天津理工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)同步練習(xí)冊(cè)答案詳解

1、天津理工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)同步練習(xí)冊(cè)答案詳解B A3、設(shè) A,B,C 為三事件,用 A,B,C 的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件(1)A發(fā)生, B 與 C 不發(fā)生 - C B A (2)A與 B 都發(fā)生, 而 C 不發(fā)生 - C AB(3)A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生 -C B A (4)A,B,C都發(fā)生 -ABC(5)A,B,C都不發(fā)生 - C B A (6)A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生 -C B C A B A (7)A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生 -(8)A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生 -BC AC AB 4、盒內(nèi)裝有 10個(gè)球,分別編有 1- 10的號(hào)碼,現(xiàn)從中任取一球,設(shè)事件 A 表示“取 到的球的號(hào)

2、碼為偶數(shù)” ,事件 B 表示“取到的球的號(hào)碼為奇數(shù)” ,事件 C 表示“取到 的球的號(hào)碼小于 5” ,試說明下列運(yùn)算分別表示什么事件 .(1)B A 必然事件 (2)AB 不可能事件 (3)C 取到的球的號(hào)碼不小于 5 (4)C A 1或 2或 3或 4或 6或 8或 10(5)AC 2或 4 (6)C A 5或 7或 9 (7)C B 6或 8或 10 (8)BC 2或 4或 5或 6或 7或 8或 9或 105、指出下列命題中哪些成立,哪些不成立 . (1)B B A B A = 成立 (2)B A B A = 不成立 (3)C B A C B A = 不成立 (4)=) )(B A AB

3、 成立 (5)若 B A ,則 AB A = 成立(6)若 =AB ,且 A C ,則 =BC 成立 (7)若 B A ,則 A B 成立 (8)若 A B ,則 A B A = 成立7、 設(shè) 一 個(gè) 工 人 生 產(chǎn) 了 四 個(gè) 零 件 , i A 表 示 事 件 “ 他 生 產(chǎn) 的 第 i 個(gè) 零 件 是 正 品” ) , , , (4321=i ,用 1A , 2A , 3A , 4A 的運(yùn)算關(guān)系表達(dá)下列事件 .(1)沒有一個(gè)產(chǎn)品是次品; (1) 43211A A A A B =(2)至少有一個(gè)產(chǎn)品是次品; (2) 432143212A A A A A A A A B =8. 設(shè) E、 F

4、 、 G 是三個(gè)隨機(jī)事件,試?yán)檬录倪\(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)下列各式 : (1)()()F E F E (2) ()()()F E F E F E (3) ()()G F F E 解 :(1) 原式 ()()()()E F F F E F E E E =(2) 原式 ()()()()E F F E F F E F E F E =(3) 原式 ()()()()()G E F G F F F G E F E =9、設(shè) B A , 是兩事件且 7060. ) (, . ) (=B P A P ,問 (1)在什么條件下 ) (AB P 取到最大 值,最大值是多少? (2)在什么條件下 ) (AB P 取到最小值

5、,最小值是多少? 解 : (1)6. 0) (, =AB P B A (2)3. 0) (, =AB P S B A 10. 設(shè) 事 件 A, B, C 分 別 表 示 開 關(guān) a, b, c 閉 合 , D 表 示 燈 亮 , 則可用事件 A , B , C 表示:(1) D = AB C ; (2) = () 。11、設(shè) A,B,C 是三事件,且 81041=) (, ) () (, ) () () (AC P BC P AB P C P B P A P , 求 A,B,C 至少有一個(gè)發(fā)生的概率 .解 :) () () () () () () () (ABC P BC P AC P AB

6、P C P B P A P C B A P +-+= 8500810414141=+-+= ABC AB 0) () (0=AB P ABC P 0) (=AB P B P A P B A P15、 8封信隨機(jī)地投入 8個(gè)信箱 (有的信箱可能沒有信 ) , 問每個(gè)信箱恰有一封信的概 率是多少?解 : 888! ) (=A P5 16、房間里有 4個(gè)人,問至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率是多少? 解:設(shè)所求事件 =A “至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的”=“任何兩個(gè)人的生日都不在同一個(gè)月”427. 0121) (1) (, 12) (44124412=-=-=A A P A P A A P17、

