n兩邊同除以2n今anbn ，bn 1ibn4 令 bn1t i bn3 an2 22bn94322t910bn93102bn910故bn910是以bi9109101一為首項,10-為公比的等比數(shù)歹u。2bn910110bn910110即an n2910工10得 an - 2n10【類型四專項練習(xí)題】頁眉內(nèi)容21,、1、已知數(shù)列 an 中，a11, a2 2 , an 2 _ an 1 an，求 an。33一 一 552 一.一2、已知a1=1,a2=- ,a = an 1- an,求數(shù)列an的通項公式an.3333、已知數(shù)列an中，Sn是其前n項和

11、，并且Sn14an2(n1,2,L),a11,設(shè)數(shù)列 bn an 1 2an (n 1,2,)，求證：數(shù)列 bn是等比數(shù)列;an 2an 1 2n1,兩邊同除以2n得an any 222設(shè)數(shù)列cn a_,(n 1,2,),求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；2求數(shù)列an的通項公式及前n項和。an 2n 1 3(n 1) 2n 2; sn (3n 1) 2n 24、數(shù)列 an : 3an 2 5an 1 2ann 131答案：1.an 13 1143，2 n14. an3b 2a3(a b)-類型五：an 1pan0(n 1,n N),a a,a2 b,n2_n 12.an3 3 -3.(3) an2n

12、1求數(shù)列an的通項公式。3(n 1) 2n 2; sn(3n 1) 2n 2f(n) ( P 0且 P 1)一般需一次或多次待定系數(shù)法，構(gòu)造新的等差數(shù)列或等比數(shù)列。1例1 設(shè)在數(shù)列 an中，a1 1, an -an 1 2n 1 n 2求數(shù)列 an的通項公式。2解析：設(shè)bn an An b展開后比較得、一1一這時 bn -bn 1n 2 且bn an 4n 6 21 bn是以3為首項，以一為公比的等比數(shù)列2bnn 1n 1113 1 即3 122an 4n 6,n 1an 34n 62在數(shù)列an中，a12 , an 2an 1 2n 1 n2求數(shù)列 an的通項公式。解析：Q an 2an 1

13、2n 1 n 2an是以曳=1為首項，2為公差的等差數(shù)列。2n2頁眉內(nèi)容3、已知 a12 , an 14% 2n 1,求 工。1 2 2n即ann2 2n 1例3 在數(shù)列中，a15an 2an 1*2, n N 求數(shù)列an的通項公式。解析：在an2an2n1中,先取掉2n,an 2an令anan 1，即an2(an 11)；然后再加上2n得 an2 an 12nan 12 an 1 12n兩邊同除以2n,得 a2nan 112n 11;an2n是以已1 2為首項，1為公差的等差數(shù)歹U。2an 12n1,on2 n 1評注:若f(n)中含有常數(shù),則先待定常數(shù)。然后加上n的其它式子，再構(gòu)造或待定。

14、已知數(shù)列an滿足an1 3an 52n4, a11,求數(shù)列an的通項公式。解析:在 an 1 3an5 2n 4中取掉5 2n待定令an3 an t3an 2t 2t 4t 2； an 1 2 3 an 2 ,再加上 5 2n得,an5 2n整理得：a一2 n 1an令an22nbn,則 bn2bn令bn 1即bn1bnbn 1522bn5；bn數(shù)列bn5是以bla1213一為首項,23士為公比的等比數(shù)歹U。2bn 5132n 1.3,即 an222n13 32 2;整理得an13 3n 1 52n 2類型5專項練習(xí)題:1、設(shè)數(shù)列 an的前n項和Sn43 an12 31,n N ,求數(shù)列an的

15、通項公式。2、已知數(shù)列 an中,a1。，點 n,2an 12在直線y x上，其中n1,2,3L L .(1 )令 bnan 1an 1,求證：數(shù)列bh是等比數(shù)列;(2) 求數(shù)列an的通項；頁眉內(nèi)容4、設(shè)數(shù)列 an : a14, an3an 1 2n 1,(n 2),求 an.5、已知數(shù)列an滿足a1 2,an 1 2an (2n 1),求通項an 3.一一 .6、在數(shù)列an中，a1 , 2an an 1 6n 3,求通項公式 an。25 117、已知數(shù)列an 中，a1- ,an1-an(-)，求an。6 328、已知數(shù)列 an, a1=1, nCN , an 1 = 2 an + 3 n ,求

16、通項公式 an .9、已知數(shù)列an滿足an 1 3an 2 3n 1, a1 3,求數(shù)列an的通項公式。10、若數(shù)列的遞推公式為 a1 1,an 1 3an 2 3n 1(n N ),則求這個數(shù)列的通項公式11、已知數(shù)列 an 滿足 a1 1,an 1 3an 2n1,求an.12、已知數(shù)列an滿足an 1 2an 3 2n , a1 2,求數(shù)列an的通項公式。13、已知數(shù)列an滿足an 1 2an 3 5n, a1 6,求數(shù)列an的通項公式。 n 114、已知 a1 1, anan 1 2 ，求 an。15、已知an中，a1 1 , an 2an 1 2n (n 2),求 an.16、已知數(shù)

17、列 an中，Sn是其前n項和，并且Sn 14an 2(n 1,2,L ), a1 1,16.(3) an2n 1 3(n 1) 2n 2; sn (3n 1) 2n 2設(shè)數(shù)列 bn an 1 2an(n 1,2,)，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列;設(shè)數(shù)列cn an,(n 1,2,),求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列;2求數(shù)列 an的通項公式及前n項和。答案：1. an4n 2n 2.(2)an4 n2nn 195. an5 2 2n 1 6. an - 7. ann nn2 3.an42 4. ann2 28. an 3n 2n 9. an (2n -) 3n 36210. an3n(7 2n) 11. a

18、n 3Lcn1cn1n 1n nn 15 3212. an (3n 1) 213. an 5214. an2n 115.2n頁眉內(nèi)容Sns1 1類型六：an1c an解決方法pan倒數(shù)法例1 已知a14an 12 an2an 1，求 an。解析：兩邊取倒數(shù)得:an 12 an1,設(shè)工anbn ,則 bn1;令 bn 1 t1L-(bn t)；展開后得, 22;bn1 2bnbna1-為首項,41 ，一，一1為公比的等比數(shù)歹U。2an1，得an2n 12n 2 7 評注：去倒數(shù)后，一般需構(gòu)造新的等差(比)數(shù)列。 【類型六專項練習(xí)題】：1、若數(shù)列的遞推公式為a111一，3, 一 2(n ),則求這

19、個數(shù)列的通項公式。an 1an2、已知數(shù)列 an滿足a11,n 2 時，an 1 an 2anan,求通項公式 an。3、已知數(shù)列 an滿足:anan 1 -,a1 an 111 ,求數(shù)列 an的通項公式。4、設(shè)數(shù)列an滿足a12, aanan，求 an .,35、已知數(shù)列 an滿足a1=13an3an二，求 an66、在數(shù)列an中,a2,an 13a一 一-3a，求數(shù)列an的通項公式.an 37、若數(shù)列 an中，a二1, a答案:1.an6n2. an.2a an12n 13. an3n 24.an22 3n 15. an12n 16. an7.2n 1an類型七:解決方法Snf(an)an(n 1)(n 2)頁眉內(nèi)容例1 已知數(shù)列a