7、將 3個(gè)球隨機(jī)地放入 4個(gè)杯子中去,問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為 1,2,3的概 率各是多少?解:3個(gè)球放入 4個(gè)杯子中去共有 34種放法,設(shè) i B 表示杯子中球的最大個(gè)數(shù)為 n 的事 件 ) , , (321=n , 1B 表 示 每 只 杯 子 最 多 只 能 放 一 個(gè) 球 , 共 有 34A 種 方 法 , 故8343341=A B P ) (; 2B 表示有一只杯子中放 2個(gè)球,先在 3個(gè)球中任取 2只放入 4個(gè) 杯子中的任意一只, 共有 423C 種方法, 剩下的一個(gè)球可以放入剩下的 3只杯子中的 任 一 只 , 有 3種 放 法 , 故 2B 包 含 的 基 本 事 件 數(shù) 為

8、363423=C , 于 是 16943632=) (B P ;3B 表 示 有 一 只 杯 子 中 放 3個(gè) 球 , 共 有 4種 方 法 , 故 1614433=) (B P . 18. 設(shè) 一 個(gè) 質(zhì) 點(diǎn) 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D 內(nèi)( 其 中 D 是 x = 0 , y = 0 , x + y = 2所 圍 成 的 ) , 設(shè) 事 件 A 為:質(zhì) 點(diǎn) 落 在 直 線 y = 1 的 下 側(cè) , 求 P(A) 。y21D 1 432221111=+=) () (D D A P19、 (1)已知 504030. ) (, . ) (, . ) (=

9、B A P B P A P ,求 ) |(B A B P(2)已知 213141=) |(, ) |(, ) (B A P A B P A P ,求 ) (B A P6 解 : (1)250. ) |(=B A B P(2)31=) (B A P20、 一批產(chǎn)品共 100個(gè) , 其中有次品 5個(gè),每次從中任取一個(gè),取后不放回 , 設(shè) i A ( i =1, 2, 3, ) 表示第 i 次抽到的是次品,求: ()99412=A A P , )999512=A A P , ()99512=A A P )999412=A A P , ()983213=A A A P , )9894213=A A A

10、 P 21、市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中,甲廠產(chǎn)品占 70%,乙廠占 30%,甲廠產(chǎn)品的合格率為 95%,乙廠的合格率是 80%。 若用事件 A 、 A 分別表示甲、 乙兩廠產(chǎn)品, B 表示合格品。 試寫出有關(guān)事件的概率 .(1)=) (A P 70%(2)=) (A P 30% (3)=) |(A B P 95% (4)=) |(A B P 80% (5)=) |(A B P 5% (6)=) |(A B P 20%22、袋中有 10個(gè)球, 9個(gè)是白球, 1個(gè)是紅球, 10個(gè)人依次從袋中各取一球,每人取一球后,不再放回袋中,問第一人,第二人,最后一人取得紅球的概 率各是多少?解 : 解:設(shè) i A 第

11、 i 個(gè)人取得紅球的事件 ) , , , (1021 =i , 則 i A 為第 i 個(gè)人取得白球的事件, 顯然 101) (1=A P , ) (212121212=A A A A A A A A A 10191109) |() () () (121212=A A P A P A A P A P 同理 101! 10! 9) () (1092110=A A A A P A P 23、某種動(dòng)物由出生活到 20年以上的概率為 0.8,活 25年以上的概率為 0.4,問現(xiàn) 年 20歲的這種動(dòng)物活支 25歲以上的概率是多少? 解:設(shè) A 為 由出生活到 20歲 的事件, B 為 由出生活到 25歲

12、的事件7 則所求事件的概率為 ) () () |(A P AB P A B P = B AB A B =218040=. . ) () () () () |(A P B P A P AB P A B P 24、十個(gè)考簽中四個(gè)難的,三人參加抽簽, (不放回 ) 甲先、乙次、丙最后,記事件 A,B,C分別表示甲、乙、丙各抽到難簽,求 ) (), (), (), (ABC P B A P AB P A P . 解:152) (, 104) (=AB P A P 154) (=B A P 301) (=ABC P 25. 設(shè) 0 P(C) 1 ,試 證 :對(duì) 于 兩 個(gè) 互 不 相 容 的 事 件 A

13、, B ,恒 有P ( A B )C = PAC + PBC證 :()()C P C B A P C B A P +=+ ()C P BC AC P +=()()C P BC P AC P += ()()C B P C P += 26、設(shè)事件 A 與 B 互斥,且 10) (B P ,證明 )() () |(B P A P B A P -=1. 證明:由于 =AB ,故 B A B B A A =) ( ) 1) () (1) () () () |(-=由全概率公式:) |() () |() () (2211H B P H P H B P H P B P +=易知:mn m H P m n n

14、 H P +=+=) (, ) (21 1) |(, 11) |(21+=+=M N N H B P M N N H B P 于是 111) (+=M N N m n m M N N m n n B P 30、 某工廠由甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,它們的產(chǎn)品占全廠產(chǎn)品的比例 分別為 25%,35%,40%;并且它們的廢品率分別是 5%,4%,2%(1)今從該廠產(chǎn)品中任取一件問是廢品的概率是多少?(2)如果已知取出的一件產(chǎn)品是廢品,問它最大可能是哪個(gè)車間生產(chǎn)的?解:設(shè) =A “所取出的一件產(chǎn)品是廢品” , =1B “產(chǎn)品系甲車間生產(chǎn)” ,=2B “產(chǎn)品系乙車間生產(chǎn)” , =3B “產(chǎn)品系丙

15、車間生產(chǎn)”已知 25. 0) (1=B P 35. 0) (2=B P 4. 0) (3=B P05. 0) |(1=B A P 04. 0) |(2=B A P 02. 0) |(3=B A P (1)由全概率公式:=+=310345. 002. 04. 004. 035. 005. 025. 0) () |() (i i i B P B A P A P(2)由貝葉斯公式:9 3623. 00345. 005. 025. 0) () () |() |(111=A P B P B A P A B P 4058. 00345. 004. 035. 0) () () |() |(222=A P B

16、 P B A P A B P 2319. 00345. 04. 002. 0) () () |() |(333=A P B P B A P A B P 所以,所取出的一件廢品最大可能是乙車間生產(chǎn)的 .31、 如圖 1,2,3,4,5表示繼電器接點(diǎn)。假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為 p ,且設(shè) 各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立,求 L 至 R 是通路的概率 . 解 : 設(shè) i A 為第 i 只繼電器閉合的事件, B 為有電流從 L 流向 R 的事件,已知 ) 5, 2, 1() ( =n p A P i顯然 4325315421A A A A A A A A A A B -=-=- 因此 N N A

17、P A P k 1) 11(1) (1) (1-=-=- 第 2章一維隨機(jī)變量 習(xí)題 2 一 . 填空題:1. 設(shè) 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) 是 ()x P x F =, 則 用 F (x) 表 示 概11 0x P = = _。 解:()()000-x F x F2. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) 為 ()()+-+=x arctgx x F 121 則 P 01 = _14_。 解: P 01 = =-) 0(F ) 1(F 14 3. 設(shè) 服 從 參 數(shù) 為 的 泊 松 分 布 , 且 已 知 P = 2 = P = 3 ,則 P = 3 = _2783e

18、 - 或 3.375e -3_。 4. 設(shè) 某 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 律 是 =, 2, 1, 0, ! k k C k P K ,常 數(shù) 0, 則 C 的 值 應(yīng) 是 _ e-_。 解:-=, 故 -=e a (2)設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為:N , , 2, 1k , Nak X P =,試確定常數(shù) a .1a 1N 1aN N1a N a k X P N1k N1k N1k =np p n , 故168. 0!43434=-e x P 12、 某一繁忙的汽車站, 每天有大量汽車通過, 設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001, 在某天的該段時(shí)間內(nèi)有 100

19、0輛汽車通過, 問出事故的次數(shù)不小于 2的概率是多少? (利用泊松定理計(jì)算 )解:設(shè) x 為發(fā)生事故的次數(shù),則 k k k C k x P -=10001000) 9999. 0() 0001. 0(用泊松定理計(jì)算, 1. 00001. 01000=np00468. 01. 0110121. 01. 0=-=-=-=-e e x P x P x P13設(shè) X 服從泊松分布,且已知 21=X P X P ,求 4=X P 解:! k e k x P k -=,由 21=x P x P ,得 ! 2! 12-=e e ,) 0, 0(0, 2=因?yàn)?舍去 0903. 0!42424=-e x P

20、14、 . 求離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 律 為 ()kb k P =, ( k = 1, 2, ) , 的 充 分 必 要 條 件。解:由 1()k b k P =016 且()1k P 1k = b 1b 1b b b 0k k 1k k +=+=+= bb 111+=- h 即 cm h 184=設(shè)計(jì)車門高度為 184厘米時(shí),可使男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)不超過 0.01。27求 2) 2(2-=X Y 的分布律 . 解 :28、設(shè) ) 1, 0(N X ,求 (1)Xe Y =的概率密度 (2)122+=X Y 的概率密度20 (3)求 |X Y =的概率密度解:(1)設(shè) +-=

21、-x e x f N x x , 21) (), 1. 0(22 yx y x e y e y x x 1 , ln , 0 , = +=其它 , 00, 1ln) (y y y f y 即 +=其它 , 00, 121) (2) (ln2y y e y y (2)1122+=x y ,當(dāng) 1y 時(shí), Y 的分布函數(shù), 21212112) (22-=-=+=y x y P y x P y x P y Y P y F Y -=2102221212021,222122y x y y x Y x dx e dx e 當(dāng) 1y 時(shí), 0) (=y F Y , Y 的概率密度-+-=1, 01),21(

22、) 21(1241) () (y y y f y f y y F y Y 即 -=-1, 01, ) 1(21) (41y y e y y y (3)0|, |=x y x Y ,當(dāng) 0y 時(shí), Y 的分布函數(shù) -=-=yy Y dx x f y x y P y x P y Y P y F ) (|) (-=yy yx x dx e dx e 022222221當(dāng) 0y 時(shí), 0) (=y F Y , Y 的概率密度 =0, 00, ) (2) () (y y y f y F y 當(dāng) 0y 時(shí), 0) (, 0|) (=y y x P y F Y 21 =-0, 00, 22) (22y y

23、e y y29、設(shè)電流 I 是一個(gè)隨機(jī)變量,它均勻分布在 9安 11安之間,若此電流通過 2歐姆的電阻,在 其上消耗的功率為 22I W =,求 W 的概率密度 . 解:由題意 I 的概率密度為 =其它, 0119, 21) (x x f242162, 119, 2, 2, 222=w x w x x w I w 時(shí) 當(dāng) 對(duì)于 -=-=2) (22) (, 0dx x f I P w P w F w w由于 0w ,所以當(dāng) 0w 時(shí),其分布函數(shù) 0) (=w F w ,故 w 的概率密度 ww F w f w 41) () (=; -+=0, 00, )2() 2(21) (w w w f w

24、 f w w f =其它 , 0242162, 24121221w w w 30、 設(shè) 正 方 體 的 棱 長(zhǎng) 為 隨 機(jī) 變 量 ,且 在 區(qū) 間 ( 0 , a ) 上 均 勻 分 布 , 求 正 方 體 體 積 的 概 率 密 度 。 ( 其 中 a 0 )解 :正 方 體 體 積 = 3 函 數(shù) y = x 3 在 ( 0 , a ) 上 的 反 函 數(shù) x h y y =() 13 h y y () , =-1323()ay h 1= 的 概 率 密 度 為 ()=- a y y a y) (0031332 22 31. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 密 度 為 ()+=0, 00

25、122x x x x 求 隨 機(jī) 變 量 = l n 的 概 率 密 度 。解:函 數(shù) y = l n x 的 反 函 數(shù) x = h ( y ) = e y , 當(dāng) x 在 ( 0 , + )上 變 化 時(shí) , y 在 (- , + ) 上 變 化 , ()1e 2y h , e ) y (h y 2y +=于 是 的 概 率 密 度 為 +-+=y e e y y y12) (232. 已 知 某 種 產(chǎn) 品 的 質(zhì) 量 指 標(biāo) 服 從 N( , 2) , 并 規(guī) 定 | - | m 時(shí) 產(chǎn) 品 合 格 , 問 m 取 多 大 時(shí) , 才 能 使 產(chǎn) 品 的 合 格 率 達(dá) 到 95%。

26、已 知 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) (x)的 值 : (1.96) = 0.975 , (1.65) = 0.95 , (- 1.65) = 0.05, (- 0.06) = 0.475 .解:P | - | m = 0.95,此式等價(jià)于 P- m + m = 0.9 因 為 服 從 N( , 2 ) , 故P- m + m = ) () (-+m m 95012. ) () () (=-=-=m m m 查 表 m =196. 得 m = 1.96 故 m 取 1.96 時(shí) 才 能 使 產(chǎn) 品 合 格 率 達(dá) 到 95%。 23 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 一、填空題1、隨機(jī)點(diǎn) ) ,

27、 (Y X 落在矩形域 , 2121y y y x x x 的概率為 ) , () , () , () , (21111222y x F y x F y x F y x F -+-.2、 ) , (Y X 的分布函數(shù)為 ) , (y x F ,則 =-) , (y F 3、 ) , (Y X 的分布函數(shù)為 ) , (y x F ,則 =+) , 0(y x F ) , (y x F4、 ) , (Y X 的分布函數(shù)為 ) , (y x F ,則 =+) , (x F ) (x F X5、設(shè)隨機(jī)變量 ) , (Y X 的概率密度為-=其它 042, 20) 6() , (y x y x k y

28、x f ,則 =k 816、隨機(jī)變量 ) , (Y X 的分布如下,寫出其邊緣分布 .247、 設(shè) ) , (y x f 是 Y X , 的聯(lián)合分布密度, ) (x f X 是 X 的邊緣分布密度, 則 =+-) (x f X. 8、二維正態(tài)隨機(jī)變量 ) , (Y X , X 和 Y 相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù) = 9、如果隨機(jī)變量 ) , (Y X 的聯(lián)合概率分布為則 , 應(yīng)滿足的條件是 18=+;若 X 與 Y 相互獨(dú)立,則 =184=182. 10、設(shè) Y X , 相互獨(dú)立, ) 1. 0(), 1, 0(N Y N X ,則 ) , (Y X 的聯(lián)合概率密度 =) , (y x f 22

29、221y x e +-, Y X Z +=的概率密度 ) (Z f Z 42x e -.12、 設(shè) ( 、 ) 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 為()+-+-+= y x y x y x A y x F 00, 0111111, 222則 A =_1_。 25 二、證明和計(jì)算題1、袋中有三個(gè)球,分別標(biāo)著數(shù)字 1,2,2,從袋中任取一球,不放回,再取一球,設(shè)第一次取的球 上標(biāo)的數(shù)字為 X ,第二次取的球上標(biāo)的數(shù)字 Y ,求 ) , (Y X 的聯(lián)合分布律 .解:0311, 1=Y X P 311312, 1=Y X P3121321, 2=Y X P3121322, 2=Y X P 2、三封信隨機(jī)地

30、投入編號(hào)為 1,2,3的三個(gè)信箱中,設(shè) X 為投入 1號(hào)信箱的信數(shù), Y 為投入 2 號(hào)信箱的信數(shù),求 ) , (Y X 的聯(lián)合分布律 . 解:X 的可能取值為 0,1,2,3 Y 的可能取值為 0,1,2,33310, 0=Y X P3331, 0=Y X P 33233332, 0=C Y X P3313, 0=Y X P 3330, 1=Y X P 33231, 1=Y X P33132, 1=Y X P 03, 1=Y X P 32330, 2C Y X P =3331, 2=Y X P 02, 2=Y X P 03, 2=Y X P 3310, 3=Y X P 03, 32, 31,

31、 3=Y X P Y X P Y X P3、設(shè) 函 數(shù) F(x , y) = +120121y x y x ; 問 F(x , y) 是 不 是 某 二 維 隨 機(jī) 變 量 的26 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) ? 并 說 明 理 由 。解: F(x , y) 不 可 能 是 某 二 維 隨 機(jī) 變 量 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù)因 P0 2, 0 1= F(2 , 1) - F(0 , 1) - F(2 , 0) + F(0 , 0)= 1- 1- 1 + 0 = - 1 0故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 維 隨 機(jī) 變 量 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 。4、設(shè) +=01) (, 0

32、) (dx x g x g 且 ,有 +=其它 ,0, 0, ) (2) , (2222y x y x y x g y x f 證明:) , (y x f 可作為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。證明:易驗(yàn)證 ) , (y x f 0,又 =+-+-dxdy y x f ) , (dxdy y x y x g +002222) (2=+=02001) () (2dr r g rr g d 符合概率密度函數(shù)的性質(zhì),可以是二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。5、在 0, 上 均 勻 地 任 取 兩 數(shù) X 與 Y ,求 0) cos(+Y X P 的值。 解:=其它 , 0, 0, 1) , (2y

33、 x y x f , 0) cos(+Y X P =43) 232=+Y X P 6、設(shè)隨機(jī)變量 ) , (Y X 的密度函數(shù)為 =+-其它 00, 0) , () 43(y x ke y x f y x (1)確定常數(shù) k(2)求 ) , (Y X 的分布函數(shù) (3)求 20, 10Y X P 解:(1)+-=00) 43(1dx e k dy y x -=-=00030434123141k e e k dx e dy e k x y x y 12=k (2)-+-=y x y x v u e e dudv e y x F 0043) 43() 1)(1(1211212) , ( ) 1)(

34、1(43y x e e -=0, 0y x0) , (=y x F27 (3) 2, 0() 0, 1() 0, 0() 2, 1(20, 10F F F F Y X P -+=95021. 00) 1)(1(83=+-=-e e7、設(shè)隨機(jī)變量 ) , (Y X 的概率密度為+=其它 020, 103/) , (2y x xy x y x f 求 1+Y X P 解:+-+=+110212) 3() , (1y x x dy xy x dx dxdy y x f Y X P =+=10327265) 65342(dx x x x 8、設(shè)隨機(jī)變量 ) , (Y X 在矩形區(qū)域 , |) , (d

35、 y c b x a y x D =內(nèi)服從均勻分布,(1)求聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度 . (2)問隨機(jī)變量 Y X , 是否獨(dú)立?解:(1)根據(jù)題意可設(shè) ) , (Y X 的概率密度為=其它 0, ) , (d y c b x a M y x f +-+-=b a d c c d a b M dy dx M dxdy y x f ) )() , (1 于是 ) )(1c d a b M -=,故 -=其它 0, ) )(/(1) , (d y c b x a c d a b y x f +-=-=dc X ab c d a b dy dy y x f x f 1) )() , () ( 即

36、-=其它 01) (b x a ab x f X +-=-=ba Y c d c d a b dx dx y x f y f 1) )() , () (28 即 -=其它 0)/(1) (d y c c d y f Y(2)因?yàn)?) () () , (y f x f y x f Y X =,故 X 與 Y 是相互獨(dú)立的 .9、 隨機(jī)變量 ) , (Y X 的分布函數(shù)為 +-=-其它 , 00, 0, 3331) , (y x y x F y x y x 求: (1)邊緣密度; (2)驗(yàn)證 X,Y 是否獨(dú)立。解:(1) ) 33(3ln ) , (y x x x y x F -=, , 33ln

37、 ) , (22y x y x y x F -= 0, 0y x .=-其它 00, 033ln ) , (2y x y x f y x=-+其它 0033ln 33ln ) (20x dy x f x y x X ,=-+其它 00, 33ln 33ln ) y (20y dx f y y x Y (2) 因?yàn)?) () () , (y f x f y x f Y X =,故 X 與 Y 是相互獨(dú)立的 .10、 一電子器件包含兩部分,分別以 Y X , 記這兩部分的壽命 (以小時(shí)記 ) ,設(shè) ) , (Y X 的分布函數(shù)為 +-=+-其它 00, 01) , ()(01. 001. 001.

38、 0y x e e e y x F y x y x(1)問 X 和 Y 是否相互獨(dú)立? (2)并求 120, 120Y X P 解:(1)-=+=-0001) , () (01. 0x x e x F x F x X -=+=-0001) , () (01. 0y y e y F y F yY 29 易證 ) , () () (y x F y F x F Y X =,故 Y X , 相互獨(dú)立 . (2)由 (1)Y X , 相互獨(dú)立12011201120120120, 120-=Y P X P Y P X P Y X P091. 0)120(1)120(142=-=-e F F Y X 11、

39、 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 ( , ) 的 分 布 函 數(shù) 為 F x y A B xC y (, ) ()() =+23求:( 1 ) 系 數(shù) A , B及 C 的 值 , ( 2 ) ( , ) 的 聯(lián) 合 概 率 密 度 (x , y)。解:( 1 )F A B C (, ) () () +=+=221F A B C (, ) () () -+=-+=220F A B C (, ) () () +-=+-=220由 此 解 得 A B C =122, ,( 2 ) (, ) ()()x y x y =+64922212、設(shè) ) , (Y X 相互獨(dú)立且分別具有下列表格所定的分布律 試寫出 )

40、, (Y X 的聯(lián)合分布律 . 解: 30 13、設(shè) Y X , 相互獨(dú)立,且各自的分布律如下: 求 Y X Z +=的分布律 . 解: , 2, 1, 0=k P k X P k , 2, 1, 0=q Y PY X Z +=的分布律為 , 2, 1, 0=-i q P i Z P ki kZ 的全部取值為 2,3,4412121111, 12=Y P X P Y X P Z P 1, 22, 13=+=Y X P Y X P Z P21212121211221=+=+=Y P X P Y P X P 412121222, 24=Y P X P Y X P Z P 14、 X,Y 相互獨(dú)立,

41、其分布密度函數(shù)各自為=00021) (21x x e x f x X=00031) (3y y ey f yY求 Y X Z +=的密度函數(shù) .解:Y X Z +=的密度函數(shù)為 +-=dx x Z f x f Z f Y X Z ) () () (,由于 ) (x f X 在 0x 時(shí)有非零值, ) (x Z f Y -在 0-x Z 即 Z x 時(shí)有非零值, 故 ) () (x Z f x f Y X -在 Z x 0時(shí)有非零值-=Z Z xZ xZ xZ dx e edx e e Z f 0 6332613121) (31 ) 1(63063Z Z Z x Z e e e e -=-= 當(dāng)

42、 0Z 時(shí), 0) (=Z f 故 -=-000)1() (63Z Z e e Z f Z Z Z 32 第 4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、填空題1、設(shè) X 為北方人的身高, Y 為南方人的身高,則“北方人比南方人高”相當(dāng)于) () (Y E X E 2、設(shè) X 為今年任一時(shí)刻天津的氣溫, Y 為今年任一時(shí)刻北京的氣溫,則今年天津的氣溫變化 比北京的大,相當(dāng)于 ) () (Y D X D .3、已知隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布,且 44. 1) (, 4. 2) (=X D X E ,則二項(xiàng)分布的參數(shù)n , p .4、已知 X 服從 1x 2x 2e 1) x (-+-=,則 . ) (X E ,

43、 ) (X D 5、設(shè) X則 =+) 12(X E 9/4 . 6、設(shè) Y X , 相互獨(dú)立,則協(xié)方差 =) , cov(Y X 這時(shí), Y X , 之間的相關(guān)系數(shù) =XY 7、若 XY 是隨機(jī)變量 ) , (Y X 的相關(guān)系數(shù),則 1|=XY 的充要條件是 1=+=b aX Y P . 8、 XY 是隨機(jī)變量 ) , (Y X 的相關(guān)系數(shù), 當(dāng) 0=XY 時(shí), X 與 Y , 當(dāng) 1|=XY 時(shí), X 與 Y 幾乎線性相關(guān) .9、若 4) (, 8) (=Y D X D ,且 Y X , 相互獨(dú)立,則 =-) 2(Y X D .10、若 b a , 為常數(shù),則 =+) (b aX D ) (

44、2X D a .11、若 Y X , 相互獨(dú)立, 2) (, 0) (=Y E X E ,則 =) (XY E33 12、若隨機(jī)變量 X 服從 2, 0上的均勻分布,則 =) (X E .13、若 4. 0, 36) (, 25) (=XY Y D X D ,則 =) , cov(Y X , =+) (Y X D ,=-) (Y X D 14、已知 3) (=X E , 5) (=X D ,則 =+2) 2(X E 15、若隨機(jī)變量 X 的概率密度為 =-000) (x x e x x ,則 =) 2(X E ,=-) (2X e E二、計(jì)算題1、五個(gè)零件中有 1個(gè)次品,進(jìn)行不放回地檢查,每次

45、取 1個(gè),直到查到次品為止。設(shè) X 表示檢查次數(shù),求平均檢查多少次能查到次品? 解 : X 的分布律為 : =) (X E 51(1+2+3+4+5)=3. 答:略2、某機(jī)攜有導(dǎo)彈 3枚,各枚命中率為 p ,現(xiàn)該機(jī)向同一目標(biāo)射擊、擊中為止,問平均射 擊幾次?解: 設(shè) X 為射擊次數(shù),則 X 的分布律為 : 33) 1(3) 1(2) (22+-=-+-+=p p p p p p X E答:略 34 3、 設(shè) X 的密度函數(shù)為 =其它 0102) (x x x f ,求 ) (X E 、 ) (X D 解 : =+-10232d 2d ) () (x x x x xf X E =+-103222

46、1d 2d ) () (x x x x f x X E 故 181) 32(21) () () (222=-=-=X E X E X D4、 (拉普拉斯分布 ) X 的密度函數(shù)為 ) (21) (|+-=-x e x f x ,求 . ) (X E 、 ) (X D 解 : 0d e 21 ) (=-+-x x X E x2e 2 e d 2d e 2e e d d e d e 21 ) (00002020222=-=-=+-=-=+-+-+-+-+-+-x x x x x x x x x x x x x x x x X E 故 2) () () (22=-=X E X E X D5、 設(shè)連續(xù)

47、型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù) -+-=1 , 111 , arcsin 1 , 0) (x x x b a x X F求 a 、 b 、 ) (X E 、 ) (X D .解 : X 為連續(xù)型隨機(jī)變量, ) (x F 為連續(xù)函數(shù) . 0), 1() 1(2=-=-b a F F 1), 1() 1(2=+=+b a F F 可解得 ; 2=a , =b .X 的概率密度-=其它, 01, 1) () (2x x x F x f 35 -+-=112d d ) () (x x x x x xf X E =0 -=-=-102211222d 2d ) () (x x x x xx X E X D 令 t x s i n =,則 21d sin 2) (202=t t X D 6、一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成,運(yùn)轉(zhuǎn)中它們需調(diào)整的概率分別為 0.1、 0.2、 0.3, 假設(shè)它們的狀態(tài)相 互獨(dú)立,以 X 表示同時(shí)需調(diào)整的部件數(shù),求 ) (X E 、 ) (X D解 : 設(shè) i A 表示第 i 個(gè)部件需調(diào)整, i =1,2,3=不 發(fā) 生 , , 發(fā)生 i i i A A X 0 , 1 則 321X X X X += 3, 2, 1 ) (1) () ( ), () (=-=i A P A P X